高中数学导数满分通关专题01 导数的运算(解析版).docx

专题01　导数的运算1．基本初等函数的导数公式基本初等函数导函数f(x)＝c(c为常数)f′(x)＝0f(x)＝xα(α∈Q，α≠0)f′(x)＝αxα－1f(x)＝sin xf′(x)＝cos xf(x)＝cos xf′(x)＝－sin xf(x)＝ax(a>0且a≠1)f′(x)＝axln af(x)＝exf′(x)＝exf(x)＝logax(a>0且a≠1)f′(x)＝f(x)＝ln xf′(x)＝2．导数的运算法则若f′(x)，g′(x)存在，则有[cf(x)]′＝cf′(x)；[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)；[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；′＝(g(x)≠0)；3．复合函数的定义及其导数(1)一般地，对于两个函数y＝f(u)和u＝g(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函数，那么称这个函数为函数y＝f(u)与u＝g(x)的复合函数，记作y＝f(g(x))．(2)复合函数y＝f(g(x))的导数和函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为y′x＝y′u·u′x，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积．【方法总结】导数运算的原则和方法基本原则：先化简、再求导；具体方法：(1)连乘积形式：先展开化为多项式的形式，再求导；(2)分式形式：观察函数的结构特征，先化为整式函数或较为简单的分式函数，再求导；(3)对数形式：先化为和、差的形式，再求导；(4)根式形式：先化为分数指数幂的形式，再求导；(5)三角形式：先利用三角函数公式转化为和或差的形式，再求导；(6)复合函数：由外向内，层层求导．【例题选讲】[例1]　求下列函数的导数：(1)y＝x2sin x；(2)y＝；(3)y＝xsincos；(4)y＝ln(2x－5)．解析　(1)y′＝(x2)′sin x＋x2(sin x)′＝2xsin x＋x2cos x．(2)y′＝′＝＝－．(3)∵y＝xsincos＝xsin(4x＋π)＝－xsin4x，∴y′＝－sin 4x－x·4cos 4x＝－sin 4x－2xcos 4x．(4)令u＝2x－5，y＝ln u．则y′＝(ln u)′u′＝·2＝，即y′＝．[例2]　(1) (2020·全国Ⅲ)设函数f(x)＝．若f′(1)＝，则a＝________．答案　1　解析　f′(x)＝＝，则f′(1)＝＝，整理可得a2－2a＋1＝0，解得a＝1．(2)已知函数f(x)的导函数为f′(x)，f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，则f(1)＝ ．答案　－　解析　∵f(x)＝2x2－3xf′(1)＋ln x，∴f′(x)＝4x－3f′(1)＋，将x＝1代入，得f′(1)＝4－3f′(1)＋1，得f′(1)＝．∴f(x)＝2x2－x＋ln x，∴f(1)＝2－＝－．(3)已知f1(x)＝sin x＋cos x，fn＋1(x)是fn(x)的导函数，即f2(x)＝f1′(x)，f3(x)＝f2′(x)，…，fn＋1(x)＝fn′(x)，n∈N*，则f2 022(x)等于(　　)A．－sin x－cos x　　　　B．sin x－cos x　　　　C．－sin x＋cos x　　　　D．sin x＋cos x答案　C　解析　∵f1(x)＝sin x＋cos x，∴f2(x)＝f1′(x)＝cos x－sin x，f3(x)＝f2′(x)＝－sin x－cos x，f4(x)＝f3′(x)＝－cos x＋sin x，f5(x)＝f4′(x)＝sin x＋cos x，∴fn(x)的解析式以4为周期重复出现，∵2 022＝4×505＋2，∴f2 022(x)＝f2(x)＝cos x－sin x．故选C．(4)(多选)给出定义：若函数f(x)在D上可导，即f′(x)存在，且导函数f′(x)在D上也可导，则称f(x)在D上存在二阶导函数，记f″(x)＝(f′(x))′，若f″(x)＜0在D上恒成立，则称f(x)在D上为凸函数．以下四个函数在上是凸函数的是(　　)A．f(x)＝sin x＋cos x　　　B．f(x)＝ln x－2x　　　C．f(x)＝x3＋2x－1　　　D．f(x)＝xex答案　AB　解析　对于A：f′(x)＝cos x－sin x，f″(x)＝－sin x－cos x，∵x∈，∴f″(x)＜0，f(x)在上是凸函数，故A正确．对于B：f′(x)＝－2，f″(x)＝－＜0，故f(x)在上是凸函数，故B正确；对于C：f′(x)＝3x2＋2，f″(x)＝6x＞0，故f(x)在上不是凸函数，故C错误；对于D：f′(x)＝(x＋1)ex，f″(x)＝(x＋2)ex＞0，故f(x)在上不是凸函数，故D错误．故选AB．(5)已知f(x)的导函数为f′(x)，若满足xf′(x)－f(x)＝x2＋x，且f(1)≥1，则f(x)的解析式可能是(　　)A．x2－xln x＋x　　　　B．x2－xln x－x　　　　C．x2＋xln x＋x　　　　D．x2＋2xln x＋x答案　C　解析　由选项知f(x)的定义域为(0，＋∞)，由题意得＝1＋，即′＝1＋，故＝x＋ln x＋c(c为待定常数)，即f(x)＝x2＋(ln x＋c)x．又f(1)≥1，则c≥0，故选C．【对点训练】1．下列求导运算正确的是(　　)A．′＝1＋　　B．(log2x)′＝　　C．(5x)′＝5xlog5x　　D．(x2cos x)′＝－2xsin x1．答案　B　解析　(log2x)′＝，故B正确．2．函数y＝xcos x－sin x的导数为(　　)A．xsin x　　　　　　　B．－xsin x　　　　　　　C．xcos x　　　　　　　D．－xcos x2．答案　B　解析　y′＝x′cos x＋x(cos x)′－(sin x)′＝cos x－xsin x－cos x＝－xsin x．3．(多选)下列求导运算正确的是(　　)A．(sin a)′＝cos a(a为常数)　　　　　　　　B．(sin 2x)′＝2cos 2xC．()′＝　　　　　　　　　　　　　　D．(ex－ln x＋2x2)′＝ex－＋4x3．答案　BCD　解析　∵a为常数，∴sin a为常数，∴(sin a)′＝0，故A错误．由导数公式及运算法则知B，C，D正确，故选BCD．4．已知函数f(x)＝＋，则f′(x)＝ ．4．答案　－　解析　f′(x)＝＋(x－2)′＝＋(－2)x－3＝－．5．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，记f1(x)＝f′(x)，f2(x)＝f′1(x)，…，fn＋1(x)＝f′n(x)(n∈N*)，若f(x)＝xsin x，则f2 019(x)＋f2 021(x)＝(　　)A．－2cos x　　　　　B．－2sin x　　　　　C．2cos x　　　　　D．2sin x5．答案　D　解析　由题意，f(x)＝xsin x，f1(x)＝f′(x)＝sin x＋xcos x，f2(x)＝f′1(x)＝cos x＋cos x－xsin x＝2cos x－xsin x，f3(x)＝f′2(x)＝－3sin x－xcos x，f4(x)＝f′3(x)＝－4cos x＋xsin x，f5(x)＝f′4(x)＝5sin x＋xcos x，…，据此可知f2 019(x)＝－2 019sin x－xcos x，f2 021(x)＝2 021sin x＋xcos x，所以f2019(x)＋f2 021(x)＝2sin x，故选D．6．f(x)＝x(2 021＋ln x)，若f′(x0)＝2 022，则x0等于(　　)A．e2　　　　　　　　B．1　　　　　　　　C．ln 2　　　　　　　　D．e6．答案　B　解析　f′(x)＝2 021＋ln x＋x×＝2 022＋ln x，又f′(x0)＝2 022，得2 022＋ln x0＝2 022，则ln x0＝0，解得x0＝1．7．已知函数f(x)＝＋excos x，若f′(0)＝－1，则a＝ ．7．答案　2　解析　f′(x)＝＋excos x－exsin x＝＋excos x－exsin x，∴f′(0)＝－a＋1＝－1，则a＝2．8．已知函数f(x)＝ln(2x－3)＋axe－x，若f′(2)＝1，则a＝ ．8．答案　e2　　解析　f′(x)＝·(2x－3)′＋ae－x＋ax·(e－x)′＝＋ae－x－axe－x，∴f′(2)＝2＋ae－2－2ae－2＝2－ae－2＝1，则a＝e2．9．已知函数f(x)的导函数为f′(x)，且满足关系式f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，则f′(2)的值等于(　　)A．－2　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．－　　　　　　　　D．9．答案　C　解析　因为f(x)＝x2＋3xf′(2)＋ln x，所以f′(x)＝2x＋3f′(2)＋，所以f′(2)＝2×2＋3f′(2)＋，解得f′(2)＝－．10．已知f(x)＝x2＋2xf′(1)，则f′(0)＝________．10．答案　－4　解析　∵f′(x)＝2x＋2f′(1)，∴f′(1)＝2＋2f′(1)，∴f′(1)＝－2，∴f′(0)＝2f′(1)＝2×(－2)＝－4．11．设函数f(x)在(0，＋∞)内可导，其导函数为f′(x)，且f(ln x)＝x＋ln x，则f′(1)＝ ．11．答案　1＋e　解析　因为f(ln x)＝x＋ln x，所以f(x)＝x＋ex，所以f′(x)＝1＋ex，所以f′(1)＝1＋e1＝1＋e．12．已知f′(x)是函数f(x)的导数，f(x)＝f′(1)·2x＋x2，则f′(2)＝(　　)A．　　　　　B．　　　　　C．　　　　　D．－212．答案　C　解析　因为f′(x)＝f′(1)·2xln 2＋2x，所以f′(1)＝f′(1)·2ln 2＋2，解得f′(1)＝，所以f′(x)＝·2xln 2＋2x，所以f′(2)＝×22ln 2＋2×2＝．13．(多选)若函数f(x)的导函数f′(x)的图象关于y轴对称，则f(x)的解析式可能为(　　)A．f(x)＝3cos x　　　B．f(x)＝x3＋x　　　C．f(x)＝x＋　　　D．f(x)＝ex＋x13．答案　BC　解析　对于A，f(x)＝3cos x，其导数f′(x)＝－3sin x，其导函数为奇函数，图象不关于y轴对称，不符合题意；对于B，f(x)＝x3＋x，其导数f′(x)＝3x2＋1，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于C，f(x)＝x＋，其导数f′(x)＝1－，其导函数为偶函数，图象关于y轴对称，符合题意；对于D，f(x)＝ex＋x，其导数f′(x)＝ex＋1，其导函数不是偶函数，图象不关于y轴对称，不符合题意．14．f(x)＝＋x3，其导函数为f′(x)，则f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)的值为(　　)A．1　　　　　　　　B．2　　　　　　　　C．3　　　　　　　　D．414．答案　C　解析　f′(x)＝＋3x2，f′(－x)＝＋3x2，所以f′(x)为偶函数，f′(2019)－f′(－2019)＝0，因为f(x)＋f(－x)＝＋x3＋－x3＝＋＝3，所以f(2020)＋f(－2020)＋f′(2019)－f′(－2019)＝3．故选C．15．已知f(x)＝ax4＋bcos x＋7x－2．若f′(2 020)＝6，则f′(－2 020)＝______。