地大概率论与数理统计练习册第四章随机变量的数字特征答案.docx

地大概率论与数理统计练习册第四章随机变量的数字特征答案第四章随机变量的数字特征§4.1数学期望§4.2方差二、计算以下各题1.设球直径的测量值在 a,b 上听从匀称分布,求球体积V的数学期望 1 ,a x b解设球的直径为X,其概率密度为f(x) b a 0， 其它 x3 那么球的体积Y g(x) ,6b 1 1E(Y) E g(x) x3 x4a6b a6b a4ba a b a2 b224 11 2.设随机变量X听从 , 上的匀称分布，y g x 22 lnx,x 0 ,求0, x 0Y g(x)的数学期望和方差11 1, x X的概率密度f(x) 22， 0, 其它 解E(Y) E g x lnxdx 121 ln2,2 ln2 1, D Y 1 ln2 2 1ln2 3424 EY 212 ln22 ln2 xdx 23.在长度为a的线段上随意取两个点M与N，试求线段MN长度的数学期望解:以线段起点为原点，X，Y分别表示点M与N的位置，∴X,Y U(0,a)， 1 ,x (0,a) ，fX(x) a 0, 其它 1 1 ,y (0,a) ,x,y (0,a)，f(x,y) a2，fY(y) a 0, 其它 0, 其它 令Z X Y,那么Z取值于(0,a)，这时FZ(z) P z X Y z1212dxdy z z22 aaa z x y z∴ 22 z,0 z a fZ(z) aa2 0, 其它 aE(Z) 2121113z( 2z)dz 2(z2 z)aaa2a3a02a2a 。

a63 4.某射手每次命中目标的概率为0.8,连续射击一个目标,直至命中目标一次为止求射击次数的期望和方差解Ak “第K次命中目标”,K 1,2…P x k P(A1A2…Ak 1Ak)=P(A1)P(A2)…P(Ak 1)P(Ak) (1 0.8)k 1 0.8 k 1E(x) k 0.2k 1 0.8 0.8 k 0.2k 1, k 1 取S(x) kxk 1 k 1 k x 1 x , 2 1 x1 x k 1x 1, 0.8122k 1所以E(x) 1.25,E(x) k 0.2 0.8 0.8 k2 0.2k 1,20.8(1 0.2)k 1k 1取g(x) k2xk 1k 1 x k 1 xkx 2 k 1 1 x 1.875, 1 x ,3 1 x x＜1故Ex2 0.8 1 0.21 0.23从而D x Ex2 Ex 0.31252 x2 2 2 ,x 05.设轮船横向摇摆的振幅X的概率密度为f x Axe 0, x 0 ， 为常数试确定常数A,并求E(X)、D(X)和P X E(X) 。

x22 解 f x dx A 0 xedx A e2 x22 0 A 2 1,A 1 2 1E(X) 2 EX2 x2e x22dx xde x22 xe x22 0 e x22 dx2 2 2 1 2 x3e x22 dx2x2令t2 22 2 te tdt 2 2 tde t 2 2 D X EX2 E X 2 2 2 2 222 2P X E(X) 1 P X E(X) 1 6.设 X、Y 的联合分布为右表f(x)dx 12 12 24xedx e2 x2 Y(1)求E X 、E Y (2)设Z Y/X、求E Z (3)设W X Y 、求E W 210.20.10.120.101.1300.30.101解E(Y) 0.2 0.1 0 1 0.1 0 0.3 0 0.1 0.1 0.1 1 0E(X) 0.2 0.1 0.1 1 0.1 0 0.1 2 0 0.3 0.1 3 2ZPWP-10.200.1-120.110.2 13040.3 0.490.410.1130.1160120.111 1E(Z) 0.2 1 0.1 0.1 1 0.1 0.1 0.066732 2 E(W) 0.1 0 0.2 1 0.3 4 0.4 9 0 16 5。

7.设随机变量X与Y相互独立,且都听从均值为0，方差为1/2的正态分布，求随机变量X Y的方差令Z X Y,那么Z N(0,1) fZ(z)解 z2 2E(Z) zfZ(z)dz zfZ(z)dz zfZ(z)dzE(Z) E(Z2)2 z2 z2 dz 122D(X Y) D(Z) E(Z) E2(Z) 12 8.箱内有4个白球和5个红球，不放回地接连从箱中2次取球，第1次取出3只球，第2次取出5只球．设X和Y分别表示这2次取出球中的白球数，那么E(X|Y 1)为多少？解：条件期望E(X|Y 1)的含义是：在确定其次次取出的5只球中有1个白球的状况下，第一次取出3只球中平均白球数是多少？为求得条件期望E(X|Y 1)，先要求得Y 1条件下X的条件分布，即其次次抽取5只球中只有1只白球，其余4只是红球，因此第一次抽球只能在3只白球和1只红球中随机抽3只球，这时X至少为2，因为红球只有1个，故P{X 0|Y 1} P{X 1|Y 1} 0，21C C3，P{X 2|Y 1} 34C43C31P{X 3|Y 1} ，C44由此可算得Y 1下的条件期望E(X|Y 1) 2 33419 。

449.某大楼共有10层，某次有25人在一楼搭乘电梯上楼，假设每人都等可能的在2~10层中的任一层出电梯，且出电梯与否相互独立，同时在2~10层中没有人上电梯又知电梯只有在有人要出电梯时才停，求该电梯停的总次数的数学期望解：由题设，每人在第i层下电梯的概率均为层下电梯，那么有P Ak1 i 2,3, ,10 ，设Ak表示第k人在第i9 18,P k (k 1,2, ,25)，101又 A1, ,A25相互独立，因此第i层无人下电梯〔电梯不停〕的概率为 25 25 8 P k P k 9 k 1 k 1 设Xi25 1,第i层有人下 ，i 2, ,10，那么0,第i层无人下 8 8 P Xi 0 ,P Xi 1 1 ,i 2,3, ,10 9 9 因此，电梯停的总次数为X2525 X i 210i， 8 25 10 10 EX E Xi E Xi 9 P Xi 1 1 9 1 i 2 i 2 9 10.设随机变量X的概率密度为 ax2 bx c,0 x 1 f(x)0,其他.确定:E〔X〕=0.5,D〔X〕=0.15,求系数a、b、c。

解：由密度函数性质及已给条件，知有1ab c， 2a 3b 6c 6， 032 11abc E(X) xf(x)dx xax2 bx cdx ， 3a 4b 6c 6， 02432 1abc E(X2) x2f(x)dx x2ax2 bx cdx ， 0543 abc10.15 D(X) E(X2) E2(X) ， 12a 15b 20c 24，5434 f(x)dx ax2 bx cdx1 三个方程，三个变量，解之可得：a 12,b 12,c 3211.设随机变量X，Y相互独立，且都听从N , ，设Z max X,Y ，求E Z 解：设UX ,VY ，那么X U ,Y V ，由于X与Y相互独立 U,V相互独立，且U~N 0,1 ,V~N 0,1 Z max X,Y max U , V max U,V U,V相互独立，且U~N 0,1 ,V~N 0,1 ，那么有T U V~N 0,2 E T t 2 2dt 2而max U,V1 U V U V ，那么有2 1EU EV EU V2E max U,V因此E max X,Y E maxU,V 四、证明题设随机变量X和Y相互独立，试证明 。

D(X Y) D(X)D(Y) E2(X)D(Y) E2(Y)D(X)． 证明：D(X Y) E (XY) E(XY) 2 E(XY)2 2XYE(XY) E2(XY) E(XY)2 2E(XY)E(XY) E2(XY) E(X2Y2) E2(XY)， 因为X和Y相互独立，所以有E(X Y) E(X) E(Y)，又E(X2Y2) 从而有 22 xyf (x,y)dxdy 2 xfX(x)dx y2fY(y)dy E(X2)E(Y2)，D(XY) E(X2)E(Y2) E2(X)E2(Y)2222222 E(X) E(X) E(Y) E(X)E(Y) E(X)E(Y)22 D(X)E(Y2) E2(X) E(Y) E(Y) 22 D(X)E2(Y) E2(X)D(Y) D(X) E(Y) E(Y) D(X)D(Y) E2(X)D(Y) E2(Y)D(X) §4.3协方差和相关系数§4.4原点矩与中心矩.三、计算以下各题1.假设随机变量 X,Y 在区域D上听从匀称分布D x,y 0 x 1,0 y x ,求随机变量X,Y的相关系数。

解A dxdy dx dyD 1x1x1,2 2,(x,y) D f(x,y) 0,(x,y) D E(x) 2 xdx dy 1x1x2112,Ex2 2 x2dx dy ,D(x) Ex2 E(x)003218 1x111 1 12E(y) 2 dx ydy ,Ey 2 dx y2dy ,D(y) ,0000。