4.3协方差和相关系数,概率.ppt

山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂§4.3 4.3 协方差和相关系数协方差和相关系数 1. 定义定义 若若E[X-E(X)][Y-E(Y)]存在，则称其为随机变量存在，则称其为随机变量X与与Y的协方差记为的协方差记为cov(X, Y)或或Cov(X, Y), 即即Cov(X,Y) = E[X- -E(X)][Y- -E(Y)]协方差协方差 2.协方差的计算协方差的计算 4.3.1 协方差协方差离散型随机向量离散型随机向量其中其中 P{X=xi ,Y=yj}=pij i, j=1, 2, 3, ….连续型随机向量连续型随机向量山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 3. 协方差计算公式协方差计算公式Cov(X,Y)=E(XY )－－E(X)E(Y)（（1）若）若 X与与Y独立独立,则则Cov(X, Y)=0注注（（2））D(X±Y) = D(X) + D(Y)±2Cov(X, Y) 4. 协方差的性质协方差的性质（（1））Cov(X, Y) = Cov(Y, X) （（2））Cov(aX, bY) = abCov(X, Y), a,b 为常数为常数 （（3））Cov(X1+X2, Y) = Cov(X1,Y) + Cov(X2,Y)（（4）当）当X与与Y相互独立时，有相互独立时，有Cov(X, Y) = 0山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 例例1 设二维随机变量的联合分布律为设二维随机变量的联合分布律为 X Y010q010pX01Pqp其中其中p+q=1，求相关系数，求相关系数 XY．． 解解 由由(X,Y)的联合分布律，可得的联合分布律，可得X与与Y的边缘分布律为的边缘分布律为Y01Pqp均为均为0-1分布，于是有分布，于是有所以所以山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂求求 解解 因为因为同理可得同理可得 例例2 2 设二维设二维（（X X，，Y Y））随机变量的密度函数为随机变量的密度函数为山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 由由协方差协方差的性质的性质(2)知知, 协方差取值的大小要受到量协方差取值的大小要受到量纲的影响纲的影响, 为了消除量纲对协方差值的影响为了消除量纲对协方差值的影响,我们把我们把X,Y标准化后再求协方差标准化后再求协方差山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 1. 定义定义 对于随机变量对于随机变量X和和Y, 若若D(X)≠００, D (Y)≠００, 则称则称为随机变量为随机变量X和和Y的的相关系数相关系数（标准协方差）（标准协方差） 。

当当ρXY = 0时时 , 称称X与与Y不相关不相关 （（1））|ρXY| ≤ 1；； （（2））|ρXY| = 1当且仅当当且仅当 P{Y=aX+b}=1 , 其中其中a, b为常数相关系数相关系数ρXY刻划了随机变量刻划了随机变量X和和Y的线性相关程度的线性相关程度 4.3.1 相关系数（标准协方差）相关系数（标准协方差） ２２.性质性质山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 证明证明 （（1））即即 (2) 由方差性质得由方差性质得成立的充分必要条件为成立的充分必要条件为山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂而而山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂的充要条件是的充要条件是即即从而从而且山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂于是由于是由:得得这说明这说明X与与Y是不相关的是不相关的, 但但显然，显然，X与与Y是不相互独立的是不相互独立的 例例3 若若X~N(0, 1), Y=X2, 问问X与与Y是否不相关？是否不相关？ 解解 因为因为X~N(0, 1), 密度函数密度函数为偶函数为偶函数,所以所以山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 解解 X，，Y的联合密度的联合密度f(x,y)及边缘密度及边缘密度 fX(x), fY(y) 如下：如下： 从而说明二维正态分布随机变量从而说明二维正态分布随机变量X、、Y相互独立相互独立 ρ=0，，即即X、、Y相互独立与不相关是等价的。

相互独立与不相关是等价的 例例4 设设(X, Y)服从二维正态分布，求服从二维正态分布，求X, Y的相关系数的相关系数山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂1.1.将一枚不均匀硬币投掷将一枚不均匀硬币投掷n次，以次，以ＸＸ和和ＹＹ分别表示出现正面和分别表示出现正面和反面的次数，则反面的次数，则ＸＸ和和ＹＹ的相关系数为的相关系数为 （Ａ）－１；（Ａ）－１； （Ｂ）０；（Ｂ）０； （Ｃ）（Ｃ） ½ ；； (D) 1 2.2.设随机变量设随机变量ＸＸ和和ＹＹ独立同分布，记独立同分布，记U=X+Y, V=X-Y,则则ＵＵ和和ＶＶ （Ａ）不独立；（Ａ）不独立； （Ｂ）独立；（Ｂ）独立； （Ｃ）相关系数为０；（Ｃ）相关系数为０； （（D））相关系数不为０相关系数不为０ 3.3.设设ＸＸ是随机变量，是随机变量，ＹＹ=aX+b (a≠００), 证明证明 ：：４４. .设随机变量设随机变量ＸＸ的概率密度为的概率密度为求求ＸＸ与与|X|的协方差，问的协方差，问ＸＸ和和|X|是否不相关，是否相互独立．是否不相关，是否相互独立．练练 习习 题题山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂选例选例1求求ρXY解解 E(X) = 2 , E(Y) = 2；；E(X2) = 9/2 , E(Y2) = 9/2；； D(X) =1/2, D(Y) = 1/2。

E(XY) = Cov(X, Y) = 23/6 – 4 = - 1/6 ; ¼ ½ ¼ Y 1 2 3 1 0 1/6 1/12 2 1/6 1/6 1/6 3 1/12 1/6 0X1/41/21/4山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂 选例选例2 设随机变量设随机变量X的方差的方差D(X)≠００且且 Y=aX+b (a≠００), 求求X和和Y的相关系数的相关系数ρXY解解山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂证明证明 (1) 因为因为同样同样 E(Y) = 0于是于是ρXY= 0，所以，所以 X与与Y不相关。

不相关 选例选例3 已知（已知（X,Y）的概率密度如下，试证）的概率密度如下，试证X与与Y既不既不相关，也不相互独立相关，也不相互独立山东农业大学 概率论与数理统计 主讲人：程述汉 苏本堂显然，显然，fX(x)fY(y)≠f(x,y)，因此，，因此，X与与Y不相互独立不相互独立2) 选例选例3 已知（已知（X,Y）的概率密度如下，试证）的概率密度如下，试证X与与Y既不既不相关，也不相互独立相关，也不相互独立。