多元正态分布均值向量和协差阵的检验(共45页).ppt

第三章 多元正态分布均值向量和协差阵的检验2021/12/91第三章 多元正态分布均值向量和 协差阵的检验&第一节 均值向量的检验&第二节 协差阵的检验2021/12/92补充：到底什么是假设检验？让我们先看一个例子2021/12/93生产流水线上罐装可乐不断地封装，然后装箱外运 怎么知道这批罐装可乐的容量是否合格呢？把每一罐都打开倒入量杯, 看看容量是否合于标准？ 罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间2021/12/94每隔一定时间，抽查若干罐 如每隔1小时，抽查35罐，得35个容量的值X1，X35，根据这些值来判断生产是否正常这就产生两种可能（假设）：通常的办法是进行抽样检查生产正常？生产不正常？2021/12/95这就需要根据X1, X35的样本信息，检验上述的两个假设哪个正确：H0：称H0为原假设（或零假设） 它的对立假设是：H1：称H1为备选假设（或对立假设）生产正常生产不正常2021/12/96那么，如何判断原假设H0 是否成立呢？由于 是正态分布的期望值，它的估计量是样本均值 ，因此可以根据 与 的差距 来判断H0 是否成立当 时，可以认为H0是成立的；当 时，应认为H0不成立，即生产已不正常。

2021/12/97怎么来确定？合理的界限在何处？应由什么原则来确定？小概率原则：小概率事件在一次试验中基本上不会发生2021/12/98下面我们用一例说明这个原则这里有两个盒子，各装有100个球小概率事件在一次试验中基本上不会发生99个1个一盒中有99个红球和1个白球另一盒中装有99个白球和1个红球99个2021/12/99 ？现从两盒中随机取出一个盒子，问这个盒子里是白球99个还是红球99个？我们不妨先假设：这个盒子里有99个白球现在我们从中随机摸出一个球，发现是此时应该如何判断这个假设是否成立呢？2021/12/910假设其中真有99个白球，摸出红球的概率只有 ，Y这是小概率事件小概率事件在一次试验中竟然发生了，不能不使人怀疑所作假设的正确性，因此可以认为这个盒子应该不是装有99个白球的那个盒子Y这个例子中所使用的推理方法，称为“带概率性质的反证法”，或“概率反证法” 1/1002021/12/911在假设检验设检验 中，称这这个小概率为为显显著性水平，用 表示 的选择选择 要根据实际实际 情况而定常取u假设检验所以可行，其理论背景即为“小概率原理”假设检验的理论依据：2021/12/912现在回到我们前面罐装可乐的例中：在提出原假设H0后，如何作出接受和拒绝H0的结论呢？ 罐装可乐的容量按标准应在350毫升和360毫升之间。

一批可乐出厂前进行抽样检查，现抽查了n罐，测得容量为X1 , X2 ,Xn，问这一批可乐的容量是否合格？可乐的假设检验2021/12/913提出假设: 假定 已知，构造检验统计量z： 对给定的显著性水平 ，可以在N(0,1)表中查到分位点的值 ，使由原来观察大小，转变为观察 的大小2021/12/914也就是说，“ ”是一个小概率事件故我们可以取拒绝域为： 如果由样本值算得该统计量的实测值落入区域 ，则拒绝H0 ；否则，不能拒绝H0 拒绝域如果H0 是对的，那么衡量差异大小的某个统计量落入红色区域 (拒绝域) 是个小概率事件也就是说， H0 成立下的小概率事件发生了，那么就认为H0不可信而否定它否则，我们就不能否定H0 （只好接受它）接受域拒绝域从小概率的角度看：2021/12/915&其基本思想和步骤均可归纳为：第一，提出待检验的假设H0和H1；第二，给出检验的统计量及其服从的分布；第三，给定检验水平，查统计量的分布表，确定相应的临界值，从而得到否定域；第四，根据样本观测值计算出统计量的值，看是否落入否定域中，以便对待判假设做出决策（拒绝或接受）2021/12/916第一节 均值向量的检验 &单一变量检验 的回顾及HotellingT2分布&一个正态总 体均值向量的检验&两个正态总 体均值向量的检验&多个正态总 体均值向量的检验2021/12/917&单一变量假设检验的内容：提出假设构造检验统计量 （总体方差已知时） 判断：根据显著水平 确定临界值 ，当 落在拒绝域，接受备择假设，否则接受原假设。

一、单变量假设检验及Hotelling T2分布2021/12/918&当 未知时，用 （3.2）作为 的估计量，构造检验统计量： （3.3）判断，根据显著水平 ，确定临界值 ，当 ，落入拒绝域，接受备择假设；否则接受原假设 2021/12/919&（3.3）式可以表示为 （3.4）&定义3.1 设 ， 且 与 相互独立， ，则称统计量 的分布为非中心HotellingT2分布，记为 当 时，称 服从（中心）HotellingT2 分布威沙特分布(Wishart)2021/12/920注意：F分布和t 分布有如下关系：&设X和Y是相互独立的服从卡方分布的随机变量，自由度分别为f 1，f 2，则称随机变量 &设X是标准正态变量，Y是自由度为v的卡方变量，且X和Y相互独立，则称随机变量2021/12/921&若 ， 且 与 相互独立，令 ，则 &这表明，将HotellingT2统计量乘上一个适当的常数后，便成为F统计量，从而可利用F分布来进行推断实践中，常用上式给出的F统计量来代替HotellingT2统计量进行推断3.5）因此：HotellingT2与F分布的关系：2021/12/922&在一元正态总体的情况下，若&一元统计中样本方差 是 的估计，有 注意：Wishart分布（一元 分布的推广）2021/12/923&定义2.10 设 且相互独立，则由 组成的随机矩阵： 其中，& 若 且相互独立，则样本离差阵2021/12/924二、一个正态总体均值向量的检验&设 是来自p维正态总 体 的样本，且 ， 。

2021/12/925（一）协差阵 已知时均值向量的检验& &假设 成立，检验统计 量为 （3.6）&给定检验水平 ，查 分布表找出临界值 ，&判断：若 ，则接受备择假设；否则接受原假设)nc;2p2c4=n10=n20=n02021/12/926&注意： 其中，&利用的是p维随机向量二次型的结论之一： 设 ，则 ，其中 2021/12/927（二）协差阵 未知时均值向量的检验& &假设 成立，检验统计 量为 其中， &给定检验水平 ，查F 分布表，可确定出临界值 .&判断：若 ，则接受备择假设，否则接受原假设3.7)()21,ffxp()50,1021=ff()10,1021=ff()4,1021=ffx02021/12/928例题：2021/12/929样本离差阵2021/12/930三、两个正态总体均值向量的检验（一）当协协差阵阵相等时，两个正态总体均值向量的检验&设 ， ，为来自p 维正态总体 的容量为n的样本；& ， ，为来自p维正态总体 的容量为 的样本两组样组样 本相互独立，且 2021/12/9311.针对有共同已知协差阵的情形& &假设 成立，检验统计 量为 （3.8）&给定显著水平 ，查 分布表确定临界值 。

判断：若 ，则接受备择假设 ；否则接受原假设两组样本独立2021/12/9322针对有共同的未知协差阵的情形&提出假设：& 构造检验统计 量 （3.9）&给定显著性水平 ，查F 分布表 确定临界值 &判断：若 ，则接受备择假设；否则接受原假设 2021/12/933例题：2021/12/9342021/12/9352021/12/936 （二）协差阵不等时，两个正态总体均值向量的检验（两总体协差阵未知）设 ， ，为来自p 维正态总体 的容量为n的样本；& ， ，为来自p维正态总体 的容量为 的样本两组样组样 本相互独立,且 ，2021/12/9371针对n=m 的情形& 令 &构造检验统计 量为 （3.10） 2021/12/938令 &构造检验统计 量为 2针对针对 nm 的情形(假设设nm 且两总总体协协差阵阵相差不大时时)2021/12/939第三节 协差阵的检验&一个正态总体协差阵的检验&多个协差阵相等检验2021/12/940一、一个正态总体协差阵的检验&设 来自p 维正态总体 的样本， 未知，且 提出假设用似然比方法可构造出检验统计 量为： （3.16） 其中 2021/12/941 给定检验水平 ，因为直接由 分布计算临界值 很困难，所以通常采用的近似分布。

在原假设成立时，当n较大时，其对数 极限分布是 分布因此当 ，由样本值计算出值，若 即 ，则拒绝原假设 ，否则接受原假设2021/12/942&注意，考虑检验 假设 因为 ，所以存在 ，使得& 令&则因此，检验 等价于检验 此时构造检验统计量为 其中 2021/12/9432021/12/944。