新高考数学（文）大二轮复习学案——第2节参数方程.pdf

第二节参数方程最新考纲 1. 了解参数方程，了解参数的意义.2. 能选择适当的参数写出直线、圆和椭圆曲线的参数方程1曲线的参数方程在平面直角坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x，y都是某个变数t的函数xft，ygt，并且对于t的每一个允许值，由这个方程组所确定的点M(x，y) 都在这条曲线上， 那么这个方程组就叫做这条曲线的参数方程，联系变数x，y的变数t叫做参变数，简称参数2常见曲线的参数方程和普通方程点的轨迹普通方程参数方程直线yy0tan (xx0)xx0tcos ，yy0tsin (t为参数 ) 圆x2y2r2xrcos ，yrsin (为参数 ) 椭圆x2a2y2b21(ab0)xacos ，ybsin (为参数 ) 常用结论 直线参数方程的标准形式的应用过点M0(x0，y0) ，倾斜角为的直线l的参数方程是xx0tcos ，yy0tsin .若M1，M2是l上的两点，其对应参数分别为t1，t2，则|M1M2| |t1t2|. 若线段M1M2的中点M所对应的参数为t，则tt1t22，中点M到定点M0的距离 |MM0|t| t1t22. 若M0为线段M1M2的中点，则t1t20. |M0M1|M0M2| |t1t2|. 一、思考辨析 ( 正确的打“”，错误的打“”)(1) 参数方程xft，ygt中的x，y都是参数t的函数( ) (2) 过M0(x0，y0) ，倾斜角为的直线l的参数方程为xx0tcos ，yy0tsin (t为参数) 参数t的几何意义表示：直线l上以定点M0为起点，任一点M(x，y) 为终点的有向线段M0M的数量( ) (3) 方程x2cos ，y12sin 表示以点 (0,1)为圆心，以2 为半径的圆( ) (4) 已知椭圆的参数方程x2cos t，y4sin t(t为参数 ) ， 点M在椭圆上， 对应参数t3，点O为原点，则直线OM的斜率为3. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) 二、教材改编1曲线x 1cos ，y2sin (为参数 )的对称中心 ( ) A 在直线y2x上B在直线y 2x上C 在直线yx1 上D在直线yx1 上B 由x 1cos ，y2sin ，得cos x 1，sin y 2，所以 (x 1)2(y2)21. 曲线是以 (1,2) 为圆心， 1 为半径的圆，所以对称中心为( 1,2) ，在直线y 2x上 2直线l的参数方程为x1t，y23t(t为参数 ) ，则直线l的斜率为 _3 将直线l的参数方程化为普通方程为y2 3(x1) ， 因此直线l的斜率为3. 3曲线C的参数方程为xsin ，ycos 21(为参数 ) ，则曲线C的普通方程为_y 22x2( 1x1) 由xsin ，ycos 21(为参数 ) 消去参数，得y22x2(1x1) 4在平面直角坐标系xOy中，若直线l：xt，yta(t为参数 ) 过椭圆C：x 3cos ，y 2sin (为参数 ) 的右顶点，则a_. 3 直线l的普通方程为xya0，椭圆C的普通方程为x29y241，椭圆C的右顶点坐标为 (3,0)，若直线l过(3,0)，则 3a0，a3. 考点 1 参数方程与普通方程的互化将参数方程化为普通方程的方法将参数方程化为普通方程，需要根据参数方程的结构特征，选取适当的消参方法常见的消参方法有：代入消参法、加减消参法、平方消参法等，对于含三角函数的参数方程，常利用同角三角函数关系式消参( 如 sin2cos21 等) 将下列参数方程化为普通方程(1)x12etet，y12etet(t为参数 ) (2)x 1sin 2，y12sin cos (为参数 ) (3)x2t21t2，y42t21t2(t为参数 ) (4)x1t21t2，y6t1t2(t为参数 ) 解 (1) 由x12et et，y12et et得2xete t，2yete t，4x2 4y2(ete t)2(etet)24，x2y21. (2) 由x 1sin 2，y12sin cos ，得x 1sin 2，2ysin cos ，(2y)2x(sin cos )2( 1sin 2)0，y2x4，又2 1sin 20，即 2x0，y2x4( 2x0)(3) x2t21t2，y42t21t241t26t21t2432t21t243x，又x2t21t221t221t2221t20,2) ，x0,2) ，所求的普通方程为3xy40(0 x2) (4) 11t21t21，即 1x1，且x2y321t21t224t21t221. 普通方程为x2y291(x 1) 将参数方程化为普通方程时，要注意两种方程的等价性，防止增解考点 2 参数方程的应用1应用直线参数方程的注意点在使用直线参数方程的几何意义时，要注意参数前面的系数应该是该直线倾斜角的正、余弦值 ( 即系数平方和等于1)，否则参数不具备该几何含义2圆和圆锥曲线参数方程的应用有关圆或圆锥曲线上的动点距离的最大值、最小值以及取值范围的问题，通常利用它们的参数方程转化为三角函数的最大值、最小值求解， 掌握参数方程与普通方程互化的规律是解此类题的关键(2019全国卷 ) 在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为x1t21t2，y4t1t2(t为参数 ) 以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为 2cos 3sin 11 0. (1) 求C和l的直角坐标方程；(2) 求C上的点到l距离的最小值解 (1) 因为 11t21t21，且x2y221t21t224t21t221，所以C的直角坐标方程为x2y241(x 1) l的直角坐标方程为2x3y110. (2) 由(1) 可设C的参数方程为xcos ，y2sin (为参数，) C上的点到l的距离为|2cos 23sin 11|74cos3117. 当23时， 4cos311 取得最小值7，故C上的点到l距离的最小值为7. 求椭圆上的点到直线的距离的最值问题，常用三角代换法求解 教师备选例题 在直角坐标系xOy中， 设倾斜角为的直线l的参数方程为x3tcos ，ytsin (t为参数 ) ，直线l与曲线C：x1cos ，ytan (为参数 ) 相交于不同的两点A，B. (1) 若3，求线段AB的中点的直角坐标；(2) 若直线l的斜率为2，且过已知点P(3,0)，求 |PA| |PB| 的值解 (1) 由曲线C：x1cos ，ytan (为参数 ) ，可得曲线C的普通方程是x2y21. 当3时，直线l的参数方程为x312t，y32t(t为参数 ) ，代入曲线C的普通方程，得t26t160，得t1t26，所以线段AB的中点对应的tt1t223，故线段AB的中点的直角坐标为92，332. (2) 将直线l的参数方程代入曲线C的普通方程， 化简得 (cos2 sin2)t26cos t80，则|PA| |PB| |t1t2| 8cos2sin281tan21tan2，由已知得tan 2，故 |PA| |PB| 403. 在平面直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为x4cos ，y4sin (为参数 )，直线l经过点P(1,2) ，倾斜角6. (1) 写出圆C的普通方程和直线l的参数方程；(2) 设直线l与圆C相交于A，B两点，求 |PA| |PB| 的值解 (1) 由x4cos ，y4sin ，消去，得圆C的普通方程为x2y2 16. 又直线l过点P(1,2) 且倾斜角6，所以l的参数方程为x1tcos6，y2tsin6，即x132t，y212t(t为参数 ) (2) 把直线l的参数方程x 132t，y 212t代入x2y2 16，得 132t2 212t216，t2(32)t 110，所以t1t2 11，由参数方程的几何意义，|PA| |PB| |t1t2| 11. 考点 3 极坐标、参数方程的综合应用处理极坐标、参数方程综合问题的方法(1) 涉及参数方程和极坐标方程的综合题，求解的一般方法是分别化为普通方程和直角坐标方程后求解当然，还要结合题目本身特点，确定选择何种方程(2) 数形结合的应用，即充分利用参数方程中参数的几何意义，或者利用和的几何意义，直接求解，能达到化繁为简的解题目的已知直线l的参数方程为x1t，y23t(t为参数 ) ，以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为4cos . (1) 求直线l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；(2) 若l与C交于A，B两点，设M(1,2) ，求1|MA|1|MB|的值解 (1) 由x1t，y23t得x1t，y23t，消去参数t得 3(x 1)y 2，即 3xy10，所以直线l的普通方程为3xy10. 由 4cos ，得24cos ，化为直角坐标方程得x2y2 4x，即x2y24x 0，所以曲线C的直角坐标方程为x2y24x0. (2) 把x1t，y23t代入x2y24x0，得(1 t)2(23t)24(1 t) 0，整理得10t210t10，102410 0，设方程10t210t10 的两个根分别为t1，t2，则t1t2 1，t1t2110，显然t10，t20，因为直线l的参数方程为x1t，y23t，即x111010t，y231010t，所以1|MA|1|MB|1|10t1|1|10t2|1101t11t2t1t210t1t21101010. 解答本例第 (2) 问时，易误认为|MA| |t1| ，|MB| |t2| ，导致解题错误应把直线的参数方程化为标准的参数方程，然后再求解 教师备选例题 在直角坐标系xOy中，圆C的方程为 (x6)2y225. (1) 以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，求C的极坐标方程；(2) 直线l的参数方程是xtcos ，ytsin (t为参数 )，l与C交于A，B两点， |AB| 10，求l的斜率解 (1) 由xcos ，ysin 可得圆C的极坐标方程为212cos 110. (2) 法一：由直线l的参数方程xtcos ，ytsin (t为参数 ) ， 消去参数t得yxtan . 设直线l的斜率为k，则直线l的方程为kxy0. 由圆C的方程 (x6)2y225 知，圆心坐标为( 6,0) ，半径为5. 又|AB| 10，由垂径定理及点到直线的距离公式得| 6k|1k2251022，即36k21k2904，整理得k253，解得k153，即l的斜率为153. 法二：在 (1) 中建立的极坐标系中，直线l的极坐标方程为(R) 设A，B所对应的极径分别为1，2，将l的极坐标方程代入C的极坐标方程得212cos 110，于是12 12cos ，1211. |AB| |12| 122412144cos244. 由|AB| 10得 cos238，tan 153. 所以l的斜率为153或153. 1. (2019 衡 水 模 拟 ) 在 直 角 坐 标 系xOy中 ， 直 线l的 参 数 方 程 为x 3tcos ，y 3tsin (t为参数 )以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为2 2cos 3. (1) 求曲线C的直角坐标方程，并说明它为何种曲线；(2) 设点P的坐标为 (3,3) ，直线l交曲线C于A，B两点，求 |PA| |PB| 的最大值解 (1) 将2x2y2，cos x代入22cos 3 中得x2y22x3，即(x1)2y24，曲线C是一个以 (1,0) 为圆心， 2 为半径的圆(2) 由直线l的参数方程， 知其过定点P(3,3) ，由于直线l与曲线C相交， 由图像知其倾斜角为锐角联立x3tcos ，y3tsin 与(x1)2y24， 整理得到关于t的二次方程t2(4cos 6sin )t9 0. 由 0 知(4cos 6sin )236 0，则 4cos 6sin 6 或 4cos 6sin 6( 舍) 又由于点A，B均在点P的下方，由参数t的几何意义，知|PA|PB| (t1t2)4cos 6sin 213 sin() (6,213其中 tan 23. 所。