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可靠度计算方法 一次二阶矩法 当根本状态变量Xi(i=1,2,···,n)的概率密度未知，或者在概率密度函数困难不易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数绽开后忽视二次以上的项，只考虑它们的一阶原点矩和二阶中心矩这两个特征参数，近似地计算状态函数的均值和方差，求得牢靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order second moment method)，包括中心点法和验算点法中心点法中心点法[56]是早期构造牢靠度探究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平均值和标准差，作为一种简洁的计算方法，对于构造功能函数为Z?R?S的牢靠度问题，牢靠度指标为???Z?Z当随机变量R和S听从正态分布时，式可变为???R??S?2R??2S上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的构造功能函数Z?gX(X1,X2,?,Xn) 12n其中：X1,X2,···,Xn为构造中的n个相互独立的随机变量，其平均值为?X,?X,?,?X，标准差为?X,?X,?,?X12n将功能函数在随机变量的平均值处绽开泰勒级数绽开，取一次项近似nZ?ZL?gX(?1,?2,?,?n)??i?1?g(?)?Xi(Xi??Xi)函数的均值和方差分别为?Z??Z?EZ?gX(?1,?2,?,?n)?Z??ZL??gX(?)2?E(ZL??ZL)??????Xi?1?inXi????2由中心点法的牢靠度指标的定义，从而有???Z?Z?gX(?X1,?X2,?,?Xn)n2?i?1??gX(?)????Xi?Xi????从式和的推导可以看出，中心点法运用了构造功能函数的的一次泰勒级数绽开式和随机变量的的前两阶矩(均值和方差)，故称为一次二阶矩方法，早期也称 为二阶矩模式。

中心点法的优点是自不待言的，即计算简便，不须要进展迭代求解作为一种简洁的计算方法，并没有适当的准那么来确定最正确绽开的因此其缺点也是特别明显的，主要表此时此刻如下三个方面：①功能函数在平均值处绽开不仅合理；②对于力学意义一样、但数学表达形式不同的构造功能函数，由中心点法计算的结果可能不同；③没有考虑随机变量的概率分布 验算点法针对中心点法缺点和缺乏，1974年Hasofer和Lind[57]等人对中心点法进展改良，更加科学地对牢靠度指标进展了定义，将牢靠度指标β定义为标准正态空间中，坐标原点到极限状态面的最短距离，并引入验算点的概念，即验算点法验算点法是国际构造平安度联合委员会所引荐的一种牢靠性分析理论，也被称为JC法作为牢靠度分析计算中最为常用的一种解析方法，可以求解根本变量为非正态分布、多变量、极限状态函数非线性的牢靠性问题假定构造设计中存在着n个相互独立且听从正态分布的根本随机变量X1,X2,···,Xn，其平均值为?X,?X,?,?X，标准差为?X,?X,?,?X那么极限状态函12n12n数表示的是以O—X1,X2,···,Xn为坐标系的n维正态空间上的一个曲面为求解牢靠度指标，将根本随机变量(X1,X2,···,Xn)标准化，形成一组新的听从标准正态分布的随机变量(x1,x2,···,xn)，即：xi?Xi??Xi?Xi依据Hasofer和Lind等人对牢靠度指标新的定义，牢靠度指标β 为标准正态空间中，坐标原点到极限状态的曲面的最短距离，如图2.3中OA*的长度，并将曲面上的A点称为验算点。

这样将牢靠指标的求解转化成标准化随机变量空间的几何求解问题明显，不管构造极限状态方程的数学表达式如何，只要具有一样的力学或物理含义，在标准正态坐标系中，所表示的都是同一曲面，曲面上与坐标原点距离最近的点也只有一个，因而，所得到的牢靠度指标是唯一的，牢靠度指标只与极限状态曲面有关，而不随构造极限状态函数数学表达形式而变 x3x*3极限状态曲面A?3?2* Ox*2?1xx2*1x1 图2 牢靠度指标的几何意义及验算点**,?,xn)处运用泰勒依据前面所述，将构造功能函数Z在假定验算点X*=(x1*,x2级数绽开且只保存线性项：nZ?gX(X1,X2,?Xn)?gX(x,x,?,x)?*1*2*n?i?1?gX?XiA(Xi?xi)*其中：?gX?Xi??gX?dxi??gX1??? ????xi?dXi??xi?Xi构造功能函数的平均值和标准差为n?Z?gX(x,x,?,x)??i?1n*1*2*n?gX?XiX*(?Xi?xi)*?z??i?1??gX???XiX*?Xi???2从而牢靠度指标可表示为ngX(x,x,?,x)?*1*2*n?i?1X*?gX?XiX*(?Xi?xi)*??n?i?1??gX???Xi?X?i??2由牢靠度指标的几何意义，验算点和牢靠度指标之间具有如下关系：xi??Xi???Xicos?i*在标准化正态空间中，由其中的几何关系可以得到极限状态曲面在假定验算点X*处法线方向余弦cosθi： ?gXcos?i???Xi?n??gX????i?1??Xi?X*?XiXi?Xi???2????1/2 依据牢靠度指标的定义及牢靠度指标的几何意义，验算点与牢靠度指标之间具有如下关系：xi??Xi???*Xicos?i假设确定根本随机变量的均值和方差，那么可依据以上的式子求出?的值，但预先不知道验算点，因此在绽开成Taylor级数时，必需先假定一个验算点，例如根本随机变量的均值点，计算过程中用迭代法逐步靠近真正的验算点，修正所得到的?值，直到得到满足的结果。

详细计算步骤如下：(1) 假设xi*的初值，一般取为均值点xi*??X；i(2) 计算值?gX?XiX*；(3) 由式计算β；(4) 利用xi*初值，代入式，计算cos?i； (5) 将所得的β值代入式，求出新的验算点xi*值；(6) 重复(2)~(5)的步骤，直到前后两次求得的?值相差小于要求的精度为止 当根本变量为多维正态分布时，可由上述计算步骤在正态空间上干脆求得牢靠度指标?，估计工程构造的失效概率但是，在工程构造的极限状态方程中，常包括非正态分布的根本随机变量对于这种极限状态方程的牢靠度分析，一般要把非正态随机变量当量化或等概率变换为正态随机变量，然后在正态空间进展分析蒙特卡洛模拟法蒙特卡洛模拟法[58](Monte-Carlo Simulation)也被称为随机抽样法、概率模拟法或统计试验法，通过随机模拟来对客观的现象进展探究的一种方法改法依据统计抽样理论，利用电子计算机探究随机变量的数值计算方法由于它以概率论和数理统计理论为根底，故被一些物理学家以位于法国与意大利接壤的著名于世的赌城蒙特卡罗命名，以此来表示其随机性的特征蒙特卡洛法的根本思想是，假设确定状态变量的概率分布，依据构造的极限状态方程Z=g(X1,X2,···,Xn)=0，利用蒙特卡洛方法产生符合状态变量概率分布的一组随机数x1,x2,···,xn，将随机数代入状态函数Z=g(X1,X2,···,Xn)计算得到状态函数的一个随机数。

如此用同样的方法产生N个状态函数的随机数假如N个状态函数的随机数中有M个小于或等于1(以平安系数表示边坡状态)，或小于或等于零(以平安储 备表示边坡状态)，当N足够大时，依据大数定律，此时的频率已近似于概率，因而可得边坡的稳定失效概率为 Pf?p?gX(X1,X2,?,Xn)?0??MN如须要，还可由已得的N个g(x)值来求均值μg和标准差σg，从而得到牢靠度指标β蒙特卡洛模拟法的主要优点：这是一个普遍的方法，只要当状态变量的分布为确定时就可以应用，它不会因状态变量为非正态分布，状态变量彼此相关，状态函数的非线性等问题而发生困难或使精度降低因为蒙特卡洛法的误差只与标准差和样本容量N有关，而与样本元素所在空间无关，那么它的收敛速度与问题维数无关；同样，蒙特卡洛法的收敛是概率意义下的收敛，可指出其误差以接近1的概率不超过某个界限，亦与问题维数无关由于蒙特卡洛方法分析结果具有相对准确的特点，常用于各种牢靠度近似分析方法计算结果的校核蒙特卡洛方法也存在局限性，主要是蒙特卡洛法的收敛速度慢，因此花费机时数较大响应面法在困难构造中，当功能函数g(X)与随机变量X之间的关系不能显式表达时，选用一个适当的明确表达的函数式来近似地表示一个功能函数g(X)，也就是通过尽可能少的一系列确定性的有限的数值来拟合一个响应面以代替未知的真实的极限状态曲面，从而可以用任何确定的各种方法计算牢靠度(如图2.4)，这就是响应面法(Response Surface Method)。

最早是由Box和Wilson提出和应用[59]响应面方法是统计学的综合试验技术，采纳推断的方法对极限状态方程在验算点旁边进展重构用响应面法重构困难构造的近似功能函数，就是设计一系列变量值，每一组变量值组成一个试验点，然后逐点进展构造数值计算得到对应的一系列功能函数值，通过这些变量值和功能函数值来重构一个明确表达的函数关系，以此函数关系为根底计算构造的牢靠度或失效概率对于n个随机变量X1,X2,…,Xn的状况，大量的探究成果说明，兼顾简洁性、敏捷性及计算效率与精度要求，响应面解析表达式的形式，通常取不含穿插项的二次多项式，即图2.4 响应面函数X2OX1真实曲面Z响应面 Z?g?X1,X2?Z?g?X1,X2?本文来源：网络收集与整理，如有侵权，请联系作者删除，谢谢！第8页 共8页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页第 8 页 共 8 页。