2022年选修不等式选讲第二节证明不等式的基本方法.docx

精选学习资料 - - - - - - - - - 其次节 证明不等式的基本方法1．比较法〔1〕作差比较法 ①理论依据： a＞b. a－b＞0；a＜b. a－b＜0. ②证明步骤：作差→变形→判定符号→得出结论．〔2〕作商比较法 ①理论依据： b＞0,a b＞1. a＞b； a b＜0,b＞1. a＜b. ②证明步骤：作商→变形→判定与 2．综合法1 的大小关系→得出结论． 〔1〕定义：从已知条件动身,利用定义、公理、定理、性质等,经过一系列的推理、论 证而得出命题成立,这种证明方法叫做综合法．综合法又叫顺推证法或由因导果法．〔2〕思路：综合法的思索路线是“ 由因导果” ,也就是从一个〔组〕已知的不等式动身,不断地用必要条件代替前面的不等式,直至推导出要求证明的不等式．〔3〕利用综合法证明不等式时,应留意对已证不等式的使用,常用的不等式有： 〔1〕a2≥ 0；〔2〕|a|≥0； 〔3〕a 2＋b2≥2ab,它的变形形式又有〔a＋b〕 2≥4ab,a 2＋b 22≥〔a＋b 2 〕2 等；〔4〕a＋ b ≥ 2ab,它的变形形式又有a＋1 a≥2〔a＞0〕,b a＋ a b≥2〔ab＞ 0〕, b a＋a b≤－ 2〔ab＜0〕等．3．分析法名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 〔1〕定义：从要证的结论动身,逐步寻求使它成立的充分条件,直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实〔定义、公理或已证明的定理、性质等 〕,从而得出要证的命题成立,这种证明方法叫做分析法． 〔2〕思路：分析法的思索路线是“ 执果索因” ,即从要证的不等式动身,不断地用充分 条件来代替前面的不等式,直至找到已知不等式为止．〔3〕用分析法证“ 如 A 就 B” 这个命题的模式是：为了证明命题 B 为真,只需证明命题 B1 为真,从而有⋯ ⋯只需证明命题 B2 为真,从而有⋯ . ⋯ ⋯只需证明命题A 为真,而已知A 为真,故 B 必真．4．反证法 先假设要证的命题不成立,以此为动身点,结合已知条件,应用公理、定义、定理、性质等,进行正确的推理,得到和命题的条件〔或已证明的定理、性质、明显成立的事实等〕矛盾的结论,以说明假设错误,从而证明原命题成立,我们把它称为反证法．反证法主要适用于以下两种情形：〔1〕要证的结论与条件之间的联系不明显,直接由条件推出结论的线索不够清晰； 〔2〕假如从正面证明,需要分成多种情形进行分类争论,而从反面进行证明,只争论一 种或很少的几种情形．5．放缩法 证明不等式时, 通过把不等式中的某些部分的值放大或缩小,明的目的,我们把这种方法称为放缩法．简化不等式, 从而达到证1．已知 0＜ a1＜a2,0＜ b1＜b2,且 a1＋a2＝b1＋ b2, a1≠ b1,就关于三个数： a1b1＋a2b2；a1b2＋a2b1；a1a2＋b1b2的大小关系说法：① a1b1＋a2b2 最大； ②a1b2＋a2b1 最小； ③a1a2＋b1b2最小；④ a1b2＋a2b1与 a1a2＋ b1b2 大小不能确定,其中正确选项 ________．解析： ∵〔a1b1＋a2b2〕－ 〔a1b2＋a2b1〕 ＝〔a1－a2〕〔b1－b2〕＞ 0,∴a1b1＋a2b2＞a1b2＋a2b1. ∵〔a1b2＋ a2b1〕－〔a1a2＋ b1b2〕＝〔a1－b1〕〔b2－a2〕 名师归纳总结 ＝〔a1－b1〕2＞0,第 2 页,共 14 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ∴a1b2＋a2b1＞a1a2＋b1b2,故①③正确．答案： ①③2．设 P＝2,Q＝7－3,R＝6－2,就 P、Q、R 的大小次序是 ________．解析： ∵ 2＋2＝2 2＞6,∴ 2＞6－2,即 P＞R；又∵ 6＋3＞7＋2,∴ 6－2＞7－3,即 R＞Q；故有 P＞R＞Q. 答案： P＞R＞Q3．如 x,y,z 是正数,且满意xyz〔x＋y＋z〕＝1,就 〔x＋y〕〔y＋z〕的最小值是 ________．解析： 〔x＋y〕〔y＋z〕＝xy＋xz＋y 2＋yz＝y〔x＋y＋z〕＋xz≥2 xyz x＋y＋z ＝2. 答案： 2 4．如不等式x＋1 x＞|a－5|＋1 对一切非零实数x 均成立,就实数a 的取值范畴是________．解析：x＋1 x＝|x|＋ 1 x≥2|x| ·1 |x|＝2,故应有 2＞ |a－5|＋1,即|a－5|＜1,因此 4＜a＜6. 答案： 4＜a＜ 6 × 35．已知 a＞ b＞c＞d,就 1 a－b＋ 1 b－ c＋ 1 c－d 〔a－d〕的最小值为 ________．1 ×b－c1解析： 原式＝1＋1 ＋b－c 1 c－d [〔 a－ b〕＋ 〔b－ c〕＋ 〔c－ d〕]≥331×a－ba－bc－d3a－b b－c c－d ＝9. 答案： 9 热点考向一 比较法名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 14 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例1 求证： 〔1〕当 x∈R 时, 1＋2x 4≥2x 3＋ x 2；〔2〕当 a,b∈R＋时, a ab b≥ 〔ab〕 . 【证明】 〔1〕法一： 〔1＋2x4〕－〔2x 3＋x2〕 ＝2x 3〔x－1〕－〔x＋1〕〔x－1〕 ＝〔x－1〕〔2x 3－x－1〕 ＝〔x－1〕〔2x 3－2x＋x－1〕 ＝〔x－1〕[2x〔x 2－1〕＋〔x－1〕] ＝〔x－1〕2〔2x2＋2x＋1〕 ,＝〔x－1〕2[2〔 x＋1 2〕 2＋1 2] ≥0,∴1＋2x4≥2x 3＋x 2. 法二： 〔1＋2x 4〕－〔2x3＋x2〕 ＝x 4－2x3＋x2＋x4－2x2＋1 ＝〔x－1〕2· x 2＋ 〔x 2－1〕2≥0 ∴1＋2x 4≥2x3＋x2. 〔2〕aab b＝aa＋bb＝〔a b〕ab2当 a＝b 时, 〔a b〕＝1. 当 a＞b＞0 时,a b＞1,a－b 2 ＞ 0,〔a b〕a－b＞1. 2当 b＞a＞0 时,名师归纳总结 0＜a b＜1,a－ b a－b2＜0,〔a b〕 2＞1. 〔商〕－变形－判定－结论,而变形第 4 页,共 14 页∴aabb≥〔ab〕. 【点评】用比较法证明不等式的一般步骤是：作差- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的方法一般有配方法、通分和因式分解．1．〔2022 年江苏卷 〕设 a,b 是非负实数,求证a 3＋b3≥ab〔a2＋b2〕．名师归纳总结 证明： a3＋b3－ab〔a 2＋b 2〕 分析法第 5 页,共 14 页＝〔a3－a2 ab〕＋〔b3－b 2ab〕 ＝a 2 a〔a－b〕－b2 b〔a－b〕 ＝〔a－b〕 ·〔 a5－b5〕．当 a≥b 时,a≥b且a 5≥b 5,当 a＜b 时,a＜b且a 5＜b 5,∴a3＋b3－ab〔a 2＋b 2〕≥0,∴a3＋b3≥ab〔a2＋b 2〕. 热点考向二分析法执果索因寻求结论成立的充分条件例2已知 a＞0,求证：a2＋ 1 2－a2≥a＋1 a－2. 【证明】要证原不等式成立,只需证a2＋ 1 a 2＋2≥a＋1 a＋2,即证 a2＋1 a 2＋4a 2＋1a 2＋4 ≥〔a＋1 a〕2＋22〔a＋1 a〕＋ 2,只需证2·a2＋1 a 2≥ 〔a＋1 a〕,即证 2〔a2＋ 1 a 2〕≥a 2＋ 1 a 2＋2,只需证 a2＋1 a 2≥ 2. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由基本不等式知 a 2＋ 1a 2≥2,上式明显成立．∴原不等式成立．【点评】分析法又叫逆推证法或执果索因法．是从要证明的不等式动身,逐步寻求使它成立的充分条件,直至最终把要证明的不等式归结为判定一个明显成立的不等式为止．2．已知 a＞ b＞0,求证：a－ b2＜a＋b－ 2ab＜a－b 8b2. 8a证明： 欲证a－b2＜a＋b － 2ab＜a－ b2,8a8b只需证a－b 8a2a－b2＜a－b2＜. 28b∵a＞b＞0,名师归纳总结 a－ b∴只需证 ＜ 2 2aa－b ＜a－b,第 6 页,共 14 页222b即a＋b＜1＜a＋b. 2a2 b欲证a＋b＜1,只需证a＋b＜2a,2 a即b＜a.该式明显成立．欲证 1＜a＋b ,只需证 2b＜a＋b,2b即b＜a.该式明显成立．∴a＋b ＜1＜a＋b成立,且以上各步都可逆．2a2 b a－b∴ 8a2＜a＋ b 2－ab＜a－b2成立 . 8b热点考向三综合法综合法 - 由因导果-由已知条件利用定理公式直接推出结论- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 例3 已知 a＞0,b＞0,2c＞a＋b,求证： c－ c 2－ab＜a＜c＋ c 2－ab. 【证明】 由于 a＋ b＜2c,所以 a－2c＜－ b. 又由于 a＞0,所以 a 2－2ac＜－ ab,所以 〔a－c〕 2＜c 2－ab,所以 |a－c|＜ c 2－ab,所以－ c 2－ab＜ a－c＜ c 2－ab,所以 c－ c 2－ab＜a＜c＋ c 2－ab. 【点评】 综合法往往是分析法的逆过程,表述简洁,条理清晰．所以在实际证题时,要常把分析法和综合法结合起来使用．3．已知 a、 b∈〔0＋∞ 〕,且 a＋b＝1,求证：〔1〕1 a＋ 1 b＋ 1 ab≥8；〔2〕a 2＋b。