调和级数发散性的证明方法.docx

调和级数发散性的证明方法姓名：范璐婵摘要：本文给出了调和级数发散性的18种证明方法其中前13种散见于各种资料，笔者 进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔者用有关定理或 方法导出的关键词：调和级数 发散性 部分和 收敛Proofs of the divergency of harmonic seriesName: Fan LuchanDirector: Wang YingqianAbstract: Eighteen methods to prove the divergency of harmonic series are presented in this paper.Some are known and some are new.Key words: harmonic series; divergency; partial sum; convergency引言调和级数艺-的发散性最早是由法国学者尼古拉奥雷姆(1323——1382)在 nn=1极限概念被完全理解之前的400年证明的他的方法很简单：11111111 + + + + + + + + …2 3 4 5 6 7 81111 1111+ —+ (— + ) + (— + + —+ —) + …2 2 4 4 8 8 8 8注意后一个级数每一项对应的分数都不大于调和级数中相对应的项，而且后面1 1级数的括号中的数值和都为1，这样的1有无穷多个，所以后一个级数是趋向无2 2穷大的，进而调和级数也是发散的。

后来，大数学家约翰伯努利也作出了经典的证明他的证明是以莱布尼茨的收敛级数-+ - + — + ... +2 6 12-—+ . = 1为基础的以下是他的证明n(n +1)1 _ 1 1 =—— n(n +1) n n +11 _ 1 1 1 _ 1 1—=——— ， =———・・623 12 34所以11111 1 1 1s — 1 — + — + — +.…+ — — 1 — .n 2 2 3 3 4 n n +1 n +1则s - l i ns — l i na- (1— — .) 1 n* n n* n + 1接着设4 1 1 1A — — + — + + — + ，2 3 n则A -1 + — + —3 + 一4+ …+ 一n一 + …； 2 6 1 2 20 n n +( 1)^_1 , 1 1 , 1 , 1 ,—C — + + + +，・・ + +，・・一1 ；2 6 12 20 n( n +1)n_1 1 1 1 _厂 1_1+ + + + + C ；6 12 20 n(n +1) 2 2厂 1 1 1 1 八1 1E 一 — + — + — + • * + +，••一 D —— 一 一；12 20 30 n(n +1) 6 3 ；-111 1 厂 1 1F 一 — + — + — + • * + +，••一 E —— 一 一；20 30 42 n(n +1) 12 4 ；厂 1 1 1G 一 一 + ——+ —30 42 561+ .…+n(n +1)+. •.一 F —1 _20 —15 ； 1 2 34 51 1C + D + E + F + G +=-+ —+ ——+ + , •-+—一 一+ • •+ +2 6 1220 302 3艮口 A = A +1.没有一个有限数会大于等于自己，即A是无穷大，所以调和级数发散.由上可知，伯努利是以一种“整体论”的态度来对待无穷级数的，他证明调和 级数发散的方法与现代方法形成了鲜明的对比。

伯努利作出这一论证之后的150 年，才有真正的级数理论出现他用简明的A = A +1来证明级数的无穷性，这是 证明量的无穷性的一个最独特的方法而今，随着级数理论的不断完善，我们可以应用更多更精彩的方法证明调和级 数的发散性例如：利用欧拉常数，级数与广义积分敛散性的关系，级数及数列 敛散性的定义和性质，级数敛散性的各种判别法，均值不等式等在级数敛散性 的讨论中，调和级数的应用很广泛了解这些证明方法，对级数敛散性的学习和 研究是有益的，特别在其证明方面能起到举一反三，融会贯通的作用本文给出了调和级数发散性的18种证明方法其中前13种散见于各种资料， 笔者进行了整理，有的采用与原证不同的叙述，比原证更具体明了；后5种是笔 者用有关定理或方法导出的1证法一：利用反证法.假设调和级数£ -收敛，记其和为s,即s=£ -,n=1 n n=1 n由于正项级数若收敛，加括号后仍收敛，且和不变，可知:S= £ -=1+- + - + ... + —^ + — + ... n 2 3 2n -1 2nn=1一 1 1 1 1 1=(1+—) + (一 + )…+ ( + ——)+ …2 3 4 2n -1 2n_ 1 1 1 1 1、2 ( 1+—) + (— + )... + (— + —) +—2 4 4 2n 2n1 1 1=_ + (1+ + ... + —+ ...)2 2 n=1 + S21S > + S2从而。

＞ 2矛盾’所以调和级数必发散.2证法二：证明调和级数£-的部分和可任意大.nn=1依次将£ 1九项，九十项，九百项，…括在一起得 n n=1「11 11 + + …+ +…2 3 n1 1 1 1 1 1 1 1=(1+ — + + _) + ( + + + —) + ( + + …+ ——)+ …2 9 10 11 99 100 101 999,1 「1、- 1 [ 1 「 1^,1 , 1 「 1、,> ( + + ,・・ + ) + ( + + ,・・ + ) + ( + + ,・・ + ) + ,・・10 10 10 100 100 100 1000 1000 1000\ / \ V \<99 90 900= + + + . , •10 100 1000909009 9 9+ + + . • •10 10 10 十 £ 1 £ 1…从上式中可以看出乙一的和可任意大，故级数乙一发散.n nn=1 n=13证法三：利用柯西收敛准则证明部分和数列｛%｝发散.=1 + 1 + 1 + ... + 12事实上，存在£ 0 = 2，对任意自然数N，总能找到两个自然数m°>N，n = 2m，当然也有2m >N，使得1 1 + ,・・+ 2m00I s - s 1=-^ +2 m0 m0 m +1 m + 21 1+... +2m00 0> + 2m 2m0 01=2=° .据柯西收敛准则的否定叙述，｛sj发散从而£1发散.nn=14证法四：证明部分和数列｛s｝的子列匕｝发散.s2m=1+1+(1+1)+(1+1+1+1)+...+(工+2 3 4 5 6 7 8 2m-1 +11 +...2m-1 + 212m + 11X41 - 21 1 1 1=1+(— + +—+…+ _)2 2 2 24 m=1 +2于是 lim > lin+ (1 =+为.m * 2m ( * 2艮口 l i ns = +8 .m T3 2m故数列｛七｝发散，从而调和级数£ n发散.n=15证法五：利用欧拉常数证明.证明数列｛。

｝存在极限C （欧拉常数），这里 n-11 1 「a = 1 + 2 + § + + — - In n，一11 1即 1 + 2 + § + + -Inn =C+ &，其中 & — 0 (当 n S 时)所以从而有1l n n + 一)由 n , nIn 2- Iik 1 , 11ln3 - ln2 < ,21 ln(n +1) 一 ln n〈一， n上述n个不等式两边相加得1 1 1ln(n +1) < 1 + + + …+ ,2 3 n—11 1 1 ,,—1 + 1 + •…+ 1 l nn(+2 3 n n + 1即｛a ｝有下界.其次应用不等式口于是an+11< ln(1+—), n +1 nan an+1 n + 1故｛a｝有是也就是显然个单调下降的数列，因此lima存在，用C表示，即nslim(1 +ns1 1+ …+ - ln n) — C.3 n- 1 1 1 , 八1 + 1 + ・•• +— — ln + C + 82 3 n n.0)lim — lim n+C + 8 =+S・n T3 n ns n1 1 1+ ln(n +1)-lnn = ln(1+—)一——> 0. n n +1故调和级数寸-发散.nn—16证法六：应用级数区an n—1(其中 a > a > …> a > …> 0 )与级数尤 2na1 2 n 2nn—1有相同的收敛性.一 1 1 1 1取 a — (n — 1,2・；),1 > >_>...>_> 0.n n 2 3 n而级数尤2na -£危-尤—+8发散.2« 2nn=1 n = 1 n = 1故调和级数艺-发散.nn—17证法七：利用广义积分法.对于部分和数列{s }:s -1 +1 +1 + ... +1,n 2 3 n1 +1 + - + ... + — 1>fn+1 以因此jn+11d1 x2 3 n 1 xx-1 n (n L) lim ln(n +1) = +8 ,n T81 i ns - +8 ,n T3 n故调和级数寸-发散.nn=18证法八：证明由调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数发散.调和级数中分母末位含有0的项组成的子级数是1 1 + + ,・・1000 1010齐 1 1 1 1乙u — + +・.・+ + +・..+n 10 20 100 110n=11 1 1+ + + ,・・+ + ,・・10000 10010 100000在此级数中，分母从10到100的项共有10项分母从110到1000的项共有90项，其和大于其和大于^0 -—；100 10990—1000 100.、一… 一 …—_ ，一. 900 9分母从1010到10000的项共有900项，其和大于 一=—；10000 100分母从10n + 10至【J 10n+1的项共有9 X 10n-1项，其和大于竺2土 - _L10n+1 100从而尤u , 1 +_9 ・建..+.。