分式的概念和性质基础答案.docx

分式的概念和性质（基础）【学习目标】1. 理解分式的概念，能求出使分式有意义、分式无意义、分式值为0的条件.2. 掌握分式的基本性质，并能利用分式的基本性质将分式恒等变形，进而进行条件计算 【要点梳理】【高清课堂403986分式的概念和性质知识要点】要点一、分式的概念一般地，如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子£叫做分式.其中A B叫做分子，B叫做分母.要点诠释（1）分式的形式和分数类似，但它们是有区别的.分数是整式，不是分式， 分式是两个整式相除的商式.分式的分母中含有字母；分数的分子、分 母中都不含字母.（2） 分式与分数是相互联系的：由于分式中的字母可以表示不同的数，所以 分式比分数更具有一般性；分数是分式中字母取特定值后的特殊情况（3） 分母中的“字母”是表示不同数的“字母”，但n表示圆周率，是一个、一 ，a 常数，不是字母，如一是整式而不能当作分式. 兀（4）分母中含有字母是分式的一个重要标志，判断一个代数式是否是分式x 2 y不能先化简，如—是分式，与xy有区别，xy是整式，即只看形式， x不能看化简的结果.要点二、分式有意义，无意义或等于零的条件1. 分式有意义的条件：分母不等于零.2. 分式无意义的条件：分母等于零.3. 分式的值为零的条件：分子等于零且分母不等于零.要点诠释（1）分式有无意义与分母有关但与分子无关，分式要明确其是否有意义，就 必须分析、讨论分母中所含字母不能取哪些值，以避免分母的值为零（2） 本章中如果没有特殊说明，所遇到的分式都是有意义的，也就是说分式 中分母的值不等于零.（3） 必须在分式有意义的前提下，才能讨论分式的值.要点三、分式的基本性质分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变，这个性质叫做 …— 一、一—A A x M A A + M ― 匕山……分式的基本性质，用式子表示是：；= ，-= （其中M是不等于零的整式）.B B x M B B + M要点诠释（1）基本性质中的A、B、M表示的是整式.其中BN0是已知条件中隐含着 的条件，一般在解题过程中不另强调；MN0是在解题过程中另外附加 的条件，在运用分式的基本性质时，必须重点强调MN0这个前提条件.（2）在应用分式的基本性质进行分式变形时，虽然分式的值不变，但分式 中字母的取值围有可能发生变化.例如：，在变形后，字母x的取值围变 大了.要点四、分式的变号法则对于分式中的分子、分母与分式本身的符号，改变其中任何两个，分式的值不变；改变其中任何一个或三个，分式成为原分式的相反数.要点诠释：根据分式的基本性质有—=—，—= .根据有理数除法的符号法则有 -a a a -a—bbb a a _——=——=-一.分式厂与-丁互为相反数.分式的符号法则在以后关于分式的运算中起着a —a a b b重要的作用.要点五、分式的约分，最简分式与分数的约分类似，利用分式的基本性质，约去分子和分母的公因式，不改变分式的 值，这样的分式变形叫做分式的约分.如果一个分式的分子与分母没有相同的因式（1除外）， 那么这个分式叫做最简分式.要点诠释：（1）约分的实质是将一个分式化成最简分式，即约分后，分式的分子与分 母再没有公因式.（2）约分的关键是确定分式的分子与分母的公因式.分子、分母的公因式 是分子、分母的系数的最大公约数与相同因式最低次幂的积；当分式 的分子、分母中含有多项式时，要先将其分解因式，使之转化为分子 与分母是不能再分解的因式积的形式，然后再进行约分.要点六、分式的通分与分数的通分类似，利用分式的基本性质，使分式的分子和分母同乘适当的整式，不改 变分式的值，把分母不同的分式化成相同分母的分式，这样的分式变形叫做分式的通分要点诠释（1）通分的关键是确定各分式的最简公分母：一般取各分母所有因式的最高 次幂的积作为公分母.（2） 如果各分母都是单项式，那么最简公分母就是各系数的最小公倍数与相 同字母的最高次幂的乘积；如果各分母都是多项式，就要先把它们分解 因式，然后再找最简公分母.（3） 约分和通分恰好是相反的两种变形，约分是对一个分式而言，而通分则 是针对多个分式而言.【典型例题】 类型一、分式的概念1、下列式子中，哪些是整式？哪些是分式?3'【思路点拨】3，一，3 兀2 , 5-=虽具有分式的形式，但分母不含字母，其中一的分母中兀表示3 兀一个常数，因此这三个式子都不是分式.m + 1 a2 ， •ma【答案与解析】52 一，3 + X2，分式：一， 兀 a【总结升华】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不 含有字母则不是分式.类型二、分式有意义，分式值为02、下列各式中，m取何值时，分式有意义？3m(1)——；(2) 一 ； (3) .m + 2 I m I -2 - m 2 - 9【答案与解析】解：(1)由 m + 2 = 0 得 m = -2,m故当m。

—2时分式 有意义.m + 2(2)由 ImI -2 = 0得m = ±2 ,故当m±2时分式有意义.I m I -2(3)由-m2 -9 = -(m2 + 9) < 0 ,即无论m取何值时-m2-9均不为零，意实数时分式^竺都有意义.-m2 - 9【总结升华】首先求出使分母等于零的字母的值，然后让未知数不等于这些值 有意义.这是解答这类问题的通用方法.举一反三：【变式1】在什么情况下，下列分式没有意义？故当m为任便可使分式(1)—―- x(x + 7)(2)(3)【答案】解：分式没有意义的条件是分式的分母等于0.(1) 由 x(x + 7) = 0,得 x = 0 或 x = -7 ,当x = 0或x = —7时，原分式没有意义.(2) 由 x2 = 0,得 x = 0 ,当x = 0时，原分式没有意义.(3) 由 x2 N0 得，x2 + 2 > 0，即 x2 + 2 ^ 0，当x取一切实数，原分式都有意义，即没有x值能使分式没有意义.【变式2】当x为何值时，下列各式的值为0.(1)2 x +13x - 2(2)(3)【答案】解：(1)由 2 x +1 = 0 得 x = -1，当 x = -2 时，3x-2 = 3X (-2)-2 丰 0，1 2 x +1当X = 一兀时，分式——的值为0.2 3x 一 2(2)由 x2 + x = 0 得 x = 0 或 x = -1 ,当 x = 0 时，x 2 - 1 = 0 - 1 丰 0 ,当 x = -1 时，x2 - 1 = (-1)2 - 1 = 0，„ x 2 + x当x = 0时，分式 的值为0.x 2 一 1(3)由 x + 2 = 0得x = —2，当 x = —2 时，x2 — 4 = (—2)2 — 4 = 0，x+2在分式有意义的刖提下，分式 的值永不为0.x 2 — 4类型三、分式的基本性质3、不改变分式的值，将下列分式的分子、分母中的系数化为整数.1 1-x + — y 3 4（2）—x一一 y2 3式中分子、分母同乘50，（2）式的分子、分母同乘12即可.0.2 x + y(1) —；0.02x — 0.5y【思路点拨】将（1）【答案与解析】0.2 x + y解：(1)(0.2 x + y) x 50 10x + 50y0.02 x — 0.5 y (0.02 x - 0.5 y) x 50 x - 25 y '11 —x + — y 34(2)—x — — y 2 3(1 1 ) 5—x + — y x12"3 r)n——x —- "2 3-J【总结升华】利用分式的基本性质，分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式， 分式的值不变.举一反三：2 x【变式1】如果把分式一—中的x,y都扩大3倍，那么分式的值（ 3x — 2 yD扩大2倍C缩小3倍A扩大3倍 B不变【答案】B；【变式2】填写下列等式中未知的分子或分母.(2) (b -a )(c -b) = J(a - c)(a - b)(b - c) a - c【答案】3 - y)2 ； 1；解：(1)先观察分子，等式左边分式的分子为x + y，而等式的右边分式的分子为x2 - y2，由于(x + y)3-y) = x2 - y2，即将等式左边分式的分子乘以x — y，因而分母也要乘以X- y，所以在？处应填上(x- y)2.等式右边的分母为a - c，(a -b)(b-c)，因为(2)先观察分母，等式左边的分母为(。

b)(b-c),根据分式的性质可知应将等式左边分式的分子、分母同时除以(b-a )(c - b) H(b)(b 一 c)] = 1，所以在？处填上 1.4、不改变分式的值，使下列分式的分子和分母不含“一”号.—2a(1)二一；(2)b-4 x—-5 y3m(3)——；(4)-n2b【答案与解析】-2a 2a解：(1) --=—―― bb(2)-4 x _ 4 x—5 y 5 y3m 3m(3) =——-n n2b 2b(4)———=———3c 3c【总结升华】在分子、值不变.一般地，在分式运算的最后结果中，习惯于只保留一个负号，写在分式的前面.分母、分式本身中，只有任意两个同时改变符号时，才能保证分式的类型四、分式的约分、通分5、将下列各式约分：4ax 2(1)赤‘⑵15xn+2 y 4；(3)3 Xny 3a — 1a2-1； (4)16m - m3m 2 + m - 20【答案与解析】… 、4ax2 4x2解：(1) =——c c12 x 3 4 x 2 3 x 3 x-15 xn+2 y 4 • -3 xny 3(2)3xny 33 xny 3 1-5 x2 y .a — 1(3) a2 -1 (a - 1)(a +1)・a +116 m — m 3 — m( m + 4)( m — 4) m 2 + 4m(4) —= =— •m 2 + m — 20 (m + 5)(m — 4) m + 5【总结升华】当分子、分母都是单项式时，分子、分母的公因式即是分子、分母的字母系数 的最大公约数与分子、分母的相同因式最低次幂的乘积.举一反三：【高清课堂403986【变式】通分：（1）(3)分式的概念和性质例6 (2)】ba x;(2)-—-2 x + 21x + 24ac ' 2b2 c3 ( a — bq 7 与^； (4)2a 2b ab 2 c1x 2 — 14 xx2 — 4【答案】解：（1）最简公分母为4ab 2 caa2a2a 24ac 4ab 2 c 4ab 2 c2b2c 4ab2c 4ab2c *x x(2) —2 x + 2 2( x +1)x2 一 1 (x + 1)(x 一 1)，最简公分母为 x ' x 2 — 3中,分式共有（）•（ 一 2 (x 一 2。