《导数在函数中的应用(导数好题解析版)》.docx

第十讲导数的应用教学目标掌握导数应用的题型，总结归纳解题方法教学重点及相应策略导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题.分析相关题型进行分类总结.教学难点及相应策略导数应用求解函数的单调区间，极值最值和恒成立问题^熟悉掌握导数应用各类题型的出题方式，举一反三^掌握典型例题的典型方法.教学方法建议在掌握导数求导的前提下，熟悉并掌握导数应用的题型，典型例题与课本知识相结合，精讲精练.复习与总结同时进行，逐步掌握导数应用的方法^选材程度及数量课堂精讲例题搭配课堂训练题课后作业A类(3)道(3)道(10)道B类(5)道(3)道(10)道C类(3)道(3)道(10)道1. 知识梳理函数的单调性：在某个区间(a,b)内，如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.如果f(x)0,那么函数yf(x)在这个区间上是常数函数.注：函数yf(x)在(a,b)内单调递增，则f(x)0,f(x)0是yf(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件.2. 函数的极值：曲线在极值点处切线的斜率为0,并且，曲线在极大值点左侧切线的斜率为正，右侧为负；曲线在极小值点左侧切线的斜率为负，右侧为正.一般地，当函数yf(x)在点x°处连续时，判断f(x0)是极大(小)值的方法是：(1) 如果在x°附近的左侧f'(x)0，右侧f'(x)0,那么f(x°)是极大值.(2) 如果在X。

附近的左侧f'(x)0，右侧f'(x)0,那么f(x)是极小值.注：导数为0的点不一定是极值点知识点一：导数与函数的单调性方法归纳：f(x)在这个区间内单调递增；如果f(x)在某个区间(a,b)内，如果f(x)0,那么函数yf(x)0,那么函数yf(x)在这个区间内单调递减.如果f(x)在这个区间上是常数函数注：函数yf(x)在(a,b)内单调递增，则f(x)0,f(x)0是yf(x)在(a,b)内单调递增的充分不必要条件【例1】(B类)(2011•朝阳期末)已知函数f(x)x3bx2cxd的图象过点P(0,2),且在点M(1,f(1))处的切线方程为6xy70.(i)求函数yf(x)的解析式；(口)求函数yf(x)的单调区间.【解题思路】注意切点既在切线上，又原曲线上.函数f(x)在区间［a,b］上递增可得:f'(x)0；函数f(x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x)0.【解析】(I)由f(x)的图象经过P(0,2),知d2,32所以f(x)x成cx2.所以f(x)3x22bxc.由在M(1,f(1))处的切线方程是6xy70,知6f(1)70,即f(1)1,f'(1)6.所以32bc&1bc21.2bc即bc3,解得b0.c3.故所求的解析式是f(x)3c2x3x3x22(n)因为f(x)3x6x3,令3x26x30，即x22x10,解得xi12,x212.当x1q或x12时，f'(x)0,当1盘xi72时，f'(x)。

故f(x)X33x23x2在(,1沔内是增函数，在［1握，1很］内是减函数，在［1J2，)内是增函数.3【例2】(A类)右f(x)axx在区间［—1,1］上单倜递增，求a的取值范围.【解题思路】利用函数f(x)在区间［a,b］上递增可得：f'(x)函数f(x)在区间［a,b］上递减可得：f'(x)得出恒成立的条件，再利用处理不等式恒成立的方法获解.2一【解析】Qf(x)3ax1又f(x)在区间［—1,1］上单倜递增-，、■2・■f(x)3ax10在［—1,1］上恒成立即a2在x3x［—1,1］时恒成立1“，一，•1a—故a的取值范围为［一，33］【例3】(B类)已知函数f(x)Inx,g(x)az一(ax0),设F(x)f(x)g(x).(l)求函数F(x)的单调区间；(1)若以函数yF(x)(x(0,3］)图像上任意一点P(xo，y)为切点的切线的斜率,1一k一怛成立，求实数a的最小值；2【解题思路】注意函数的求导法则.注意对数函数定义域.在某点处的切线的斜率为该点的导数值.【解析】(I)Fxfxgx.aInx-1axax0,F'x9x0xxx2x2.•a0,由F'x0xa,,•Fx在a,上单调递增.由F'x0x0,a,..Fx在0,a上单调递减.Fx的单调递减区间为0,a，单调递增区间为a,.xa(II)F'x—^-0x3,xx。

a12kF'x0x3怛成立a一xx0x02max当x1时，—x2x0取得最大值—.21•,a—,--amin=—.2【课堂练习】1.(B类)(山东省烟台市2011届高三上学期期末考试试题(数学文))已知函数-32f(x)axbx的图像经过点M(1,4)，曲线在点M处的切线恰好与直线x9y0垂直.(I)求实数a,b的值；(口)若函数f(x)在区间［m,m1］上单调递增，求m的取值范围.【解题思路】两条直线垂直斜率互为负倒数.在区间［m,m1］上单调递增，即［m,m1］为函数的递增区间的子集.32【解析】(I)f(x)axbx的图象经过点M(1,4)ab4f(x)3ax22bx,f(1)3a2b一一，一一1八…一由已知条件知f(1)(—)1即3a2b99Aab4口a1.••解得:3a2b9b3(n)由(i)知-32一2f(x)x3x,f(x)3x6x令f(x)3x26x0则x2或x0•••函数f(x)在区间［m,m1］上单调递增...［m,m1］(,2］U［0,)m0或m12即m0或m32.(B类)设函数g(x)1x21ax2成(a,bR),在其图象上一点P(x,y)处的切2线的斜率记为f(x).(1) 若方程f(x)。

有两个实根分别为2和4,求f(x)的表达式；(2) 若g(x)在区间［1,3］上是单调递减函数，求a2b2的最小值.【解题思路】注意一元二次方程韦达定理的应用条件.在区间［-1,3］上单调递减，即导函数在相应区间上恒小于等于0.再者注意目标函数的转化.(1)当1m0时，若x0,m时，f(x)0,f(x)为增函数;xm,1时,f(x)0,f(x)为减函数；x1,时，f(x)0,f(x)为增函数.(2)当m1时，x0,1时，f(x)0,f(x)为增函数；x1,m时,f(x)0,f(x)为减函数；xm,时，f(x)0,f(x)为增函数x【解析】(1)根据导数的几何意义知f(x)g(x)x2axb由已知-2、4是方程x2axb0的两个实根由韦达定理,b82f(x)2x8(2)g(x)在区间［—1,3］上是单调递减函数，所以在［—1,3］区间上恒有2f(x)g(x)xaxb0,即f(x)x2ax这只需满足f(1)0即可也即ab1f(3)0b3a9b0在［1,3］恒成立而a2-ab1b2可视为平面区域内的点到原点距离的平万,b3a9其中点(—2,3)距离原点最近,所以当,a2b2有最小值1313.(A类)已知函数f(x)-x2mlnx(m1)x，-mR.当m0时，讨论函数f(x)【解题思路】注意函数的定义域.在确定函数的定义域之后再对函数进行单调性的讨论1)x2(m1)xmx【解析】••f(x)xm(mx(x1)(xm),知识点二：导数与函数的极值最值方法归纳:1.求函数的极值的步骤：(1) 确定函数的定义域，求导数f'(x).(2) 求方程f'(x)0的根.⑶用函数的导数为0的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.检查f'(x)在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f(x)在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f(x)在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f(x)在这个根处无极值.2.求函数在[a，b]上最值的步骤：(1)求出f(x)在(a,b)上的极值.(2)求出端点函数值f(a),f(b).比较极值和端点值，确定最大值或最小值注:可导函数yf(x)在x冷处取得极值是f'(x0)0的充分不必要条件.1 ._【例4】(A类)右函数f(x)mcosx-sin2x在x打处取得极值，则m【解题思路】若在处附近的左侧f'(x)0,右侧f(x)0,且f'M)0,那么f(x°)是f(x)的极大值；若在x°附近的左侧f'(x)0,右侧f'(x)0,且f'(x0)0,那么f(x0)0,是f(x)的极小值.【解析】因为f(x)可导,且f(x)msinxcos2x,所以f(言)msl^—cos—1.一解碍m0.经验证当m0时，函数f(x)—sin2x在x嘉处取得极大值.【注】若f(x)是可导函数，注意f(x0)0是x。

为函数f(x)极值点的必要条件.要确定极值点还需在x0左右判断单调性【例5】(B类)(2011北京文18)已知函数fx(I)求fx的单调区间；(II)求fx在区间0,1上的最小值【解题思路】注意求导的四则运算；注意分类讨论【解析】⑴f/(x)(xk1)占，令f/(x)0xk1；所以fx在(，k1)上递减，在(k1,)上递增;当0k11即1k2时，由⑴知，函数fx在区间0,k1上递减,(k1,1]k;(IIik10,即k1时，函数fx在区间0,1上递增，所以f(x)minf(0)上递增，所以f(x)minf(k1)当k11,即k2时，函数f在区间0,1上递减，所以f(x)min‘⑴(1k)e【例6】(B类)设x1,x2是falnxbxx函数的两个极值点.(1)试确定常数a和b的值;(2)试判断x1,x2是函数x的极大值点还是极小值点，并求相应极值【解析】(1)f2bx1,由已知得:2a2b10a31a4b10.12b6(2)x变化时.f(x),f(x)的变化情况如表:x(0,1)1(1,2)2fx—0+0—fx极小值极大值5故在x1处，函数fx取极小值6；在4-ln2x2处，函数fx取得极大值33【课堂练习】4. f(x)(A类)(2011江西理19)设2.若f(x)在(3)上存在单调递增区间，求a的取值范围.【解题思路】在某区间上存在单调区间等价于在该区间上有极值f.(2,)【解析】f(x)在3上存在单调递增区间,2、(m，n)驾，)f'0即存在某个子区间3使得f(x)0f(x)2xx2a(xb12a由242，2f(x)在区间官)………f侦)0.上单调递减，则只需3即可，221f㈠-2a0a由39解得9,a所以，当1(29时，f(x)在3)上存在单调递增区间5. (B类)(2011陕西文21)设f(x)lnx,g(x)f(x)f(x)(1)求g(x)的单调区间和最小值;(2)。