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浅谈厄米算符 彭金波 （华中师范大学 物理科学与技术学院, 武汉 430079） 摘 要 ：量子力学中，可以观测的物理量要用厄米算符来表示算符的厄米性不仅对算符有了很大的限制，而且对波函数也有一些限制文章将首先介绍一下厄米算符的定义、性质以及与经典的对应，接着重点探讨一下算符的厄米性对波函数的限制 关键词 ：算符；厄米性；物理量；波函数 1 引言 量子力学中的力学量用算符来表示，而实验上的可观测的物理量用厄米算符来表示因此，要弄清物理量的特点，研究厄米算符的性质就显得尤为重要此外，在很多量子力学教材中，算符的厄米性通常被认为主要是对算符的限制[1]，而很少关注或说明算符的厄米性对波函数的限制，甚至有很多不准确的表述（后文将细述）其实，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件 2 厄米算符的定义及性质 若算符 F∧满足 ψ ϕτ ϕ ψ τ∧∧∗∗=∫∫()Fd F d（1） 或者 †FF∧∧=其中 ϕ ψ、 是任意波函数，则称算符 F∧为厄米算符 厄米算符具有一些重要的性质： （1）在任何状态下，厄米算符的本征值必为实数；（2）在任何状态下平均值为实数的算符必为厄米算符；（3）厄米算符的属于不同本征值的本征函数彼此正交;(4)厄米算符的本征函数具有完备性。

3 量子力学中力学量用厄米算符来描述 量子体系中的可观测量（力学量）用线性厄米算符来描述是量子力学的一个基本假设，其正确性应该由实验来判定量子体系中的力学量用相应的线性厄米算符来描述”具有多方面的含义： 其一，算符的线性是状态叠加原理所要求的； 其二，实验上的可观测的力学量总是实数，力学量相应的算符必须是厄米算符；实际上，这种要求是有些过分了，即使某个力学量的算符不是厄米算符，只要它的本征值是实数即可，但是这样做的结果会使本征矢变成超完备的，以致不便于使用[2] 其三，量子力学里测量值通常不是唯一确定的值，而是具有一定概率分布的一系列的值，这些测量值的平均值可用 FFdψ ψτ∧∗=∫（ψ已经归一化）来表示； 其四，力学量之间的关系也可通过相应算符之间的关系（如对易关系）来反映出来基于以上三点，量子力学中的力学量用厄米算符来描述 4 厄米算符与经典的对应 我们知道算符的性质可用矩阵来表示，那么厄米算符对应怎样的矩阵呢？从厄米算符是定义出发： †FF∧ ∧= 而†F∧即先取复共轭再转置故算符 F∧取复共轭再转置若等于本身则为厄米算符对应地，某矩阵的各矩阵元取复共轭再转置若等于本身则为厄米算符对应的矩阵——厄米矩阵。

它是实空间中对称矩阵（矩阵元满足 ij jiFF∧∧=）在复空间的推广，即矩阵元满足ij jiFF∗∧∧=正是由于这个原因，厄米算符与经典中的实对称矩阵有很多相似的性质，如本征值为实数、不同的本征值对应的本征函数彼此正交等 凡是经典中已有的力学量 F,pr∧∧（）皆可通过基本算符而（线性厄米）算符化，一般有 FF,rir∧⎯ ⎯⎯⎯ →−∇h算符化线性厄米（ ,p） （ ） 但是需要指出的是，以线性厄米算符表示力学量扩充了量子力学中力学量的范围，除了有经典的对应的力学量外，即使经典物理中没有相应的力学量，但只要是线性厄米算符，在微观世界中有意义，诸如宇称、自旋、同位旋等，也都是力学量[3] 5 算符的厄米性对波函数的限制 实验上的可观测的物理量都是厄米算符，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件接下来，下文将在一些文献[4] [5] [6]的基础上，以常见的几种一维算符为例，对此做一些探讨 5.1 量子力学中的常见算符 量子力学中的常见算符有坐标算符、动量算符、能量算符、角动量算符等等，对于宇称算符、自旋算符以及同位旋算符，这里我们不讨论从这些常见的算符出发，分析它们对波函数的限制，再利用厄米算符的一些性质（如两厄米算符之和仍为厄米算符，可対易的两厄米算符之积仍为厄米算符）来研究更广泛的算符，以期得到普遍的结论。

5.1.1坐标算符 对于坐标算符 x∧： ()x dx x dx x dxψϕ ϕψ ϕϕ∧∧∗∗∗∗==∫∫∫满足厄米算符定义式（1），即对坐标算符来说，算符的厄米性对波函数无附加限制推广到一般的实函数算符 () ()f xfx∧= 情况下，实函数算符 ()f x∧对波函数都无附加的限制证明如下： () () (() )f xdx fx dx fx dxψϕϕψ ϕϕ∧∧∗∗∗∗==∫∫∫因此常见的势能算符21()2ux kx xε= 或q 等对波函数无附加限制 5.1.2动量算符 对于动量算符xpix∧∂=−∂h ： () ()()xdpdx i dx iddxdiidxdxψ ϕψ ϕψ ϕψϕ ϕ ψ∧∗∗ ∗+∞−∞=− =−=− + −∫∫ ∫∫hhhhxdpidx∧=−h要想保证 是厄米算符，必须 要想保证 0ψ ϕ+∞∗−∞= （2） 一些量子力学教材[2] [6] [7]利用 ,0x ψϕ→∞ →、 来证明动量符是厄米算符（或是转置算符） ，但没有说明这是算符厄米性对波函数的限制，而当成一种已知条件来用。

事实上，波函数的有限性条件只要求,x ψϕ→∞ →、 有限值，并不一定趋于零而且，要使xp∧为厄米算符，只需满足（2）式即可，具体对波函数的要求可以有多种情况 ： （1）两函数都是束缚态 即,x ψϕ→∞ →、0，满足（2）式 （2）两函数一个是束缚态，另一个为非束缚态 即有 ,x ψϕ→∞ → →0， 有限值 ，也满足（2）式 （3）两函数都是非束缚态平面波[2] 1211() exp( / ), () exp( / )22() () ()( ())xxxixxixxp xdx x p x dxψϕππψϕ ϕψ∧∧∗∗==∫∫hhhh即分别计算 和 得到：12212212() ()1exp( / ) exp( / )2exp[ ( ) / ]2()xxp xdxip x p ip x ip p x ppψϕππδ∧∗∧=−=−−=−∫∫∫hhhhh2111211 2()( ())1exp( / )( ) exp( / )2exp[ ( ) / ]2()xxxp x dxip x p ip x ip p x ppϕψππδ∧∗∧=−−=−−=−∫∫∫hhhhh12 12()()0() () ()( ())xxpp ppxp xdx x p x dxδδψϕ ϕψ∧∧∗∗− −=∴=∫∫由 函数的性质知道：() ()xxx pψϕ∧即使 、 都是单色平面波的线性组合， 也是厄米算符。

（4）两函数同为奇函数或者同为偶函数 显然也满足（2）式 以上讨论是波函数定义在 (,)−∞ +∞ 的情况，对于函数定义在有限区域 [,]x ab∈ 上，为使动量算符满足厄米性条件，必须使波函数满足周期性边界条 () ()abψψ=[6] 证明： () ( )bbxaabdpdx id i i dxa dxψϕ ψ ϕ ψϕ ϕ ψ∧∗∗ ∗ ∗=−=− +−∫∫ ∫hh h  0, ()() ()()bbb aaaψϕ ψ ϕ ψ ϕ ψ ϕ∗∗∗==所以 即 即对于任意的 、 ，要求  ()() ()()bb aaψϕ ψϕ∗∗==常数  这要求任意波函数 ψ 满足  () () ( )iabeαψ ψα= 为实相角一经取定，则对一切波函数均相同 对于 p=0的动量本征态，波函数 ψ 为常数所以0α=，进而有 () ()abψ ψ= 类似的，对于角动量算符ziϕ∂=−∂hL ，为保证它的厄米性，要求波函数满足周期性边界条件() ( 2)ψ ϕψϕπ=+5.1.3能量算符 对于能量算符 2E= ( )2xpuxm∧+ 由前面4.1.1的讨论已知，算符u(x)的厄米性对波函数无附加限制；由4.1.2可知， 的厄米性对波函数的限制为(2)式，又知厄米算符xp∧与xp∧対易，故二者之积2xp∧也是厄米算符，即总体来说，能量算符也是厄米算符，其厄米性对波函数的限制仍为（2）式，具体讨论同4.1.2。

5.2 小结 从上面的对坐标算符、动量算符、能量算符等的讨论可以看到，算符的厄米性对波函数也有一定的限制，为了保证算符的厄米性，常常要求波函数满足一定的条件 参 考 文 献： [1] 龙姝明．算符厄米性对波函数的限制[J].汉中师范学院学报(自然科学)，2000， 18(2)：28—31. [2] 井孝功．量子力学[M].哈尔滨：哈尔滨工业大学出版社，2004. [3] 尹鸿钧．量子力学[M].中国科学技术大学出版社，1999. [4] 李海，陶才德，杨汉嵩．动量算符p∧厄米性充要条件[J].河北理工学院学报， 2005, 27(3)：102—104. [5] 王娟，杨为民，张曙．动量算符厄米性的讨论[J].云南师范大学学报，2010, 30(1)：60—61. [6] 曾谨言．量子力学教程(第二版)[M].北京：科学出版社，2008. [7] 汪德新．量子力学(第三版)[M].北京：科学出版社，2008. 。