中科大编码理论_chapter6.pdf

第第六六章章 Turbo 码码 虽然软判决译码、 级联码和编码调制技术都对信道码的设计和发展产生了重大影响， 但 是其增益与 Shannon 理论极限始终都存在 2～3dB 的差距因此，在 Turbo 码提出以前，信 道截止速率 R0一直被认为是差错控制码性能的实际极限，shannon 极限仅仅是理论上的极 限，是不可能达到的 根据 shannon 有噪信道编码定理，在信道传输速率 R 不超过信道容量 C 的前提下，只 有在码组长度无限的码集合中随机地选择编码码字并且在接收端采用最大似然译码算法时， 才能使误码率接近为零 但是最大似然译码的复杂性随编码长度的增加而加大， 当编码长度 趋于无穷大时， 最大似然译码是不可能实现的 所以人们认为随机性编译码仅仅是为证明定 理存在性而引入的一种数学方法和手段，在实际的编码构造中是不可能实现的 在 1993 年于瑞士日内瓦召开的国际通信会议(1CC， 93)上， 两位任教于法国不列颠通信 大学的教授 C.Berrou、A.Glavieux 和他们的缅甸籍博士生 P.thitimajshima 首次提出了一种新 型信道编码方案——Turbo 码，由于它很好地应用了 shannon 信道编码定理中的随机性编、 译码条件，从而获得了几乎接近 shannon 理论极限的译码性能。

仿真结果表明，在采用长度 为 65536 的随机交织器并译码迭代 18 次情况下， 在信噪比 Eb/N0≥0.7dB 并采用 BPSK 调制 时，码率为 1/2 的 Turbo 码在 AWGN 信道下的误比特率≤10 -5，达到了与 Shannon 极限仅相 差 0.7dB 的优异性能（1/2 码率的 Shannon 极限是 0dB） Turbo 码又称并行级联卷积码 (PCCC，Parallel Concatenated Convolutional Code)，它巧 妙地将卷积码和随机交织器结合在一起， 在实现随机编码思想的同时， 通过交织器实现了由 短码构造长码的方法，并采用软输出迭代译码来逼近最大似然译码可见，Turbo 码充分利 用了 Shannon 信道编码定理的基本条件，因此得到了接近 Shannon 极限的性能 在介绍 Turbo 码的首篇论文里，发明者 Berrou 仅给出了 Turbo 码的基本组成和迭代译 码的原理，而没有严格的理论解释和证明因此，在 Turbo 码提出之初，其基本理论的研究 就显得尤为重要J.Hagenauer 首先系统地阐明了迭代译码的原理，并推导了二进制分组码 与卷积码的软输入软输出译码算法。

由于在 Turbo 码中交织器的出现，使其性能分析异常困 难，因此 S.Benedetto 等人提出了均匀交织(UI，Uniform interleaver)的概念，并利用联合界技 术给出了 Turbo 码的平均性能上界 D． Divsalar 等人也根据卷积码的转移函数， 给出了 Turbo 码采用 MLD 时的误比特率上界 对于 Turbo 码来说， 标准联合界在信噪比较小时比较宽松， Dave Forney Claude Berrou 只有在信噪比较大时才能实现对 Turbo 码性能的度量因此，T.M．Duman、I.Sason 和 D.Divsalar 等人在 Gallager 限等已有性能界技术的基础上进行改进．扩展了 Turbo 码性能界 的紧致范围D.Divsalar 等人还根据递归系统卷积码的特点提出了有效自由距离的概念，并 说明在设计 Turbo 码时应该使码字有效自由距离尽可能大L.C.Perez 等人从距离谱的角度 对 Turbo 码的性能进行了分析， 证明可以通过增加交织长度或采用本原反馈多项式增加分量 码的自由距离来提高 Turbo 码的性能他们还证明了 Turbo 码虽然自由距离比较小，但其小 重量码字的数目较少，从而解释了低信噪比条件下 Turbo 码性能优异的原因，并提出了交织 器增益的概念。

S.Dolinar 的研究表明，Turbo 码的最小距离码字主要由重量为 2 的输入信息 序列生成，是形成错误平台的主要原因为提高高信噪比条件下 Turbo 码的性能，就必须提 高低重输入信息序列的输出码重 J.Seghers 系统地分析了 Turbo 码的距离特性由于交织器 的存在， 无法给出 Turbo 码自由距离的严格数学表示， 相应地也出现了许多分析和计算 Turbo 码最小距离、重量分布和性能上限的方法A．Ambroze 还构造了 Turbo 码的树图，用来作 为计算码字距离谱的工具此外，R.M.Tanne、E.Offer 和 K.Engdahl 分别从代数和统计的角 度对 Turbo 码进行了分析 考虑到 Turbo 码的延时问题， E.K.Hall 等人提出了面向流的 Turbo 码也可以用其他系统模型采描述 Turbo 码及其迭代译码过程：T.Richardson 把 Turbo 码作 为一个动力学系统进行描述；A.K.Khandani 则把 Turbo 码考虑成一个周期性的线性系统； J.Laertyy, X.Ge 和 F.R.Kschischang 描述了 Turbo 码的图模型；在图模型的基础上， D．J．C．MaKay 等人证明了 Turbo 码的校验矩阵与 LDPC 码的校验矩阵是等价的，从而可 以将 Turbo 码看成一类特殊的 LDPC。

6.1 Turbo 码的编码码的编码 Turbo 码的编码结构可以分为并行级联卷积码（PCCC） 、串行级联卷积码（SCCC）和混合 级联卷积码（HCCC）三种，如图 6.1 所示 分量编码器1 分量编码器2 交织器 复 接 穿 刺 矩 阵 (a) 外码编码器交织器内码编码器 (b) 外码编码器交织器2内码编码器 交织器1并行编码器 (c) 外码编码器交织器1 交织器2 内码编码器1 内码编码器2 (d) 图 6.1 Turbo 码的几种编码结构（a）PCCC（b）SCCC（c）HCCC-I（d）HCCC-II 1993 年，C.Berrou 提出的 Turbo 码就是 PCCC 结构，主要由分量编码器、交织器、穿 刺矩阵和复接器组成 分量码一般选择为递归系统卷积 （RSC） 码， 当然也可以选择分组码、 非递归卷积 （NRC） 码以及非系统卷积 （NSC） 码 通常两个分量码采用相同的生成矩阵 （也 可不同） 若两个分量码的码率分别为 R1和 R2，则 Turbo 码的码率为： 12 1212 R R R RRR R = +− （6.1） 在 AWGN 信道上对 PCCC 的性能仿真证明， 当 BER 随 SNR 的增加下降到一定程度时， 就会出现下降缓慢甚至不再降低的情况， 一般称为误码平台 （error floor） 。

为解决这个问题， 1996 年，S.Benedetto 提出了串行级联卷积码（SCCC）的概念，它综合了 Forney 串行级联 码（RS 码＋卷积码）和 Turbo 码（PCCC）的特点，在适当的信噪比范围内，通过迭代译码 可以达到非常优异的译码性能Benedetto 的研究表明，为使 SCCC 达到比较好的译码性能， 至少其内码要采用递归系统卷积码， 外码也应选择具有较好距离特性的卷积码 若外码编码 器和内码编码器的编码速率分别为 Ro和 RI，则 SCCC 的码率 R 为： R＝Ro×RI （6.2） HCCC 是将前两种方案结合起来，从而既能在低 SNR 下获得较好的译码性能，又能有 效地消除 PCCC 的误码平台，称为混合级联卷积码综合串行和并行级联的方案很多，这 里只给出两种常见的方案，一是采用卷积码和 SCCC 并行级联的编码方案，如图 6.1（c）所 示；另一种是以卷积码为外码，以 PCCC 为内码的混合级联编码结构，如图 6.1（d）所示 我们主要讨论 PCCC 结构的卷积码为便于讨论，将 PCCC 编码结构重画为图 6.2（a）所 示 分量编码器1 分量编码器2 (a) π 011 (,,,) K u uu − =u (0)(0)(0)(0) 011 (,,,) K vvv − =v (1)(1)(1)(1) 011 (,,,) K vvv − =v (2)(2)(2)(2) 011 (,,,) K vvv − =v (b) (0) v (1) v (2) v u π ′u 图 6.2 PCCC 编码器基本结构 系统包括输入信息序列 u，两个（2，1，v）系统反馈（递归）卷积编码器，一个交织器（用 π表示） 。

假设信息序列含有 K*个信息比特以及 v 个结尾比特（以便返回到全 0 态） ，其中 v 是第一个编码器的约束长度，因此有 K＝K*＋v，信息序列可表示为： 011 (,,) K u uu − =u （6.3） 由于编码器是系统的，因此信息序列就等于第一个输出序列，即： (0)(0)(0)(0) 011 (,,) K vvv − ==uv （6.4） 第一个编码器输出的校验序列为： (1)(1)(1)(1) 011 (,,) K vvv − =v （6.5） 交织器对 K 个比特进行扰序处理，得到′u，第二个编码器输出的校验序列为： (2)(2)(2)(2) 011 (,,) K vvv − =v （6.6） 从而最终的发送序列（码字）为： (0)(1)(2)(0)(1)(2)(0)(1)(2) 000111111 (,,) KKK vv vvv vvvv −−− =v （6.7） 因此，对该编码器来说，码字长度 N＝3K，Rt＝K*/N＝(K－v)/3K，当 K 比较大时，约为 1/3 在图 6.2（b）中，两个分量码都是（2，1，4）系统反馈编码器，具有相同的生成矩阵，为： 4234 ()[1 (1)/(1)]DDDDDD=+++++G （6.8） 对于 Turbo 码来说，需要注意以下几点： （1） 为了得到靠近 Shannon 限的系统性能，信息分组长度（交织器大小）K 一般比较大， 通常至少几千个比特。

（2） 对于分量码来说，一般选择相同结构，且约束长度较短，通常 v≤4 （3） 递归分量码（由系统反馈编码器产生）会比非递归分量码（前馈编码器）有更好的 性能； （4） 高码率可通过穿刺矩阵产生，如图 6.2（b）中，可通过交替输出 (1) v和 (2) v得到 1/2 的编码速率 （5） 通过增加分量码和交织器也可得到较低编码速率的 Turbo 码，如图 6.3 所示 分量编码器1 分量编码器2 1 π (0) v (1) v (2) v u 分量编码器3 2 π (3) v 图 6.3 速率 R＝1/4 的 Turbo 码 （6） 最好的交织器能够对比特以伪随机的方式进行排序，传统的块交织器（行-列）在 Turbo 码中性能不好，除非 block 长度很短； （7） 由于交织器只是对比特位置进行重新排序，因此，交织后的序列′u与原始序列 u 具 有相同的重量； （8） 对每个分量码来说，用 BCJR（或 MAP）算法作为 SISO 译码器能够获得最好的性 能；因为 MAP 译码器使用了前向-后向算法，信息是以 block 的形式进行的，因此， 对第一个分量译码器来说，附加 v 个 0 比特能够让它返回到全 0 态；但对于第二个 译码器来说，由于交织器的作用，将不能返回到全 0 态。

图 6.2（b）所示的编码器，穿刺后得到 1/2 的码率此时穿刺矩阵可以为 10 01 P  =   ，其 输出就为 (0)(1)(0)(2) 0011 (,,)vvvv=v当信息序列长度 K＝65536 比特，SISO MAP 译码器经 过 18 次迭代后，在 0.7dB 可以达到 10-5的误比特率，与 Shannon 限只相差 0.7dB Turbo 码有两个缺点： （1）较大的译码时延，这是由于 block 长度较大、译码需。