2021年二维形式的柯西不等式.docx

学习必备欢迎下载教学目标：二维形式的柯西不等式1. 熟识二维形式的柯西不等式的代数形式、向量形式和三角形式， 懂得它们的几何意义2. 通过对二维柯西不等式多种形式的证明，把握它们之间的关系， 进一步懂得柯西不等式的意义教学重难点：重点：柯西不等式的三种形式难点：柯西不等式的应用教学过程：一.新课引入数学讨论中， 发觉了一些不仅形式美丽而且具有重要应用价值的不等式，称之为经典不等式；平均值不等式1 2na1 a2 Lan n a a L an 〔a , a ,L, a R 〕n1 2 n1 1 L 1a1 a2 an我们今日将学习 柯西不等式 仍有后面要学到的 排序不等式 都是这样的经典不等式；二.新课讲解第一我们从学习过的向量的角度来探究：ur ur【问题 1】已知两向量 , ，它们之间的夹角为 〔0 〕 ，判定ur urur ur与的大小关系；ur ur ur ur分析： cosur ur ur ur ur urcosur ur【问题 2】如在平面直角坐标系 xOy 中 〔a,b〕, 〔c,d〕示上述关系式；，用坐标表分析：ac bd a2 b2c2 d 2〔a2b2 〕 〔c2d 2 〕 〔ac bd〕2【问题 3】摸索上述不等式的等号何时成立？ur ur分析： cos 1 0或所以我们得到这样一个不等式/ / ad bc 0ad bc〔a2b2 〕 〔c2d 2〕 〔ac bd 〕2当且仅当 ad bc 时，等号成立这个不等式直观上很像我们熟识的重要不等式a2 b2 2ab ，都是反映实数的平方和与乘积大小的关系，让同学们类比讨论证明一下；证明一（比较法）： 〔a2b2 〕 〔c 2d 2 〕 〔ac bd 〕 2a2c2a2 d 2b2c 2b2d 2a2c2b2d 2 2acbda2d 2b2c22acbd〔ad bc〕2 0当且仅当 ad bc 时等号成立证明二（综合法）： 〔a2b2 〕 〔c2d 2 〕a 2 c2b2 d 2a 2d 2b2c 2= a2 c22ac bd b2 d 2a2d 22ad bc b2c2=〔ac bd 〕2〔 ac bd 〕2〔ad bc〕2当且仅当 ad bc 时等号成立证明三：分析：设A a2b2 ， B ac bd ， C c2 d 2即要证AC B2这与函数f 〔 x〕Ax 22Bx C 的判别式4B24 AC 亲密相关，就构造 f〔 x〕 〔 a2b2 〕 x22〔 ac bd 〕 x〔c 2d 2 〕当 a b0 时，〔 a 2b2 〕 〔 c 2d 2 〕 〔ac bd 〕 2 明显成立，此时 ad bc当 a, b 中至少有一个不为 0 时， a2b2 0f 〔x〕 〔a2 x22acx c2 〕 〔b2 x22bdx d 2 〕〔ax c〕2〔bx d〕 20 恒成立由于 a2 b2 0 ，所以4〔 ac bd 〕24〔a2b2 〕 〔c2d 2〕 0即〔a2b2 〕 〔 c2d 2〕 〔ac bd 〕2此时要等号成立，那么 f〔x〕有唯独零点，即有唯独实数 x 使ax c 0bx d 0abx bc 0abx ad 0ad bc 0 ad bc【证法三相比前两种方法复杂的多， 我在此加入的目的是为了后面讲解一般形式的柯西不等式证明时， 能先让同学们以此为基础自主探究试一试，也使同学们能更好的明白证明的思路， 由简入繁、举一反三；】此不等式就是柯西不等式的最简形式，即二维形式的柯西不等式；定理 1. （二维形式的柯西不等式）如 a,b,c,d 都是实数，就〔 a 2b2 〕 〔 c 2d 2 〕 〔 ac bd 〕 2当且仅当 ad=bc 时，等号成立；这就是二维柯西不等式的代数形式， 而前面对量推导正好是柯西不等式的向量形式ur ur定理 2.〔 柯西不等式的向量形式 〕 设 ,ur ur ur ur是两个向量，就ur ur2 22 2当且仅当 是零向量，或存在实数 k，使urk 时，等号成立；2注：“二维”指的是 〔 ab 〕 〔 cd 〕 〔 ac bd 〕与二维向量相对应，所以称之为二维形式的柯西不等式；二维形式的柯西不等式的变形式a2 b2c2 d 2ac bda2 b2c2 d 2ac bd当且仅当 ad=bc 时，等号成立；【探究】在平面直角坐标系中， 设P1 , P2的坐标分别为〔 x1,y1 〕,〔x2,y2 〕 ，依据 OP1P 2 的边长关系，你能发觉x1 ,y1 , x2 , y2这 4 个实数蕴涵着何种大小关系吗？OP1OP2P1P2P1〔 x1 ,y1〕x2 y2x2 y2〔 x x 〕2〔 y y 〕21 1 2 2 1 2 1 2当且仅当O, P1 , P2 三点共线且P1, P2在 O 两P2 〔x2 , y2 〕旁时等号成立P1〔 x1,y1 〕OOP2 〔 x2 ,y2 〕定理 3. （二维形式的三角不等式，也叫柯西不等式的三角形式）设 x1 ,y1 , x2 ,y2 ∈ R，那么x2 y2x2 y2〔x x 〕2〔 y y 〕21 1 2 2 1 2 1 2分析：运用柯西不等式证明， 关键设法构造两数平方和乘另两数平方和的形式；证明： 〔 x2 y2x2 y2 〕2x2 y2 x2y2 2 x2 y2x2 y21 1 2 2 1 1 2 2 1 1 2 22 2 2 2x1 y1 x2 y2 2 x1 x2 y1 y2x2 2x x x2 y 2 2 y y y21 1 2 2 1 1 2 2〔 x x 〕 2 〔 y y 〕 21 2 1 21 1 2 2 1 2 1 2所以 x2 y2x2 y2〔x x 〕2〔 y y 〕2推广：二维形式的三角不等式〔x x 〕2 〔 y y 〕2 〔x x 〕2 〔 y y 〕 2 〔x x 〕 2 〔y y 〕 21 3 1 3 2 3 2 3 1 2 1 24 22 33 2三. 例题讲解4【例 1】已知 a,b 为实数，证明 〔ab 〕〔 ab 〕 〔 ab 〕 .分析：形式与二维形式的柯西不等式具有明显的一样性， 因此比较简单考虑到应用柯西不等式进行证明；【例 2】设a, b R, a b1 , 求证： 1 1 4a b分析：此题可用均值不等式证明，柯西不等式又供应一种证明方法；【例 3】求函数 y3 x 5 4 6x 的最大值；分析：函数解析式化成 ac+bd的形式，弄清对应于柯西不等式中 a,b,c,d的 4 个数，要设法使大值；〔a2b2 〕〔c2d 2 〕化为常数，才能求出函数的最【练习】求函数 y5 x 1 10 2x 的最大值；三. 课堂练习：课本 P36习题 3.1 〔3〕〔4〕四. 课堂小结定理 1. （柯西不等式的代数形式）如 a,b,c,d 都是实数，就〔a 2b 2 〕 〔 c2d 2 〕 〔 ac bd 〕2当且仅当 ad=bc 时，等号成立；ur ur定理 2.〔 柯西不等式的向量形式 〕 设 , 是两个向量，就ur ur ur urur ur当且仅当 时零向量，或存在实数 k，使urk 时，等号成立；定理 3. （柯西不等式的三角形式）设x1 , y1 , x2 , y2∈ R，那么2 2 2 2 2 2x1 y1 x2 y2 〔x1 x2 〕 〔 y1 y2 〕摸索题： 试着写出三维形式的柯西不等式和三角不等式， 想一想怎么证明呢？五. 作业：习题 P36习题 3.1〔6〕〔7〕〔9〕。