《正五边形尺规作图的画法及其他》.docx

正五边形尺规作图的画法及其他正五边形的画法圆内接正五边形的画法如下1、作一个圆，设它的圆心为 O;2、作圆的两条互相垂直的直径 AZ和XY;3、作OY的中点M;4、以点M为圆心，MA为半径作圆，交OX于点N;5、以点A为圆心，AN为半径，在圆上连续截取等弧，使弦AB=BC=CD=DE=AN，则五边形 ABCDE即为正五边形证明：设圆的半径为R,由上述正五边形的作法可知AN2-AO2+ON2XAO2 + (AM-OM 1 2〔 所以花R由于半径为R的正五边形的道长所以五边形ABODE即为正五边形以上两种图形的作法运用了所求图形边长与已知的线段长度的关系， 用构造直角三角形的方法作出与所求图形的边长相等的线段， 从而作出整个图形，这是尺规作图中常用的一种方法等线段法，即用已知图形的线段作出与所求图形边长相等的线段正多边形的尺规作图是大家感兴趣的. 正三边形很好做；正四边形稍难一点；正六边形也很好做；正五边形就更难一点，但人们也找到了正五 边形的直规作图方法.确实，有的困难一些，有的容易一些.正七边形 的尺规作图是容易一些，还是困难一些呢？人们很久很久未找到作正七 边形的办法，这一事实本身就说明作正七边形不容易； 一直未找到这种作法，也使人怀疑：究竟用尺规能否作出正七边形来？数学不容许有这 样的判断：至今一直没有人找到正七边形的尺规作图方法来， 所以断言它是不能用尺规作出的.人们迅速地解决了正三、四、五、六边形的尺规作图问题， 却在正七边形面前止步了：究竟能作不能作，得不出结论来.这个悬案 一直悬而未决两千余年.17世纪的费马，就是我们在前面已两次提到了的那个法国 业余数学家，他研究了形如Fi （i为右下角标）=22i （底数2指数2的i次籍）+ 1的数.费马的一个著名猜想是，当 n > 3时，不定方程xn + yn = zn没有正整 数解.现在他又猜测Fi都是素数，对于i = 0, 1 , 2, 3, 4时，容易算 出来相应的Fi:F0 = 3 , F1 = 5, F2 = 17,F3=257 , F4=65 537验证一下，这五个数的确是素数. F5=225+1是否素数呢？ 仅这么一个问题就差不多一百年之后才有了一个结论， 伟大的欧拉发现 它竟不是素数，因而，伟大的费马这回可是猜错了！ F5是两素数之积: F5 = 641 X 6 700 417 .当然，这一事例多少也说明：判断一个较大的数是否素数也 决不是件简单的事，不然，何以需要等近百年？何以需要欧拉这样的人 来解决问题？更奇怪的是，不仅F5不是素数，F6, F7也不是素数，F8, F9 , F10 , F11等还不是素数，甚至，对于 F14也能判断它不是素数， 但是它的任何真因数还不知道.至今，人们还只知 F0 , F1 , F2 , F3,F4这样5个数是素数.由于除此而外还未发现其他素数，于是人们产 生了一个与费马的猜想大相径庭的猜想，形如 22i + 1的素数只有有限个.但对此也未能加以证明.当然，形如Fi=22i+1的素数被称为费马素数.由于素数分解 的艰难，不仅对形如Fi=22i+1的数的一般结论很难做出，而且具体分 解某个Fi也不是一件简单的事.更加令人惊奇的事情发生在距欧拉发现 F5不是素数之后的60多年，一位德国数学家高斯，在他仅 20岁左右之时发现，当正多边 形的边数是费马素数时是可以尺规作图的，他发现了更一般的结论：正 n边形可尺规作图的充分且必要的条件是 n=2k （2的k次籍）或 2k x p1 x p2 X…x ps, （1, 2…s为右下角标） 其中，p1 , p2 ,…，ps是费马素数.正7边形可否尺规作图呢？否！因为 7是素数，但不是费马 素数.倒是正17边形可尺规作图，高斯最初的一项成就就是作出了 正17边形.根据高斯的理论，还有一位德国格丁根大学教授作了正 257 边形.就这样，一个悬而未决两千余年的古老几何问题得到了圆满 的解决，而这一问题解决的过程是如此的蹊跷，它竟与一个没有猜对的 猜想相关连.正17边形被用最简单的圆规和直尺作出来了， 而正多边形可 以换个角度被视为是对圆的等分， 那么这也相当于仅用圆规和直尺对圆 作了 17等分，其图形更觉完美、好看.高斯本人对此也颇为欣赏，由 此引导他走上数学道路(他早期曾在语言学与数学之间犹豫过)，而且在 他逝后的墓碑上就镌刻着一个正 17边形图案.高斯把问题是解决得如此彻底，以致有了高斯的定理，我们 对于早已知道如何具体作图的正三边形、 正五边形，还进而知道了它们为什么能用尺规作图，就因为 3和5都是费马素数(3=F0 , 5 = F1);对 于很久以来未找到办法来作出的正七边形，乃至于正 11边形、正13边形，现在我们能有把握地说，它们不可能由尺规作图，因为 7、11、13都不是费马素数；对于正 257边形、正65 537边形，即使我们不知 道具体如何作，可是理论上我们已经知道它们是可尺规作图的；此外， 为什么正四边形、正六边形可尺规作图呢？因为 4 = 22，因为6= 2 - 3 而 3=F0 .THANKS !!!致力为企业和个人提供合同协议， 策划案计划书，学习课件等等打造全网一站式需求欢迎您的下载，资料仅供参考。