山东省威海市高三下学期数学三模试卷（附解析）.pdf

山东省威海市 2022 届高三下学期数学三模试卷山东省威海市 2022 届高三下学期数学三模试卷一、单选题一、单选题1已知复数 z 与复平面内的点(1，2)对应，则11=（）A1+B1C1+D1【答案】C【知识点】复数的代数表示法及其几何意义；复数代数形式的乘除运算【解析】【解答】由复数的几何意义可知=1+2，则11=21=2(1+)(1)(1+)=222=1+.故答案为：C【分析】利用复数的几何意义，以及复数的除法运算，即可求解.2设集合=|223 0，=|2 0，且 =|1 1，则=（）A-1B-2C1D2【答案】D【知识点】集合关系中的参数取值问题；交集及其运算【解析】【解答】解：由题意，集合=|1 3，=|2 0=|2，因为 =|1 1，可得2=1，解得=2.故答案为：D.【分析】求得集合=|1 3和=|2 0=|0，0)的左、右焦点分别为1、2，以原点 O 为顶点，2为焦点的抛物线与双曲线 C 在第一象限的交点为 P若12=45，则 C 的离心率为()A 2B 2+1C 3D 3+1【答案】B【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的关系【解析】【解答】由题知1(，0)，2(，0)，则抛物线方程为：2=4，直线1方程为：=+，由=+2=4,2,2,+,2,=,0,=,，(，2)，2 轴，|2|=2，|1|=2 2，双曲线离心率=22=|12|1|2|=22 22=121=2+1故答案为：B【分析】根据题设条件求出抛物线方程和直线1方程，联立解出 P 的坐标，求出|2|=2、|1|=2 2，根据双曲线离心率=22=|12|1|2|即可计算二、多选题二、多选题9若 1，0 1，则（）A B Clog logDlog log【答案】B,C【知识点】指数函数单调性的应用；对数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用【解析】【解答】对于 A，幂函数 y=(0 1可知，A 不符合题意；对于 B，指数函数 y=(0 1可知，B 符合题意；对于 C，对数函数 y=log(0 1可知log log，C 符合题意；对于 D，由 C 可知log log 1log，即log log，D 不符合题意故答案为：BC【分析】根据幂函数、指数函数、对数函数的单调性分别可判断 A、B、C，结合 C 和对数换底公式即可判断D.10已知、是两个不同的平面，m、n 是平面及外两条不同的直线，给出四个论断：，则正确的是()ABCD【答案】A,C【知识点】空间中直线与平面之间的位置关系【解析】【解答】对于 A，若 ，则 m，又 ，mn，A 符合题意；对于 B，若 ，则 n，有 ，与 平行或相交，B 不符合题意；对于 C，若 ，则 m，又 ，n，n，C 符合题意；对于 D，若 ，则 n，又 ，则 m 与 平行或相交，D 不符合题意故答案为：AC【分析】利用空间里面线和面的关系逐项判断即可11数学中有许多优美的曲线，星形曲线就是其中之一，它最早是由古希腊天文学家发现的，罗默、伯努利、莱布尼兹等数学家都研究过其性质在工业生产中，利用星形曲线的特性，能设计出一种超轻超硬材料，展现了数学模型的广泛性和应用性已知星形曲线：23+23=1，设(，)为 E 上任意一点，则（）A曲线 E 与坐标轴有四个交点B|1，|1C曲线 E 有且只有两条对称轴D|+|1【答案】A,B,D【知识点】对称图形【解析】【解答】：23+23=1，令=0，可得=1，令=0，可得=1，曲线 E 与坐标轴有四个交点，A 符合题意；由：23+23=1可知，23 1，23 1，|1，|1，B 符合题意；因为：23+23=1，将方程中的换为，不变，则方程不变；将方程中的换为，不变，则方程不变；可得曲线关于，轴对称；将方程中的换为，方程中的换为，则方程不变，可得曲线关于原点对称；将方程中的换为，换为，则方程不变，可得曲线关于=对称；将方程中的换为，换为，则方程不变，可得曲线关于=对称；C 不符合题意；由上可知曲线关于曲线关于，轴对称，关于原点对称，当0 ，1时，23，23，所以+23+23=1，即|+|1，D 符合题意.故答案为：ABD.【分析】利用曲线方程令=0，=0，可判断 A，利用23 1，23 1可判断 B，利用方程可得曲线关于关于 x，y 轴对称，关于=对称，可判断 C，结合对称性可得23，23，进而可判断 D.12已知函数()=|+|，则（）A当=1时，函数()的定义域为2，0B当=0时，函数()的值域为C当=1时，函数()在上单调递减D当 (0，14)时，关于 x 的方程()=有两个解【答案】B,C,D【知识点】函数的定义域及其求法；函数的值域；复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系【解析】【解答】A.当=1时，()=|+1|1，由|+1|1 0，解得 0或 2，所以函数()的定义域为(2 0，+)，故错误；B.当=0时，()=|，定义域为 R，当 1时，()0，当 0，所以函数()的值域为，故正确；C.当=1时，()=|1|+1，当 1时，()=(12)2+14，在1，+)上递减，当 1时，()=2，在(，1)上递减，又(1)=0，所以函数()在上单调递减，故正确；D.易知()=|+|，()=，即为|+|=+，设+=0，则 =，即=2+=(12)2+14，若方程()=有两个解则 (0，14)，故正确.故答案为：BCD【分析】A.由根式函数的定义域求法求解；B.由函数值域的求法求解；C.由()=|1|+1，分 1和 0)，若有且只有一条直线同时与1，2都相切，则=【答案】1【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程【解析】【解答】设与1相切于(1，1+1)，与2相切于点(2，22+22+)，由1：=+，得=+1，则与1相切于点的切线方程为：11=(1+1)(1)，即=(1+1)11+1，由2：=2+2+，=2+2，则与2相切于点的切线方程为：+2222=(22+2)(2)，即=22+22+2+，=(222)+22，因为两切线重合，所以，1+1=222，111=+22，由得2=112，代入得，4(11)1=4+121+21，化简得，2161+411=14，明显可见，1=0，=1时等式成立.故答案为：1【分析】设出直线与两条曲线的切点坐标，分别求出曲线在切点处的切线方程，再利用两个方程所表示的直线重合，建立方程组求解.四、解答题四、解答题17已知等比数列的各项均为正值，3是41、22的等差中项，5=32，记=log221（1）求数列和的通项公式；（2）设数列1+1的前项和为，证明：0，由题意知41+22=235=32，可得41+21=21214=32 0，解得=21=2，所以，=2 21=2，=log2221=21（2）证明：因为1+1=1(21)(2+1)=12(12112+1)，所以=12(113)+(1315)+(12112+1)=12(112+1)0，根据题意可得41+21=21214=32解得=21=2，即可求得数列和的通项公式；（2）求得1+1=12(12112+1)，利用裂项相消法可证得结论成立.18如图所示，在等边 中，=6，分别是，上的点，且=4，是的中点，交于点以为折痕把 折起，使点到达点的位置(0 0)的离心率为12，圆1：2+2=3与椭圆 C 有且仅有两个交点且都在y 轴上（1）求椭圆 C 的标准方程；（2）已知直线 l 过椭圆 C 的左顶点 A，且 l 交圆1于 M、N 两点，P 为椭圆 C 上一点，若以为直径的圆过点 A，求 面积的最大值【答案】（1）解：由题意知，=12=32=2+2，解得=2，=3，椭圆 C 的标准方程为24+23=1；（2）解：由题意知(2，0)，以为直径的圆过点 A，由题意可知直线的斜率存在且不为 0，故设直线的方程为=(+2)(0)，则直线 l 的方程为=1(+2)，设(0，0)，由=(+2)24+23=1得(3+42)2+162+16212=0，点(2，0)为与 C 的一个交点，20=162123+42，解得0=6823+42，|=1+2|0+2|=1+2|6823+42+2|=12 1+23+42，直线 l 的方程变形为+2=0，设原点到直线 l 的距离为 d，=21+2，|=2 32=2 341+2=23211+2，方法一：=12|=12 3213+42=12321(3+42)2，设321=0，则2=+13，=36(13+4)2=36116+169+104，16+169+104 2 16 169+104=208(当且仅当=134时，等号成立)，可得 面积的最大值为9 1313方法二：=12|=12 3213+42，设 321=0，则2=2+13，=3642+13=364+13，4+13 4 13，9 1313(当且仅当=132时，等号成立)，可得 面积的最大值为9 1313【知识点】椭圆的标准方程；直线与圆锥曲线的综合问题【解析】【分析】(1)根据题设条件列出关于 a、b、c 的方程组求出 a、b 即可得椭圆的标准方程；(2)根据圆的直径所对的圆周角为直角可知 ，设 AP 直线的方程为=(+2)(0)，直线 l 的方程为=1(+2)，联立直线 AP 和椭圆方程，利用韦达定理求出 P 的横坐标，利用弦长公式求出|，求出原点 O 到直线 l 的距离，根据圆的弦长公式求出|，根据=12|即可表示出PMN 的面积，换元构造利用不等式即可求其最大值22已知函数()=2ln+（1）当=34时，求()的单调区间；（2）若()有两个极值点1，2，且1 2，从下面两个结论中选一个证明(2)(1)2122；(2)0)，当=34时，()=2+2342=428+342=(21)(23)42，令()0，解得12 32；令()0，解得0 32，所以()的单增区间为(12，32)；单减区间为(0，12)，(32，+)（2）证明：由题意知，1，2是22+=0的两根，则1+2=212=，(2)(1)21=2(ln2ln1)(21)+(12)1221，将12=代入得，(2)(1)21=2(ln2ln1)212，要证明(2)(1)2122，只需证明2(ln2ln1)212 22，即ln2ln1211=121，因为0 1 0，只需证明ln21 1，只需证明ln2 1，即2ln+1 1)，令()=2ln+1，1，()=2112=(1)22 0，所以()在(1，+)上单调递减，可得()(1)=0，所以2ln+1 1)，综上可知，(2)(1)21 0)设()=2+2，因为()有两个极值点，所以=44 0(0)0，解得0 1，因为(2)=0，所以1 2 2，(2)23=2ln22+223，由题意可知22+22=0，可得=22+22代入得，(2)23=2ln2+23221032+2，令()=2ln+232103+2(1 2)，()=2+43103=2(1)(23)3，当 (1，32)，()0，所以()在(32，2)上单调速增，因为1 2 2，所以(2)0，所以(2)(1)，所以(2)(2)，所以(2)23 2ln22，即(2)23+2ln22【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【解析】【分析】（1）首先求函数的导数，根据导数与函数单调性的关系，即可求解；（2）若选，不等式转化为证明ln2ln1211=121，变形为证明ln21 1即可证明；若选，首先根据函数有两个极值点，证得1 2 2，(2)23=2ln22+223，再变换为(2)23=2ln2+23221032+2，通过构造函数，利用导数，即可证明.。