信号的抽取与插值.doc

第5章信号的抽取与插值5.1前言至今，我们讨论的信号处理的各种理论、算法及实现这些算法的系统都是把抽样频率人视为恒定值，即在一个数字系统中只有一个抽样率但是，在实际工作中，我们经常会遇到抽样率转换的问题一方面，要求一个数字系统能工作在“多抽样率（mulmme）”状态，以适应不同抽样信号的需耍；另一方而，对一个数字信号，要视刈•其处理的需要及其自身的特征，能在一个系统中以不同的抽样频率出现例如：1.一个数字传输系统，即可传输一般的语音信号，也可传输播视频信号，这些信号的频率成份相差共远，因此，相应的抽样频率也相差共远因此，该系统应具有传输多种抽样率信号的能力，并自动地完成抽样率的转换；2•如在音频世界，就存在着多种抽样频率得到立体卢声音信号（Studiowork）所用的抽样频率是48kHz,CD产品用的抽样率是44.1kHz,而数字音频广播用的是321

以上几个方面都是希望能对抽样率进行转换,或耍求数字系统能工作在多抽样率状态近20年来，建立在抽样率转换理论及其系统实现基础上的''多抽样率数字信号处理”已成为现代信号处理的重要内容多抽样率数字信号处理”的核心内容是信号抽样率的转换及滤波器组减少抽样率以去掉过多数据的过程称为信号的“抽取（decmatg）”，増加抽样率以増加数据的过程称为信号的“插值（interpolation）o抽取、插值及其二者相结合的使用便可实现信号抽样率的转换滤波器组，因名思义，它是一组滤波器，它用以实现对•信号频率分最的分解，然后根据需耍対其各个“子带”信号进行多种多样的处理(如编码)或传输，在另一端再用一组滤波器将处理后的“子带”信号相综合前者称为分析滤波器组，后者称为综合滤波器组我们将在本章详细讨论抽样率转换的方法，在第6、第7及第8三章讨论滤波器组问题5.2信号的抽取设x(n)=X(r)鳥如欲使X减少M倍，最简单的方法是将x(ii)中每M个点中抽取一个，依次组成一个新的序列y(n),即y(n)=x(Mn)〃=-8~+oo1A/-1Y(eja)=+"J证明:由(521)式，y(〃)的z变换为(5.2.1)(5.2.2)现在我们证明,y(M)和x(n)的DTFT有如下关系:126#coco丫⑵=E〉'(〃)「”=吹一"(5.2.3)//=-«>//=-

图中符号回]表示作M倍抽取由该图，显然y(n)=x(Mn)=xk(Mn),这样,有丫⑵=fx1(M/7)rn=^xSn)z~n'IMn=-co打=y>即y⑵=“(严)(525)现在的任务是要找到石(Z)和x(z)之间的关系CO令p(n)=^S(n-Mi)为一脉冲序列，它在M的整数倍处的值为1,其余皆为零，/=—00其抽样频率也为fs由1.8节的Possloh和公式及DFS的理论，p(n)又可表示为：[MT如)=石工W儿W厂厂皿(526丿MU因为X]（/?）=x（n）p（n）,所以:co«coxw）=£心）广=—£心）（刊『）/r=-

如图5.2.2的(a),(b),(c),(d)及(e)所示图5.2.2信号抽取后频谱的变化，图中M=3由抽样定理，在由X⑴抽样变成兀⑺)时，若保证fs>2fc，那么抽样的结果不会发生频谱的混迭对x(n)作M倍抽取得到)©),若保证由y(/?)重建出X(r),那么，的一个周期)也应等J-x(/)的频谱X(JG)这就要求抽样频率£必须满足/；.>2M/；.o图5.2.2正是这种情况图中X(ejeo)的频谱限制在-才/3:龙/3内，而又正好作M=3的抽取，因此Y(eia)中没有发生频谱的混迭，如图(e)所示但是，如果fs>的条件不能得到满足，那么Y(严)中将发生混迭，因此也就无法重建出x（f）如图5.2.3（a）所示，X（严）的频谱在\0）\>^/2的范围内仍有值，因此,即使作Af=2倍的抽取，也必然发生混迭，如图（b）所示由丁是可变的，所以很难要求在不同的MI、•都能保证fs>2Mfco为此，防止抽取后在Y（eja）中出现混迭的方法是在对x（〃）抽取前先作低通滤波，压缩其频带，如图（c）所示令/?（“）为一理想低通滤波器，即其它(5.2.10)130#如图（d）所示，令滤波后的输出为u（n）9则^00=丸伙）x（11-k）k=v令对f（w）抽取后的序列为y（n）,则00y（n）=u（Mn）=工/?伙）一k）k=vco(5.2.11)=工x(k)h(Mn-k)k=~由前面的推导不难得出:Y（沪寺EX叱）日（必叱）Mjt=o(5.2.12a)##1也二1*3-2和/NS）/(5.2.12b)甘）如《心U（〃）的频谱V（严）如图（e）所示，Y（严）如图（F）所示。

由该图可以看出，加上频带为（-;）的低通滤波器后，可以避免抽取后频谱的混迭因此，在对•信号抽取时，抽取前的低通滤波一般是不可缺少的在图5.2.3（f）中使用了变量“£乞”，现刈此稍作解释在一个多抽样率系统中，不同位置处的信号往往工作在不同的抽样频率卜•，因此，标注该信号频率的变量“3“也就貝•有不同的含义例如，在图5.2.1（d）中，若令相刈V（严）的圆周频率为®,相对対X（严）的圆周频率为3,,则3、和3、有如卜•关系：3、=^f/fy=2龙//CA/M)=2兀Mflfs=M吆(5.2.13)若要求|如“，贝IJ必须有|©|勿/M,这正是(5.2.10)式对H(严)频带所提要求的原因同时使用®和©两个变帚固然能指出抽取前后信号频率的内涵，但使用起来非常不方便故在本书中，除非特别说明，在抽取前后及卜•一节要讨论的插值前后，信号的圆周频率统一用力表示Z只要搞清了抽取和插值前后的频率关系，一般是不会混淆的图5.2.3先滤波再抽取后的频谱的变化，图中M=2(«)X(严)，(b)没滤波就抽取得到的丫(严)，(c)信号抽取框图，(d)//(£“),(e)V(eja),(d)滤波后再抽取得到的Y(ej<°)5.3信号的插值如果希塑将x(n)的抽样频率fs增加L倍,即变成Lfs,那么，最简单的方法是将a-(h)每两个点之间补厶」个零。

设补零后的信号为v(ll),则n=0,土厶，±2厶，A其它如图5.3.1(a)和(b)所示图531信号的插值(«)原信号x(n),(b)插入厶一1个零后的u(n),L=3现在来分析x@)、t>(〃)各自DTFT之间的关系由于88V(e^)=工u(n)e^1=^x(n/L)e^1〃=YO"=YO=約严Jt=-00即U(严)=X(严)(5.3.2丿同理V(Z)=X(ZL)(5.3.3丿式中，V(eja)和X(eja)都是周期的，X(严)的周期是2乃，但X(严)的周期是2%这样，V(eja)的周期也是2才/厶5.3.2)式的含意是：在—717的范围内，X(严)的带宽被压缩了厶倍，因此，V(e;

实现插值的方法是用u(〃)和一低通滤波器作卷积为此，令(534)式中c为常数，是一定标因子令吐力通过/?(“)后的输出为y(n),如图5.3.3所示图533插值后的滤波这样，滤波器的作用即是去除了V(严)中多余的映像,另一方面,也实现了对叫1)中零值点的插值因为Y{eia)==cX(严)|力匡龙/厶及y(0)甘(g135所以y(0)=-S-^X(ejL<0)da)=盏1>(才血=訶0)这样，若取c=厶，则可保证y(0)=x(0)o现在，我们來分析一下图5.3.3中的时域关系由(5.3.1)式，有y(/i)=v(n)*h(n)=工v(k)h(ii-k)=^x(k/L)h(n^k)(5.3.5丿co即y(/?)=工x(k)h(n-kL)k=y5.4抽取与插值相结合的抽样率转换对给定的信号x(n),若希塑将抽样率转变为厶/M倍，可以按以上两节讨论的方法，先将x(〃)作M倍的抽取，再作厶倍的插值来实现，或是先作厶倍的插值，再作M倍的抽取一般來说，抽取使兀⑺)的数据点减少，会产生信息的丢失，因此，合理的方法是先对信号作插值，然后再抽取，如图5.4.1(a)所示图中插值和抽取工作在级联状态图(a)中滤波器九(〃)，仏(")所处理的信号的抽样率都是”；，因此可以将它们合起來变成一个滤波器，如图5.4.1(b)所示。

令LM(541)0^69|