高中数学 5.2 向量的加法与减法.doc

5.25.2 向量的加法与减法向量的加法与减法 【【基础知识精讲基础知识精讲】】 1.向量的加法已知向量，，在平面内任取一点 A，作=，=，则向量叫做与abABaBC bACa的和，记作+,即+=+=ba ba bABBCAC我们将两个向量的求和运算称为向量的加法.对于零向量与任意一个向量，仍然有：a+ =+=.0aa 0 a特别地：+=ABBA 02.向量的平行四边形法则 根据向量加法的定义求向量和的方法，叫向量加法的三角形法则.向量加法还可以用平 行四边形法则：先把两个已知向量的起点平移到同一点，再以这两个已知向量为邻边作平 行四边形，则这两邻边所夹的对角线就是两个已知向量的和.以点 A 为起点作向量=,=，以 AB、AD 为邻边作□ABCD，则以 A 为起点的ABaAD b对角线就是与的和，记作+=.ACaba bAC注意：(1)向量的和仍是一个向量(2)两个非零向量与不共线时，+的方向与，的方向都不同，并且｜｜-aba baba｜｜＜｜+｜＜｜｜+｜｜ba bab(3)两个非零向量与共线时，①与同向，则+的方向与、相同且｜+ababa baba｜=｜｜＋｜｜.bab②与异向时，则+的方向与模较大的向量方向相同，设||＞||，则aba bab|+|=||-||.a bab3.向量的加法满足交换律、结合律(1)交换律：+=+a b ba(2)结合律：(+)+=+(+)a bc ab c4.向量的减法 (1)相反的量与长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作-，规定零向量的相反向aaa量仍然是零向量，并且① -(-)=.aa② +(-)=(-)+=aaaa 0③ +==-a b 0  ab(2)向量的减法向量加上的相反向量，叫做与的差，即-=+(-).求两个向量差的运算，ababa bab叫做向量的减法. 5.向量减法的几何作法在平面内任取一点 O，作=,=,则=-,即-表示从向量的终点OA a OB bBA a ba bb指向向量的终点的向量(即连接两向量终点，箭头指向被减数，如图)a6.重要不等式｜｜｜-｜｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜(试问：取等号的条件是什么?)ababab【【重点难点解析重点难点解析】】 1.关于向量加、减的平行四边形法则的说明；①两个向量的加、减的平行四边形法则 是有联系的，它们都是以这两个向量为邻边作平行四边形，但这们又有区别，和向量是与这两个向量有共同起点的对角线所表示的向量，而差向量是另一条对角线表示的箭头指向 被减数的向量. ②当两个向量共线时，就不能用平行四边形法则，这时，需用三角形法则. 2.向量加法的三角形法则与向量减法的三角形法则的作法不同. 例例 1 1 在以下各命题中，不正确的命题个数为( )(1)｜｜=｜｜是=的必要不充分条件.aba b(2)任一非零向量的方向都是唯一的.(3)｜｜-｜｜＜｜+｜aba b(4)若｜｜-｜｜=｜｜+｜｜,则=ababb 0(5)已知 A、B、C 是平面上的任意三点，则++=ABBC CA 0A.1 B.2 C.3 D.4 解：解：对以上 5 个命题逐一判断其真假.(1)∵、方向不同≠;abab∴仅有｜｜=｜｜=；aba b但反过来，有=｜｜=｜｜.a bab故命题(1)是正确的； (2)命题(2)正确.(3)当=时，有｜｜-｜｜=｜+｜，故｜｜-｜｜＜｜+｜不正确；b 0aba baba b(4)∵｜｜-｜｜=｜｜+｜｜,∴-｜｜=｜｜,ababbb∴2｜｜=,∴｜｜=,∴ =故命题正确；b0b0b0(5)∵++=+=，故命题(5)正确.ABBC CAACCA 0综上所述，在本例的 5 个命题中，只有(3)是错误，故应选择 A.例例 2 2 如图，求+++++.ABBC CD DEEFFG解：解：由向量加法，可知+++++ABBC CDDEEFFG=++++=+++ACCD DEEFFGADDEEFFG=++AEEFFG=+AFFG=AG例例 2 2 如图，求--+-+AB CBDCDEEFFA解：解：由相反向量可知=-CBBC=-DCCD=-FEEF因此，--+-+AB CBDCDEFE FA=+++++ABBC CD DEEFFA=+=AFFA 0例例 4 4 如图，已知=,=,=,=,=,=,试用、、OA a OB b OCc OE e ODdOFfab、、、表示以下向量.cdef(1) ；(2) ；(3) -；(4) +；(5) -；(6) +ACADADABAB CFBFBDDF+.FE ED分析：分析：本题可利用向量的加法、减法法则并结合图形得以解答.解：解：(1) =-= -ACOC OA ca(2) =+=-+ADAO ODOA OD=-+ad(3) -ADAB==-=-BD OD OBdb(4) +=--+=--+AB CFOB OA OC OFba cf(5) -==+=-+BFBD DFBO OFdf(6) ++=+++++=OFFE EDDOOFFO OEEO OD 0例例 5 5 任意画出两个向量、，与所在有向线段互相垂直，长分别是 1、2 作出abab+，++, ++,并求出+, ++, ++的长.a ba a ba b ba ba a ba b b评析评析：先作出向量=,=OA a OB b使 a 与 b 所在直线互相垂直，以、为邻边作平行四边形 OAEB， ，则即为OAOBOE+，作=+.以、为邻边作平行四边形 OBFC，则=++,作=a bOCa aOCOBOFa a bBD=，则=+,以、为邻边作平四边形 ODGA，则=++.OB bOD b bOAODOGa ba由于所在直线与所在直线互相垂直，所以线段 OA⊥OB，OC⊥OB，OC⊥OD，从OAOB而平行四边形 OAEB、OBFC、ODGA 均为矩形.又已知｜｜=1,｜｜=｜｜=2OAOBb所以｜｜=2,｜｜=4OCOD从而可求得｜+｜=｜｜===a bOE22BEOB22OBOA5｜++｜=｜｜==2a a bOF2222 2｜++｜=｜｜==a b bOG2241 17【【难题巧解点拔难题巧解点拔】】 例例 1 1 判断下列各命题的真假.(1)对任何两向量、,均有：｜｜-｜｜＜｜｜+｜｜ababab(2)对任何两向量、, -与-是相反向量aba bba(3)在△ABC 中，+-=ABBCAC0(4)在四边形中，(+)-(+)=ABBCCD DA0(5) -=ABACBC解：解：(1)假命题.∵当=时，｜｜-｜｜=｜｜+｜｜.b 0abab∴该命题不成立. (2)真命题.这是因为(-)+( -)=+(-)++(-)=+(-)++(-)=( -)+(-)=a bbaabbaaabba ab b0∴-与-是相反向量.a bba(3)真命题.∵+-=-=ABBCACACAC0∴命题正确.(4)假命题.∵+=, +=ABBCACCD DA CA∴(+)-(+)= -=+≠ABBCCD DAACCAACAC0∴该命题不成立.(5)假命题.∵-=+=≠ABACAB CA CBBC∴该命题不成立.例例 2 2 设 O 是正五边形 A1A2A3A4A5的中心，求证： ++++ = 1OA2OA3OA4OA5OA0分析一：分析一：设= ++++.要证=，就要证向量的方向不定.为a1OA2OA3OA4OA5OAa 0a此需要应用下面的结论：把几个非零向量同时绕一点旋转角 θ，则它们的和向量也旋转角θ.证明：证明：设= ++++.把向量 (i=1,2,…，5)均绕 O 点逆a1OA2OA3OA4OA5OAiOA时针旋转，则分别得向 (i=1,2,…,5，且 A6=A1)此时和向量也绕 O 逆时针旋转521iOAa了，应该得到一个新向量,=++++.52b b2OA3OA4OA5OA1OA∴=.即绕 O 旋转后，仍为，说明的方向不定，故为零向量.baa52aaa∴ ++++ =1OA2OA3OA4OA5OA0分析二：分析二：向量与+共线，可设+=λiOA1iOA1iOA1iOA1iOAiOA证明：证明：设+=λ,+=λ1OA3OA2OA2OA4OA3OA+=λ,+=λ,+=λ3OA5OA4OA4OA1OA5OA5OA2OA1OA则 2(++++=λ( ++++)1OA2OA3OA4OA5OA1OA2OA3OA4OA5OA显然 λ＜2∴++++ =1OA2OA3OA4OA5OA0分析三：分析三：若以 O 为坐标原点，所在直线为 x 轴，建立直角坐标系，然后正交分解1OA每个向量，分别求出平行于 x 轴的分量的和与平行于 x 轴方向的和即可.证明：证明：以 O 为坐标原点，所在直线为 x 轴建立直角坐标系.1OA=cos0· +sin0·1OAij=cos· +sin·2OA52i52j=cos· +sin·3OA54i54j=cos· +sin·4OA56i56j=cos· +sin·5OA58i58j则++++ =(cos0+cos +cos +cos+cos) 1OA2OA3OA4OA5OA52 54 56 58+(sin0+sin +sin+sin+sin) i52 54 56 58j=0· +0·=ij 0例例 3 3 试证明：对任意向量，都有：ab｜｜｜-｜｜｜≤｜-｜≤｜｜+｜｜.并指出等号成立的条件.aba bab分析：分析：这里可根据向量，共线与不共线两种情况进行论证.共线时是特殊情况.而ab不共线时可根据三角形任意两边之差总小于第三边进行论证.证明：证明：(1)当 a，b 共线时，(i) 、(、非零)同向.则｜-｜=｜｜｜-｜ababa ba｜｜＜｜｜+｜｜；(ii)当且仅当、中至少有一个零向量时，｜-bababa｜=｜｜｜-｜｜｜=｜｜+｜｜；(iii)当、 (非零)反向时，｜-babababa｜=｜｜+｜｜＞｜｜｜-｜｜｜.babab根据以上(i)、(ii)、(iii)三种的讨论可知：当、共线时，要证的不等式成立.ab(2)当、不共线时，如图，设在△ABC 中，=,=则=-，根据三abACaAB bBC a b角形中任意两边之差总小于第三边，两边之和总大于第三边可得：｜｜｜-｜｜｜＜｜-｜＜｜｜+｜｜aba bab综上(1)、(2)可得：对任意向量、都有：ab｜｜｜-｜｜｜＜｜-｜＜｜｜+｜｜，当且仅当、同向或、中至aba bababab少一个为时，｜｜｜-｜｜｜≤｜-｜中的等号成立，当且仅当、反向或、0aba baba中至少一个为，｜-｜≤｜｜+｜｜中的等号成立.b0a bab说明：说明：(1)｜｜｜-｜｜｜≤｜-｜≤｜｜+｜｜中两等号成立的充要条件aba bab是、中至少有一个为零向量.ab(2)在上述不等式中-换成可得：｜｜｜-bba｜｜｜≤｜+｜≤｜｜+｜｜，将这两个不等式综合在一起可写成：｜｜｜-｜ba baba｜｜≤｜±｜≤｜｜+｜｜.这个不等式中等号成立的条件应引起我们的重视.babab例例 4 4 已知向量和，求证：｜+｜=｜-｜的充要条件是：的方向与的aba ba bab方向垂直.分析：分析：本题可采用数形结合的方法予以证明.证明：证明：(1)证充分性：若与方向垂直，如图所示，设=,=,使⊥abOA a OB bOA,以 OA、OB 为邻边作矩形 OBCA，则｜+｜=｜｜,｜-｜=｜｜OBa bOCa bBA∵四边形 OBCA 为矩形，∴｜｜=｜｜OCBA∴｜+｜=｜-｜a ba b(2)证必要性.若｜+｜=｜-｜a ba b设=,=，以 OA、OB 为邻边作平行四边形，OA a OB b则｜+｜=｜｜,｜-｜=｜｜a bOCa bBA∵｜+｜=｜-｜ ∴｜｜=｜｜a ba bOCBA∴平行四边形 OBCA 为矩形 ∴的方向与的方向垂直.ab【【课本难题解答课本难题解答】】 课本第 103 页，习题 5.2 第 6 题(1) ;(2) ;(3) ;(4) ;(5) ;(6) ;(7。