“定区间动轴法”求区间最值精编版.doc

定区间动轴法”求区间最值所谓“定区间动轴法”，就是将自变量所在区间 [ a, b] （或 ( a,b) ）标在数轴上，无论该区间是动的还是静的， 根据运动的相对性， 都将其看作 “静止” 的，然后分对称轴 x0a 、0≤b0b 三种情况进行讨论，特别地，如果二次函数图象开口向上求区间最大a ≤ x、 x值或二次函数图象开口向下求区间最小值时，只需分 x0a b 和 x0 ≥ ab 两种情况进行22讨论 .这样让区间标在数轴上不动，而让二次函数图象的对称轴移动，分类方法非常明确、思路清晰、条理性强，这样可做到不重不漏，并且简捷易行 .1．条件中给出区间，直接采用 “定区间动轴法”求区间最值例1 已知 f ( x)x24x 3, xR ，函数 g (t) 、 h(t ) 表示函数 f ( x) 在区间 [t, t1] 上的最小值，最大值，求g(t ) 、 h(t) 表达式 .分析： 此题属于区间最值问题，结合图形，将区间[t ,t 1]在数轴上相对固定，让对称轴 x2 的区间 [t ,t1]内外移动，即分成2t ； t ≤2 ≤ t1； 2t 1三种情况进行讨论，结合图形便可轻松求出函数f ( x) 在区间 [t ,t1] 上的最小值. 而只需分2 ≤t (t1)与 2t(t1)两种情况讨论便可求出f (x) 在区间 [ t, t 1] 上的最大值 .22解： 由 f ( x)x24x3 (x2) 21，知图象关于x2 对称，结合图象知，当 2 t ，即 t2 时， g(t)f (t )t24t3；而当 t ≤ 2 ≤ t1，即 3 ≤ t ≤ 2 时， g(t)f ( 2)1；当 t 12 ，即 t3时， g(t ) f (t 1) t 26t8 .t 26t8,t(,3)∴ g (t )1,t[3,2] .t 24t3, t(2,)当 2 ≤ t(t1) ，即 t ≥5时， h(t)f (t1)t 26t 8 ；22当 2t(t1)，即 t5时， h(t )f (t)t 24t3 .22· ·t t 1···t2t 1t21xx1t 26t8, t[5 ,)∴ h(t)2.t 24t3,t(,5)2评注 ：本题采用了“定区间动轴法”，分 2 t ； t ≤ 2 ≤ t 1 ； 2 t 1三种情况和 2≤ t (t1)； 2t(t1)两种情况进行讨论，使本来因分类讨论带来的繁琐、22思维混乱， 变得脉络清晰、 思维流畅、 条理性强， 降低了分类讨论中因分类不清带来的难度 .此法是解决区间最值的一种非常有效的方法 . 该法是数形结合是重要体现，是研究数学的一个重要手段， 是解题的一个有效途径， 用数形结合法解题， 直观、 便于发现问题， 启发思考，有助于培养我们综合运用数学知识解决问题的能力 . 应用分类讨论思想的前提是： 审题准确、切入方向正确、分类严谨 .引起分类讨论的原因主要有：字母的符号、字母的大小、函数图象对称轴的位置等 .有时分类讨论思想应用的很隐蔽，需要我们仔细发掘 .在讨论时，要做到尽量简捷、不重不漏 .当然，有时也可采用转化思想避开分类讨论，这需要有较强的转化能力与转化意识 .例 2 已知二次函数 y f ( x) 的定义域为 R， f (1) 2 且在 x t 处（ t R）取得最值，若 y g(x) 为一次函数，且 f (x) g( x) x2 2x 3(1)求 y f ( x) 的解析式(2)若 x [ 1,2] 时， f (x) ≥ 1 恒成立，求 t 的取值范围分析：（ 2）若 x [ 1,2] 时， f ( x) ≥ 1 恒成立，条件的实质即为： 当 x [ 1,2] 时 f (x)的最小值在于或等于 1，从而将问题归结为区间最值问题 .作出函数的大致图象，借助函数图象的直观性让区间定，对称轴动，分三种情况进行讨论 .解： (1)设 f( x) a( xt )2b ，∵ gx 为一次函数，∴ a 1又 f (1) 2，∴ (1 t) 2b2 ，∴ bt 22t 1 ，∴ f x x2 2tx 2t 1(2)即 f min ( x) ≥1①当 t1时，[ f ( x)] minf (1)= 24t ≥ 13，得 t ≥4②当1≤ t ≤ 2时， [ f ( x)]minf (t ) =t 22t1 ≥ 1 ，得 1 3 ≤ t ≤ 1 3③当 t2时， [f ( x)]minf 24 2t1≥1 ，得 t ≤ 3由①，②，③得： 1 3 ≤ t ≤ 3 .2评注 ：给定自变量区间求解最值问题时， 最重要的策略就是结合二次函数图象， 利用对称轴与区间的位置关系，可直观显示相应的最值 .2．通过化归转化将问题归结为区间最值问题，再采用“定区间动轴法”求解例 3 设函数 f ( x) = x2 - 4x - 5 .当 k > 2时，求证：在区间 [ - 1, 5] 上， y = kx + 3k 的图像位于函数 f (x) 图像的上方 .分析： 通过转化思想，将文字语言 y = kx + 3k 的图像位于函数 f (x) 图像的上方，转化 为 符 号 语 言 g( x) = k( x + 3) - (- x2 + 4x+ 5) > 0 ， 当 x ? [ 1, 5 ]时 恒 成 立 . 而 当x ? [ 1, 5 时]， g ( x) = k (x + 3) - (- x2 + 4x + 5) > 0 恒成立只需 [ g( x)] min 0 ，所以，本题的实质为区间最值问题 .解： 当 x ? [ 1, 5] 时， f (x) = - x2 + 4 x + 5 .g(x) = k( x + 3) - (- x2 + 4x + 5)= x2 + (k - 4) x+ (3k - 5)骣224 -k ÷-k - 20k+ 36，= ?x-?÷÷?24桫k > 2 ，∴ 4- k < 1 . 又 - 1 ＃x5 ，2① 当- 1?4-k1 ，即 2< k ? 6 时，取 x =4- k，22g(x)min = -k 2 -20k + 361轾2= -(k - 10) - 64 .4犏4 臌16 ? (k10)2 < 64,∴ (k -10)2 -64< 0，则 g (x)min > 0 .②当 4- k < - 1 ，即 k >6 时，取 x = -1，g(x)min ＝ 2k > 0 .2由 ①、②可知，当 k > 2时， g(x) >0 ， x ? [1, 5].因此，在区间 [ -1, 5] 上， y = k( x +3) 的图像位于函数f ( x) 图像的上方 .评注 ：因为 k > 2条件的限制， 降低了问题的难度， 使讨论的情况减少 .很多问题通过转化思想都可以达到化生为熟、 化未知为已知、 化繁杂为简单的目的， 体现了转化思想的重要性.本题就是转化思想应用的一个典型， 通过转化将本来抽象的问题归结到区间最值的求解，让我们有一种豁然开朗的感觉 .3例 4 设 a 为实数，记函数f ( x) a 1 x21 x 1x 的最大值为 g(a) ．（Ⅰ）设 t1 x1x ，求 t 的取值范围， 并把 f (x)表示为 t 的函数 m(t) ，求 m(t)和表达式及 t 的取值范围．（Ⅱ）求 g(a) .分析：本题看似与区间最值无关，但通过换元、转化思想，可将问题化归为区间最值 .解：（I）t1x1 x ，∴要使 t 有意义，必须1x≥ 0 且 1 x≥ 0，即1≤ x ≤ 1 ．t22 21 x22，4 ，t ≥ 0 ，①∴ t 的取值范围是2，2．由①得1x21t 21，2∴ m ta1 t 2 1t1 at 2t a ， t2，2 ．22（ II ）由题意知g a 即为函数 m t1at2ta ， t，的最大值．2。