量子力学试题.docx

量子力学试题〔一〕及答案一. 〔20分〕质量为m的粒子，在一维无限深势阱中成）』°， ° -'-】[3, x < °, x > a中运动，假设t = °时，粒子处于wG,°）=、仰 1—杓 2 2 甲 3 G）状态上，其中，中卜）为粒子能量的第n个本征态1） 求t = °时能量的可测值与相应的取值几率；（2） 求t > °时的波函数V（x,t）及能量的可测值与相应的取值几率解：非对称一维无限深势阱中粒子的本征解为E =^1 n 2, n = 1,2,3,… n 2m a中 G)= - sin 竺 xn \ a a（1）首先，将wG,°）归一化由可知，归一化常数为 c = \：T3于是，归一化后的波函数为W(x,°)= J — Q13七G )—+寿 2一 \"3能量的取值几率为W（E ）= —; W（E ）= —; W（E ）=—1 13 2 13 3 13能量取其它值的几率皆为零T•\：13 里 2（2）因为哈密顿算符不显含时间，故f > 0时的波函数为 wG, t)= —Q13 1j1—Q (x )exp — 113 3 F:iE；k力3 )（3） 由于哈密顿量是守恒量，所以f > 0时的取值几率与f = 0时一样。

二. 〔20分〕质量为m的粒子在一维势阱8. X < 0V(x)=< - V , 0 < x < a0, x > a中运动（V0 >假设该粒子在此势阱中有一个能量E = — ?的状态，试确定此势阱的宽度a解：对于EK < 0的情况，三个区域中的波函数分别为 2W1 (x )= 0W (x)= A sin kxW(x )= B exp(—ax )I 3其中，J2mE在x = a处，利用波函数及其一阶导数连续的条件w (a )=W (a)W' (a )=W' (a)2 3得到A sin ka = B expQoa) Ak cos ka = -Ba expQ oa)于是有tan ka = -ka此即能量满足的超越方程1 ..当E = -2 V0时，由于^mVtan号--1■mV、 L方.刊丸方 a = n丸一—n = 1,2,3,…最后，得到势阱的宽度兀力vmV0三. 〔20分〕设厄米特算符h的本征矢为n，[nJ构成正交归一完备系，定义一个算符U(m, n)= |p 抑 | m . n计算对易子H Um,n*（3）证明 U(m,nU + (p, q)=5 U (m, p )； 计算迹Tr U (m, n)]假设算符a的矩阵元为a =；甲A” ；，证明 mn ' m nA = £ A U(m, n)m,nA = Tr A U +(p, q )，解：-U（m, 〃后"=X（p |v）-|（p）（（p |片|w） =mJ n f m nn-En〔1〕对于任意一个态矢H）,有 k汛n,H|qE Im（Em故^H,U（m,n）^=（E -E m n=6nq〔2〕#Cn,〃以p,q）=|（p ）（（p |（p Vcpmr n p，' q,〃）E z 州为甲』气如气）=伯>」 k〔4〕算符a=£ i（p ；：（P |a=£ imJ ' m£a U（m,n）mnm,n而〔3〕算符的迹为Tr8（m,〃）cp ）==8mn闵气）= £（q）M（p J（cp〃 |气｝. = £（（p, M + （p,q Trkt? + （p,q1四. 〔20分〕自旋为土、固有磁矩为"=丫甘〔其中y为实常数〕的粒子，处—A —> Fl于均匀外磁场B = B k中，设［=0时，粒子处于s =—的状态， o x 2（1）求出£〉。

时的波函数;（2）求出r>0时？与*的可测值及相应的取值几率x z解：体系的哈密顿算符为「八 y B h 人H = ―、• B — —y B s = — o— b = coc 0 z 2 z z在泡利表象中，哈密顿算符的本征解为E = CD,1E = —CD,2虬H+)方在1 = 0时，粒子处于S =-的状态，即Z 2而G满足的本征方程为 Xr=XJ0解之得+ —J2由于，哈密顿算符不显含时间，故$>0时刻的波函数为〔2〕因为— exp --E t I-'; s F h 2 1所以S是守恒量，它的取值几率与平均值不随时间改变，换句话说,Z只要计算f = 0时s的取值几率就知道了 r>0时s的取值几率由于=写=2 )故有而\的取值几率为| + {_R exp - — Et , + ) + exp - — Et ]-)1 力 1 ) k 力 2 77=C0S2 BL t2r i _ \-exp 一顼 E t + exp - 2 k 方 1 )方)-3，t2 )= sin2 室 t2五. 〔20分〕类氢离子中，电子与原子核的库仑相互作用为V(r)=一空2〔 Ze为核电荷〕 r当核电荷变为(Z +1》时，相互作用能增加布=-空，试用微扰论计算它对能量 r的一级修正，并与严格解比较。

解：类氢离子的能量本征解为E 0 = E 0nlmZ 2 e 22n 2 a0力2式中，a0 =一 为玻尔半径能量的一级修正为1 一.EG) = ；nlm|W| nlm = -e 2 ■:nl | — | nl ：由维里定理知- 1 -T = -- V 2总能量E = T + V = 1V =-竺.nl |1 nl：. n 2 2 • 'r'所以，得到,1 , . 2 E Z 2E G)= —e 2•: nl 1 nl：=当=一^-, n = 1,2,3,n ，,，Z n 2 a0微扰论近似到一级的能量为E Z 2 e 2 Ze 2n 2n2a n2a00而严格解为E = — (Z +1)2e2 =— Z2e2 — Ze2 _ e2 n 2n 2 a 2n 2 a n 2 a 2n 2 a0 00 0量子力学试题〔二〕及答案一、〔20分〕在'二°时刻，氢原子处于状态T(r,0) = C即］(/) + J 顼(7)式中，V （产）为氢原子的第〃个能量本征态计算f n与平均值，写出'> °时的波函数=0时能量的取值几率解：氢原子的本征解为H e 4 12 力 2 n 2v (r)= R G)Y G,(p)nlmnlIm其中，量子数的取值围是n - 1,2,3,…；I = 0,1,2,•••,〃由波函数归一化条件可知归一化常数为(1 1——+ — +U 3不为零的能量取值几率为W(E ) = W(E )=138~；（E2)11 1 23 日4 4 48 方 2能量平均值为3 1E = -(E +E ) + —E8 1 3 4 2中G/)= l-V (r)exp --1「"方2当'> °时，波函数为—Et + —V (r)exp| - — £工 2七 气h〔20分〕设粒子处于一维势阱之中8 ,-y0,0,式中，^0 > 0。

导出能量本征值满足的超越方程，进而求出使得体系至少存在一个束缚态的V 0值解：对于E < 0的情况，三个区域中的波函数分别为(kx + 5 )(-a x )1 (x)= 0(x ) = A sin(x ) = B exp3其中，k = Jm (E +V 0)；方 ，利用波函数再x = 0处的连接条件知，5 = n 兀，n = 0,1,2,….x = a在 处，利用波函数及其一阶导数连续的条件得到A sin (ka + n 兀)=B exp (- a a ) Ak cos (ka + n 兀)=-B a exp (- a a )于是有tan ka此即能量满足的超越方程由于，余切值是负数，所以，角度ka 在第2、4象限超越方程也可以改写成sinkak 0 a式中，因为，|sin (ka )|V 1，所以，假设要上式有解，必须要求当 ka =-时，|sin (ka ) = 1 2k a =整理之，得到V三、〔20分〕在动量表象中，k 0 a > ka，于是，有>兀2力20 — 8 日 a 2写出线谐振子的哈密顿算符的矩阵元解：在坐标表象中，线谐振子的哈密顿算符为在动量表象中，该哈密顿算符为= 1 1 C dH = p 2 +_ m ① 2 i 方——2 m 2 1由于动量的本征函数为5 (p — p^ _ IH = I 5 p - p'pp-8(p‘)cd 1 k d % J')，故哈密顿算符的矩阵元为上 p 2 - 1 m 眼 2 生］5(p - p2 m 2 d p 2 | 尸尸-—m ① 2方 2 _产、Is (p，‘ - p，)2 Ztp^T I r r四、〔20分〕设两个自旋为非全同粒子构成的体系，哈密顿量△ △H = Cs 1 - s 2 ,t = 0 时，旋算符。

其中，C为常数,z粒子1的自旋沿人 人-►S 1与s 2分别是粒子1和粒子2的自轴的负方向，粒子2的自z旋沿轴的正方向，求t > 0时测量粒子1的自旋处于'轴负方向的几率和粒子2的自旋处于z轴负方向的几率解：体系的哈密顿算符为H = Cs - 5 = C G - S 2 - S 2 )1 2 2 1 2选择耦合表象，由于S = 0,1，故四个基底为00 ..IF1) ； I2〉=在此基底之下，哈密顿算符是对角矩阵，即0 0 0 ］1 0 00 1 00 0 - 3 J可以直接写出它的解为-+〉］k 4；="0}= 士 虹-」1-+；］t = 0时，体系处于|w(0>'= |-+；= 4= (10}- |00〉］因为哈密顿算符不显含时间，故t > 0时刻的波函数为|w (t)〉二expJexp粒子1处于Z轴负方向的几率为expexp|10)- exp|V (t )〉| 2 + |(-(3iexpexpIJexp|w (t )')cos3i而粒子2处于 轴负方向的几率为expexp五、(-expexp|w (t))(3i(i—C方t|〈+ - |wsin〔20分〕作一维运动的粒子(t))当哈密顿算符为人 n 2H = 2— + V G)时，能量本征值与本征矢分别为E o与|〃 ，如果哈密顿一 一 一 人 A 一 一 一算符变成H = H +人P〔入为实参数〕时，H〔1〕利用费曼一海尔曼定理求出严格的能量本征值。

〔2〕假设* << 1，利用微扰。