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§7.6 带圆孔平板的均匀拉伸学习思路:平板受均匀拉力 q 作用，平板内有半径为 a 的小圆孔圆孔的存在，必 然对应力分布产生影响孔口附近的应力将远大于无孔时的应力，也远大于距孔 口稍远处的应力这种现象称为应力集中孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域根据上述分析，在与小圆孔同心的厚壁圆筒上，应力可以分为两部分：一部分是 沿外圆周作用的不变的正应力，另一部分是以三角函数变化的法向力和切向力 对于前者是轴对称问题；或者根据问题性质可以确定应力函数后求解孔口应力分析表明，孔口应力集中因子为 3学习要点：1. 带圆孔平板拉伸问题；2. 厚壁圆筒应力函数；3. 应力与边界条件；4. 孔口应力设平板在 x 方向受均匀拉力 q 作用，板内有一个半径为 a 的小圆孔圆孔的 存在，必然对应力分布产生影响如图所示孔口附近的应力将远大于无孔时的 应力，也远大于距孔口稍远处的应力这种现象称为应力集中孔口的应力集中，根据局部性原理，影响主要限于孔口附近区域随着 距离增加，在离孔口较远处，这种影响也就显著的减小6心厂—亍血2炉根据上述分析，假如b与圆孔中心有足够的距离，则其应力与无圆孔平 板的分布应该是相同的。

因此的应力可用轴对称应力计算公式：计算则上述公式表明在与小圆孔同心的，半径为b的圆周上，应力可以分为两部分：一部分是沿外圆周作用的不变的正应力，其数值为/?；另一部分是随申 变化的法向力/cos2申和切向力/sin2申对于沿厚壁圆筒外圆周作用的不变的正应力，其数值为/2由此产生-「X q2-q1 显-尸_产庐 b2-a2这里，将均匀法向应力作为外加载荷作用于内径为a，外径为b的厚壁 圆筒的外圆周处使得问题成为一个典型的轴对称应力对于厚壁圆筒的外径作用随2申变化的法向外力心cos2申和切向外力兀sin2申,如图所示根据面力边界条件，厚壁圆筒的应力分量也应该是2申的函数由应力函数与应力分量的关系可以看出，由此产生的应力可以由以下形式的应力函数求解，即仇S"）二诃将上述应力函数表达式代入变形协调方程3魁+ 1 3爲+p Sp b dtp気）二0，可得f（P）所要满足的方程唏+ 2曙如工呵dp=0上述方程是欧拉（Euler）方程，通过变换可成为常系数常微分方程，其通解为因此，将其代入公式爲94）二产3）皿2诃，可得应力函数为诃f （妙诃）={Ap2 + + D）cos2^因此，应力分量为1 d仍丄1 SVf 鬥心6C丄4£\ °+ —= + —+ —）^2^P S P 3毋 p p馮二 二（2貝+ 12%，+^）cos2^"dp p 3

对于孔口应力，即p =a时，有二工賤心=0， %唇=q-2q cos2^最大环向应力发生在小圆孔的边界上的申二兀/2和申=3兀/2处，其值为f ma『3q这表明，当板很大而孔很小时，则圆孔的孔口将有应力集中现象通常把最大应力与平均应力的比值用于描述应力集中的程度即K称为应力集中因子对于平板受均匀拉伸问题，K=3§7.7 楔形体顶端受集中力或集中力偶学习思路:本节将推导有关楔形体的几个有实用价值的解答对于弹性力学问题的求解，重要的问题是确定应力函数的形式由于楔 形体几何形状的特殊性，本身没有任何描述长度的几何参数，借助于几何特性， 可以找到应力函数的基本形式，然后根据变形协调方程得到应力函数楔形体弹性力学解答可以推广为半无限平面应力的解答，这对于工程问 题的求解具有指导意义学习要点：1. 楔形体作用集中力问题的应力函数；2. 楔形体边界条件；3. 楔形体应力；4. 半无限平面作用集中力；5. 楔形体受集中力偶作用；6. 楔形体受集中力偶作用的应力讨论题：楔形体顶端应力和无穷远应力分析设有一楔形体，其中心角为％下端可以认为是伸向无穷远处首先讨论楔形体在其顶端受集中力作用，集中力与楔形体的中心线成卩角。

设楔形体为单位厚度，单位厚度所受的力为F,极坐标系选取如图所示通过量纲分析可以确定本问题应力函数的形式由于楔形体内任一点的 应力分量将与F成正比，并与a，卩，p和申有关由于F的量纲为MT-2，p 的量纲为L-i,而a,卩和申是无量纲的，因此各个应力分量的表达式只能取p 的负一次幂而根据应力函数表达式其P的幂次应比各应力分量P的幂次高两次因此可以假设应力函数为申的某个 函数乘以P的一次幂有1 a^)= o，可得 f （ ）所要满足的方程 即求解上式，可得f（（p） = >lcos^+ Esin 炉 + ^?（Ccos^+ Dsin 炉）其中A, B, C和D为待定常数，将上式代入应力函数表达式可得，因此可以诃f（Q,诃）=Apcos q> + Ep sin q? + p 诃（Ceos 诃 + Dsin

如果取任意一个截面，例如圆柱面ab，如图所示则该截面的应力分量必然和上述面力合成为平衡力系，因此也就必然和力 F 形成平衡力系于是得出由应力边界条件转换而来的平衡条件将应力分量表达式代入上式，则2 J (Deos2 tp- C sin 诃 诃 + F cos - 02 J (Deos2 缪一 Csin 诃 cos 级)d 缪 + Fsin =0Ec积分可得D(sin a + a) + F cos 0 二 0Fsin/JC(sin a -a)+ F sin ^ = 0二? D—FTa: - sin ct? sinff + ct将常数 C 和 D 代入应力分量表达式p 3p p2cos 诃一 Csin 缪)，则本问题的解答为上述楔形体应力在 等于 0时，将趋于无限大即在载荷作用点的应力 无限大，解答是不适用的但是如果外力不是作用于一点，而是按照上述应力分 布作用于一个小圆弧区域，上述解答则为精确解根据圣维南原理，除了力的作用点附近，解答是有足够精度的在上述楔形体问题中，如果令^=冗，卩=0,则转化为弹性半无限平面作用集中力问题将兀，卩=0代入楔形体应力表达式sin p sin-r — 0 ,则弹性半无限平面作用集中力作用的应力表达式为弹性半无限平面作用集中力作用的应力场具有以下特点:1. Qp为主应力,其余主应力为0。

2. 在直径为 d ，圆心在 x 轴并且与 y 轴相切于原点 O 的圆上，由于该圆 上任意一点满足p = dcos申,所以，圆上任意一点应力为Q =-2F/冗d这就是说，圆上任意一点应力，除载荷作用点以外,P各点应力和Q相同P此圆为等径向应力的轨迹线，称为压力泡3. 由于此圆最大切应力Tma^=cn/2=const，因此在光弹性实验中，又称max p为等色线4. 主应力轨迹为一组以坐标原点为中心的放射线5. 最大切应力轨迹为一组与主应力轨迹夹 45 度角的曲线，其轨迹为对数 螺线以下讨论楔形体的顶端受有集中力偶作用问题，如图所示设单位宽度的力偶矩为M根据和楔形体受集中力相同的量纲分析，可见在各应力分量的表达式中只能是以p负二次幂出现，因此应力函数表达式应该与p无关也就是将上式代入变形协调方程足的方程可得例（诃）所要满求解这一关于申的常微分方程，可得诃f （诃）=A cos2^? + Esin 2诃 + Ctp + D其中 A，B，C 和 D 为待定常数求解前，首先作结构分析由于楔形体顶端作用集中力偶，因此为反对称结构其正应力应为申的奇函数，而切应力分量应为申的偶函数由此可见，A = D = 0,则应力函数简化为（级）=Bsinl^p + C

实际上，集中在一点的力或力 偶是不存在的，因此也就不会发生无限大的应力而且，只要面力的集度超过楔 形体材料的比例极限，弹性力学的基本方程将不再适用，因此上述解答也不适用因此应该这样来理解：楔形体受有一定的面力，这个面力的最大集度是 不超过比例极限的，而面力的合力是集中力F或集中力偶M当然面力的分布 方式不同，应力的分布也不同但是，按照圣维南原理，不论这个面力是如何分 布的，在离开楔形体顶端稍远处，应力分布都是相同的，也就是和以上所得应力 分量表达式相同。