2018-2019学年高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）.doc

2018年重庆一中高2020级高二上期中考试（理科）校对版(数学)一、选择题：1.已知抛物线方程，则该抛物线的焦点坐标是（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】将抛物线化成标准方程得y2=x，根据抛物线的基本概念即可算出该抛物线的焦点坐标．【详解】∵抛物线的方程为x=2y2，∴化成标准方程，得y2=x，由此可得抛物线的2p=，得=∴抛物线的焦点坐标为（，0）故选A.【点睛】本题给出抛物线的方程，求抛物线的焦点坐标，着重考查了抛物线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．2.双曲线的渐近线方程为（  ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】由双曲线的标准方程即可求得其渐近线方程．【详解】∵双曲线的方程为，∴其渐近线方程为y=±x=±x，即．故选：C．【点睛】本题考查双曲线的简单性质，属于基础题．3.设是两条不同的直线，是两个不同的平面，下列命题中正确的是（ ）A. 若，，则 B. 若，则C. 若，，则 D. 若,，，则【答案】C【解析】【分析】利用空间中线线、线面、面面间的关系求解．【详解】若，，则α与β相交或平行，故A错误．若，则或与相交但不垂直,故B错误.若，由线面垂直的定义，则垂直于若内的所有直线，，所以，故C正确.若,，，则或与异面，故D不正确.故选C.【点睛】本题考查命题真假的判断，考查了空间中线线、线面、面面的平行、垂直关系的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．4.已知某圆锥的母线长为4，底面圆的半径为2，则圆锥的全面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】首先求得底面周长，即侧面展开图的扇形弧长，然后根据扇形的面积公式即可求得侧面积，即圆锥的侧面积，再求得圆锥的底面积，侧面积与底面积的和就是全面积．【详解】底面周长是：2×2π=4π，则侧面积是：，底面积是：π×22=4π，则全面积是：8π+4π=12π．故选：B．【点睛】本题考查了圆锥的全面积计算，正确理解圆锥的侧面展开图与原来的扇形之间的关系是解决本题的关键，理解圆锥的母线长是扇形的半径，圆锥的底面圆周长是扇形的弧长．5.椭圆上的点到直线的最大距离是(　　)A. 3 B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ），由点到直线的距离公式，计算可得答案．【详解】设椭圆上的点P（4cosθ，2sinθ）则点P到直线的距离d=；故选：D．【点睛】本题考查直线和椭圆的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解．6.已知三棱锥，过点作面为中的一点，，，则点为的（ ）A. 内心 B. 外心 C. 重心 D. 垂心【答案】D【解析】【分析】连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，可得BC⊥PA，由PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC，PO⊥BC，可得BC⊥AE，同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．故H是△ABC的垂心．【详解】连接AO并延长交BC于一点E，连接PO，由于PA，PB，PC两两垂直可以得到PA⊥面PBC，而BC⊂面PBC，∴BC⊥PA，∵PO⊥平面ABC于O，BC⊂面ABC，∴PO⊥BC，∴BC⊥平面APE，∵AE⊂面APE，∴BC⊥AE；同理可以证明才CH⊥AB，又BH⊥AC．∴H是△ABC的垂心． 故选：D．【点睛】本题主要考查了直线与平面垂直的性质，解题时要注意数形结合，属于基本知识的考查．7.已知是以为焦点的双曲线上的动点，则的重心的轨迹方程为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】设点P（m，n ），则 设△PF1F2的重心G（x，y），则由三角形的重心坐标公式可得x=，y=，解出m、n的解析式代入①化简可得所求．【详解】由双曲线的方程可得 a=4，b=3，c=5，∴F1（﹣5，0），F2（5，0）．设点P（m，n ），则 ①．设△PF1F2的重心G（x，y）（y≠0），则由三角形的重心坐标公式可得x=，y=，即 m=3x，n=3y，代入①化简可得 ，故△PF1F2的重心G的轨迹方程是，故选A．【点睛】本题考查用代入法求点的轨迹方程的方法，三角形的重心坐标公式，找出点P（m，n ）与重心G（x，y） 的坐标间的关系是解题的关键．8.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】判断三视图对应的几何体的形状，利用三视图的数据求解几何体的表面积即可．【详解】三视图复原的几何体是长方体的一个角，如图：直角顶点处的三条棱长：3，，3．其中斜侧面的高为：3．几何体的表面积是：=．故选：C．【点睛】本题考查三视图与几何体的关系，判断几何体的形状是解题的关键．9.如图，在三棱锥中，平面平面为等边三角形， 其中分别为的中点，则三棱锥的体积为（） A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】利用等体积法求三棱锥B﹣MOC的体积即可．【详解】在等腰直角三角形ACB中，AC=BC=，∴AB=2，OC=1，∴等边三角形VAB的边长为2，S△VAB=，∵O，M分别为AB，VA的中点．∴．又∵平面平面 平面平面又OC⊥AB, ∴OC⊥平面VAB，∴三棱锥．故选D.【点睛】本题考查平面与平面垂直的性质定理的应用，考查体积的计算，正确运用平面与平面垂直的性质定理是关键，是中档题．10.已知抛物线的方程为，过点和点的直线与抛物线没有公共点，则实数取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】设出过和点的直线方程，与抛物线方程联立，根据直线与抛物线C没有公共点，所以判别式小于0，直接求得t的范围．【详解】由题意知过和点两点的斜率，∴设过A、B的直线方程为，与抛物线方程联立得x2﹣x+=0，△=﹣8<0，∴t<或t>，故选B.【点睛】本题主要考查了直线与圆锥曲线的综合问题．直线与圆锥曲线有无公共点或有几个公共点的问题，实际上是研究它们的方程组成的方程是否有实数解成实数解的个数问题.11.已知点，若圆上存在点(不同于)，使得，则实数的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由题意可得两圆相交，而以MN为直径的圆的方程为x2+y2=4，圆心距为3，由两圆相交的性质可得|r﹣2|＜3＜|r+2|，由此求得r的范围．【详解】根据直径对的圆周角为90°，结合题意可得以MN为直径的圆和圆 （x﹣3）2+y2=r2有交点，显然两圆相切时不满足条件，故两圆相交．而以AB为直径的圆的方程为x2+y2=4，两个圆的圆心距为3，故|r﹣2|＜3＜|r+2|，求得1＜r＜5，故选：A．【点睛】本题主要考查直线和圆的位置关系，两圆相交的性质，体现了转化的数学思想，属于中档题．12.如图在正方体中，点为线段的中点. 设点段上，直线与平面所成的角为，则的取值范围是( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】试题分析：设正方体的棱长为，则，所以，.又直线与平面所成的角小于等于，而为钝角，所以的范围为，选B.【考点定位】空间直线与平面所成的角.视频二、填空题：13.已知球的表面积为,则球的体积为________.【答案】【解析】【分析】由已知结合球的表面积公式求得半径，再由球的体积公式得答案．【详解】设球O的半径为r，则4πr2=16π，得r2=4，即r=2．∴球O的体积为．故答案为.【点睛】本题考查球的表面积与体积的求法，是基础题．14.设椭圆的左右焦点分别为，如果椭圆上存在点，使 ，则离心率的取值范围________.【答案】【解析】试题分析：以线段为直径的圆与椭圆有公共点，所以，即，，所以.考点：椭圆的离心率.15.已知四棱锥的底面为正方形,且顶点在底面的射影为的中心，若该棱锥的五个顶点都在同一球面上，且该棱锥的高为4，底面边长为2，则该球的半径为_________.【答案】【解析】【分析】由题意构造直角三角形，利用射影定理，求出球的半径，即可求出球的表面积．【详解】由题意知四棱锥为正四棱锥，设顶点在底面的射影为的中心为O,连接VO并延长交球于M，连接AM,则为,连接AO, 设球的半径为R，由射影定理，则（）2=4•（2R﹣4），∴R=，故答案为.【点睛】本题考查组合体问题，考查学生的空间想象能力、计算能力，构造直角三角形是关键．16.已知分别为双曲线的下焦点和上焦点,过的直线交双曲线的上支于两点，若，且，则双曲线离心率的值为________.【答案】【解析】【分析】根据题意画出图形，结合图形建立关于c、a的关系式，再求离心率e=的值．【详解】如图，取F2M的中点P，因为|MF1|=|F1F2|=2c，∴|F2M|=2(c﹣a) ∴ |MP|=|F2P|=c﹣a；又，则|NF2|=3（c﹣a），|NF1|=3c﹣a；在Rt△NPF1中，|NP|2+=，在Rt△MPF2中，|MP|2+=，得（3c﹣a）2﹣[4（c﹣a）]2=（2c）2﹣（c﹣a）2，化简得10c2﹣24ac+14a2=0，即（c﹣a）（5c﹣7a）=0，解得c=a或5c=7a；又e＞1，∴离心率e==．故答案为.【点睛】本题考查了双曲线的离心率计算问题，也考查了数形结合与运算能力，是中档题．三、解答题：17.已知数列满足：，且对任意的，都有成等差数列.（1）证明数列是等比数列，并求数列的通项公式；（2）求数列的前项和.【答案】(1)证明见解析，；（2）.【解析】【分析】（1）由条件可知，所以，数列是等比数列，根据等比数列通项求得. (2)利用分组求和方法和等比数列求和公式求得结果.【详解】（1）由条件可知， 即， 所以，且则是以为首项，为公比的等比数列， 所以， 则.(2)由(1), .【点睛】本题考查数列的通项的求法，考查等比数列的证明及等比数列求和公式，考查分组求和的方法，是中档题．18.在直三棱柱中， ,点是的中点. （1）求证：平面；（2）求异面直线与所成角的余弦值．【答案】（1）见解析；（2）.【解析】试题分析：（1）设CB1与C1B的交点为E，连接DE，由三角形中位线定理可证得DE∥AC1，从而可得AC1∥平面CDB1。

2）由DE∥AC1可得∠CED为AC1与B1C所成的角（或其补角），在中，可得，解三角形得，即为所求试题解析：（1）证明：设CB1与C1B的交点为E，连接DE，∵四边形BCC1B1为正方形，∴ E是BC1的中点，又D是AB的中点，∴DE∥AC1又DE⊂平面CDB1，AC1⊄平面CDB1，∴AC1∥平面CDB1.(2)解：∵DE∥AC1，∴∠CED为AC1与B1C所成的角（或其补角）．在△CED中，，∴∴异面直线AC1与B1C所成角。