苏汝铿量子力学课后习题及答案chapter4.pdf

第四章 矩阵力学基础（2）——表象理论 典型例题分析 4.1 质量为 m 的粒子在势场 V(x)中作一维运动，试建立动量表象中的能量本征方程 解题思路：Schrodinger 方程式位置表象中描写波函数的方程，因此可以将它的解展开为一 系列动量表象本征函数的组合，其系数便是动量表象中的波函数 解： 采用 Dirac 符号，能量本征方程在位置表象中的方程，即 Schrodinger 方程， ()HTVEψψψ=+= （4.1） 其中 2 /2Tpm=为动量算符以p，'p表示动量算符的本征函数，即 ˆ p p p p= ˆ'''p ppp= （4.2） 态函数ψ在 p 表象中的表示式记为 ( )ppψϕ= （4.3） 动量本征函数的正交“归一”和完备性 '(')p pppδ=− （4.4） '''1pp dp = ∫ （4.5） 利用式（4.5） ，可将ψ表示成 ''''( ')'ppdppp dpψψϕ== ∫∫ （4.6） 代入（4.1） ，即 ()'( ')''( ')'TVpp dpEpp dpϕϕ+= ∫∫ 左乘p，得 ()'( ')''( ')'p TVpp dpEp pp dpϕϕ+= ∫∫ （4.7） 由 22 ' ''(') 22 pp p T pp ppp mm δ==− （4.8） 定义 ' ' pp Vp V p=，并利用公式 (') ( ')'( )ppp dppδϕϕ−= ∫ （4.9） （4.7）化成， 2 ' ( )( ')'( ) 2 pp p pVp dpEp m ϕϕϕ+= ∫ （4.10） 此即为动量表象中的能量本征方程。

4.2 设 Hermite 算符 ˆ A， ˆ B满足 22 ˆˆ 1AB==，且0ABBA+=，求 （1） 在 A 表象中，算符 ˆ A， ˆ B的矩阵表示 （2） 在 A 表象中，算符 ˆ B的本征值和本征函数 （3） 由 A 表象到 B 表象的幺正变换矩阵 解题思路：由 ˆ A的本征函数的定义，很容易求出在 A 表象中 A 的本征函数及矩阵，利用 A, B 之间的反对易关系和幺正性，即可给出 B 的矩阵，本征函数和本征值，最后利用变换 矩阵的定义，求出 A 到 B 的幺正变换矩阵 解： （1）在 A 的自身表象中 ˆ mnmmn Am A nλ δ== （4.11） 由 2 ˆ 1A =， 2 ˆ ()mn mkknmmkkknmnmnmn kk AA Aλ δλ δλ λ δδ==== ∑∑ 2 11 m λλ= ⇒= ± （4.12） 若无简并，A 的矩阵为 10 01 A ⎛⎞ =⎜ ⎟ − ⎝⎠ （4.13） 由0ABBA+=， ()()00() mnmmnnmnmnmnmn ABBABBBBmnλλλλ+=+=+=⇒=≠ （4.14） 故，B 由以下形式， 12 21 0 0 B B B ⎛⎞ =⎜ ⎟ ⎝⎠ （4.15） ** 2112mnmn BBBB=⇒= （4.16） 因为 2 ˆ 1B =， 2 * 121212 1 i BBeB α = ⇒== （4.17） 所以，在 A 表象下， 0 0 i i e B e α α− ⎛⎞ =⎜ ⎟ ⎝⎠ （4.18） （2）设在 A 表象中，B 的本征函数与本征值为 11 22 bb B bb λ ⎛⎞⎛⎞ = ⎜⎟⎜⎟ ⎝⎠⎝⎠ （4.19） 12 21 01 B B λ λ λ − =⇒= ± − （4.20） 当1λ=时， 1221 , ii bebbe b αα− == （4.21） 再结合归一化条件： 1** 12 2 ()1 b bb b ⎛⎞ = ⎜⎟ ⎝⎠ () 12 11 , 22 ii bebe γγ α+ == （4.22） 为方便讨论，取0γα== 1() 1 2 1 1 12 B b b ϕ ⎛⎞⎛ ⎞ == ⎜⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝⎠ （4.23） 同理，当1λ= −时 1() 2 2 1 1 12 B b b ϕ ⎛⎞⎛⎞ == ⎜⎟⎜⎟ − ⎝⎠⎝⎠ （4.24） （3） 变换矩阵定义， ()()BA nnmm m Sϕϕ=∑ （4.25） () 11121 110 11111 , 10122222 B SSϕ ⎛ ⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ==+⇒== ⎜ ⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ ⎝ ⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ （4.26） () 21222 110 11111 , 10122222 B SSϕ ⎛⎞⎛ ⎞⎛ ⎞ ==−⇒== − ⎜⎟⎜ ⎟⎜ ⎟ − ⎝⎠⎝ ⎠⎝ ⎠ （4.27） 故 11 1 112 S ⎛⎞ = ⎜⎟ − ⎝⎠ （4.28） B 算符到 B 表象的变换： † 10 ' 01 BS BS ⎛⎞ ==⎜ ⎟ − ⎝⎠ （4.29） 4.3 求自由粒子的坐标算符在海森伯图景中的表示 解题思路：在薛定谔图景中，坐标算符不含时间，而在海森伯图景中算符一般都含时间，其 间的转换是由演化算符联系的。

解： 薛定谔图景与海森伯图景的联系是： † ˆ ( )( )( ) HS tUttψψ= （4.30） †( ) ( ) HS FUt F U t= （4.31） 其中， 2 ˆ 2 ( ) ii p Htt hh m U tee −− == （4.32） 所以， 22 22 i pi p tt H h mh m p xexext m − ==+ （4.33） 其中利用了等式 11 [ , ][ ,[ , ]][ ,[ ,[ , ]]] . 2!3! LL e aeaL aL L aL L L a − =++++ （4.34） 4.4 以下等式是否成立： 1） m EdFd mnmF nm F n dtdti == ? ，其中n是能量本征态 2） ' [, ]''''''''( ''')''' ( ''')( ''') xxx ppxppp x pp xppppp x p ppxppδ =−=− =−− ， 其中''p是 x p的 本征态 解题思路： 在运算时要注意算符的厄米性和算符所作用的函数是否为该算符的本征函数， 不 可随意妄猜 解： 此二式皆不成立 1） 问题在于对时间 t 的微分不是厄米的，不可向左作用。

1 [ ,] dFF F H dtti ∂ =+ ∂? （4.35） 因此， 1 [ ,] 1 () nm dFF mnm F Hnmn dtit F EEm F nmn it ∂ =+ ∂ ∂ =−+ ∂ ? ? （4.36） 2） 错误在于'''( ''')p x pxppδ≠−'p并非是 x 的本征态， '''''' x p x pp ip p ∂ = ∂ ? （4.37） 4.5 试建立算符 dr dt ? ， dp dt ? 解题思路：利用公式 1 [ ,] dFF F H dtti ∂ =+ ∂? 和一些常用对易关系即可 解： 利用 1 [ ,] dFF F H dtti ∂ =+ ∂? ， 2 ( ) 2 p HV r m =+其中，0 r t ∂ = ∂ ? ，[ ( ), ]0V r r = ? ，有 2 1 [ ,] 2 dr r p dti m = ? ? ? （4.38） 由对易关系， xxxy p yypiδ−= −?，可以得 2222 [ ,][ ,][ ,][ ,] xyz r px piy pjz pk=++ ??? ? （4.39） 易知， 2 [ ,]2 xx x pi p=?，所以， drp dtm = ?? 。

（4.40） 同理可得， 1 [ , ( )] dp p V r dti = ? ? （4.41） 在座标表象中，pi= − ∇ ? ?，于是， dp VF dt = −∇= ? ? （4.42） 。