结构动力学讲解2讲义.ppt

第二章 运动方程的建立,主要内容,2.1 基本动力体系 2.2 运动方程的建立 2.3 重力的影响 2.4 地基运动的影响 2.5 例题,运动方程：描述结构中力与位移关系的数学表达式 （有时称动力方程） 运动方程是进行结构动力分析的基础 运动方程的建立是结构动力学的重点，也是难点,2.1 基本动力体系 单自由度体系：SDOF（Single－Degree－of－Freedom－System） 结构的运动状态仅需要一个几何参数即可以确定 分析单自由度体系的意义： 第一，单自由度系统包括了结构动力分析中涉及的所有物理量及基本概念 第二，很多实际的动力问题可以直接按单自由度体系进行分析计算 图2.1 结构动力分析中常用的单自由度体系力学模型,,2.1 基本动力体系 （a）单层框架结构 （b）弹簧―质点体系 图2.1结构动力分析中常用的单自由度体系力学模型,,两个典型的单自由度体系 物理元件： 集中质量 m 阻尼系数 c 弹簧刚度 k 两个力学模型完全等效 两个体系的运动方程相同,,,2.1 基本动力体系 1. 惯性力（Inertial Force） 惯性：保持物体运动状态的能力 惯性力： 大小等于物体的质量与加速度的乘积， 方向与加速度的方向相反。

I — 惯性（Inertial）； m— 质量（mass） ； ü — 质点的加速度2.1 基本动力体系 2. 弹簧的恢复力（Resisting Force of Spring） 对弹性体系，弹簧的恢复力也被称为弹性恢复力 弹性恢复力：大小等于弹簧刚度与位移（弹簧变形）的乘积， 方向指向体系的平衡位置 s— 表示弹簧（Spring） k— 弹簧的刚度（Spring Stiffness） u— 质点位移,,,,,,2.1 基本动力体系 单层框架结构的水平刚度 h—框架结构的高度 E—弹性模量 Ib和Ic—梁和柱的截面惯性矩,,,,,,,,,,,ρ→∞：,ρ→0 ：,2.1 基本动力体系 3. 阻尼力（Damping Force） 阻尼：引起结构能量的耗散，使结构振幅逐渐变小的一种作用 阻尼来源（物理机制）： (1)固体材料变形时的内摩擦，或材料快速应变引起的热耗散； (2)结构连接部位的摩擦，结构构件与非结构构件之间的摩擦； (3)结构周围外部介质引起的阻尼例如，空气、流体等 粘滞(性)阻尼力可表示为： D — 阻尼（damping） c — 阻尼系数（Damping coefficient） ù — 质点的运动速度,,,,,,,2.1 基本动力体系 阻尼系数c 的确定： 不能像结构刚度k那样可通过结构几何尺寸、构件尺寸等来获得， 因为c是反映了多种耗能因素综合影响的系数，阻尼系数一般是 通过结构原型振动试验的方法得到。

粘滞(性)阻尼理论仅是多种阻尼中最为简单的一种 其它常用的阻尼： 摩擦阻尼：阻尼力大小与速度大小无关，一般为常数 ； 滞变阻尼：阻尼力大小与位移成正比（相位与速度相同）； 流体阻尼：阻尼力与质点速度的平方成正比 2.1 基本动力体系 4. 线弹性体系和粘弹性体系 (Linearly Elastic System and Viscous Elastic System) 线弹性体系：由线性弹簧（或线性构件）组成的体系 —最简单的理想化力学模型 粘弹性体系：当线弹性系统中进一步考虑阻尼的影响时的体系 —结构动力分析中的最基本力学模型2.1 基本动力体系 5. 非弹性体系 (Inelastic System) 结构构件的力—变形关系为非线性关系，结构刚度不再为常数 构件（或弹簧）的恢复力可表示为 fs是位移和速度的非线性函数 图2.6 非弹性体系中结构构件的力与位移关系,,,,,,,,,2.2 运动方程的建立 1. 利用牛顿（Newton）第二定律 图2.7单质点体系的受力分析,,,,,,单质点体系运动时要满足的控制方程—运动方程,2.2 运动方程的建立 利用牛顿第二定律的优点： 牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用， 以人们最容易接受的知识建立体系的运动方程。

2.2 运动方程的建立 2. D’Alembert原理（直接动力平衡法） D’Alembert原理：在体系运动的任一瞬时，如果除了实际作用结构的主动力 （包括阻尼力）和约束反力外，再加上（假想的）惯性力， 则在该时刻体系将处于假想的平衡状态（动力平衡） 图2.8 单质点体系的受力分析,,,,,,,2.2 运动方程的建立 2. D’Alembert原理（直接动力平衡法） D’Alembert原理的优点：静力问题是人们所熟悉的，有了D’Alembert 原理之后，形式上动力问题就变成了静力问题，静力问题中用来建立控 制方程的方法，都可以用于建立动力问题的平衡方程，使对动力问题的 思考有一定的简化对很多问题，D’Alembert原理是用于建立运动方程 的最直接、最简便的方法 D’Alembert原理的贡献：建立了动力平衡概念,,,,,,,（1）按平衡条件建立运动方程－刚度法,,,,,－惯性力,－弹性力,对隔离体列平衡方程：,k－刚度系数,,,,,刚度法步骤：,,（1）在质点上沿位移正向加惯性力;,（2）取质点为隔离体并作受力图;,（3）根据达朗伯原理对质量m列瞬时 动力平衡方程，此即体系的运动方程。

2）按位移法协调建立方程－柔度法,,,1,,δ,,,,对质量 m 列位移方程：,,,,δ－柔度系数,,,柔度法步骤：,（1）在质量上沿位移正方向加惯性力；,（2）求动荷载和惯性力引起的位移；,（3）令该位移与质量 m 的位移相等， 即得到体系的位移方程（运动方程）3）建立运动方程例题,例1 试建立图示刚架（a）的运动方程,解：（1）刚度法,,,（a）,（b）,,,由于横梁刚度无限大，刚架只产生水平位移设横梁在某一时刻 t 的水平位移为 y(t), 向右为正在柱顶设置附加链杆（图b），以 y(t) 作为基本未知量，用位移法列动平衡方程：,,令,,,作,,图（图c），求得,,(c),(d),考虑动荷载 F(t)和惯性力,作 MP 图，求得,（2）柔度法,设横梁在任一时刻 的位移 是由动荷载 和惯性力 共同作用产生的（图e），,所以，运动方程为：,因此，横梁的位移为：,作 图（图f）,(e),,(f),,求得,所以，运动方程为,可见，用两种方法求解后运动方程相同例2．试建立图（a）所示刚架的运动方程（不计轴向变形）a),(b),解： 用柔度法求解,图示结构质量 m 只产生水平位移。

设质量 m 在任一,时,刻t的水平位移为 ，,它是由动荷载,(c),质量m的位移为,和惯性力,作用产生的，,共同,向右为正作 图，,求得,所以，运动方程成为,,例3．试建立图（a）所示刚架的运动方程 （不计轴向变形）解： 仍用柔度法求解,(a),（b）,分析同例2，质量m 的位移为,作 图、 图,求得,(c ),(d),所以，运动方程为,由此可见，动静法建立单自由度体系的运动方程通常是以质量的静平衡位置作为计算动位移的起点，采用刚度法还是柔度法要视具体问题是求刚度系数方便，还是求柔度系数方便来定对同一体系，两种方程都是一样的，对于单自由度体系： 2.2 运动方程的建立 3. 虚位移原理 虚位移原理：在一组外力作用下的平衡系统发生一个虚位移时，外力在 虚位移上所做的虚功总和恒等于零 虚位移是指满足体系约束条件的无限小位移 设体系发生一个虚位移δu 平衡力系在δu 上做的总虚功为: 图2.8 单质点体系的受力分析,,,,,,,,,2.2 运动方程的建立 3. 虚位移原理 虚位移原理的优点：虚位移原理是建立在对虚功分析的基础之上，而虚功是 一个标量，可以按代数方式运算，因而比Newton第 二定律，或D’Alembert原理中需要采用的矢量运算更简便。

对如下图所示结构体系，用虚位移原理建立方程更简便一些,,,,,,,,,,2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理 应用变分法来建立结构体系的运动方程 动力学中广泛应用的变分法是Hamilton原理 体系的平衡位置是体系的稳定位置，在稳定位置，体系的能量取得极值, 一般是极小值 Hamilton原理：在任意时间区段[t1, t2]内，体系的动能和位能的变分加上 非保守力做功的变分等于0 其中： T —— 体系的总动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Wnc—— 作用于体系上非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）所做的功； δ —— 指（在指定时间段内）所取的变分 图2.8 单质点体系的受力分析,,,,,,,,,,2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(积分形式的动力问题的变分方法) Hamilton原理的优点：不明显使用惯性力和弹性力，而分别用对动能和位能的变分代替因而对这两项来讲，仅涉及处理纯的标量，即能量 而在虚位移中，尽管虚功本身是标量，但用来计算虚功的力和虚位移则都是矢量 动能：集中质量 转动质量 位能：拉伸弹簧 转动弹簧 多自由度体系： 动能 位能,,,,,,,,,,,,,,,,2.2 运动方程的建立 4. Hamilton原理(用Hamilton原理建立单自由度弹簧－质量体系的运动方程) 体系的动能： 位能(弹簧应变能)： 因此能量的变分 非保守所做的功的变分(等于非保守力在位移变分上作的功) 将以上两式代入Hamilton原理的变分公式，得： 对上式中的第一项进行分部积分,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,2.2 运动方程的建立 5.运动的Lagrange方程(微分形式的动力问题的变分原理 ) 其中： T —— 体系的动能； V —— 体系的位能，包括应变能及任何保守力的势能； Pncj——与uj相应的非保守力（包括阻尼力及任意外荷载）。

2.2 运动方程的建立 5.运动的Lagrange方程 用： Hamilton原理 推导： Lagrange方程,,,,,,,,,,,2.2 运动方程的建立 5.运动的Lagrange方程 用Lagrange方程建立体系的运动方程 体系的动能： 体系的位能： 非保守力： 因此， 代入Lagrange方程： 再一次得到体系的运动方程：,,,,,,,,,,,2.2 运动方程的建立 五种建立运动方程的方法的特点 牛顿第二定律是基于物理学中已有知识的直接应用，有助于理解和接受D’Alembert原理 D’Alembert原理是一种简单、直观的建立运动方程的方法，得到广泛的应用更重要的是D’Alembert原理建立了动平衡的概念，使得在结构静力分析中的一些方法可以直接推广到动力问题当结构具有分布质量和弹性时，直接应用D’Alembert原理，用动力平衡的方法来建立体系的运动方程可能是困难的 虚位移原理部分避免了矢量运算，在获得体系虚功后，可以采用标量运算建立体系的运动方程，简化了运算 Hamilton原理是一种建立运动方程的能量方法（积分形式的变分原理） ，如果不考虑非保守力作的功（主要是阻尼力），它是完全的标量运算，但实际上直接采用Hamilton原理建立运动方程并不多。

Hamilton原理的美妙在于它以一个极为简洁的表达式概括了复杂的力学问题 Lagrange方程得到更多的应用，它和Hamilton原理一样，除非保守力（阻尼力）外，是一个完全的标量分析方法，不必直接分析惯性力和保守力（主要是弹性恢复力），而惯性力和弹性恢复力是建立运动方程时最为困难的处理对象，关于阻尼力实际上它一般不是通过数学推理分析，从材料、结构构件的几何尺寸等推演得到的，而往往是通过实验、测试的方法得到（至少对结构动力学是如此），因此，由阻尼产生的非保守力引起的困难并不大这可能与纯粹的连续介质力学很不同，连续介质力学阻尼主要由介质本。