椭圆常结论及其结论(完全版).docx

2 椭圆常用结论一、椭圆的第二定义+:一动点到定点的距离和它到一条定直线的距离的比是一个（0,1）内常数e,那么这个点的轨迹叫做椭圆•其中定点叫做焦点，定直线叫做准线，常数e就是离心率.（点与线成对出现, 左对左,右对右）x2 y 2对于—+ --a 2 b2左准线l : X =1a 2 a2;右准线1 : x =- c 2 cy 2 x2 a2 a 2对于二+厂=1，下准线1 : y =- ；上准线1 : y = -.a 2 b2 1 c 2 c椭圆的准线方程有两条，这两条准线在椭圆外部，与短轴平行，且关于短轴对称a2 a 2 - c 2 b2焦点到准线的距离p = - c = = （焦参数）c c c、焦半径圆锥曲线上任意一点M与圆锥曲线焦点的连线段，叫做圆锥曲线焦半径椭圆的焦半径公式：焦点在X轴（左焦半径）ri = a + eXo ,（右焦半径）r2 = a-eXo，其中e是离心率・=a - ey o其中Fi，f2分别是椭圆的下上焦点•焦半径公焦点在y轴|MF| =a + ey 0, Mf2式的两种形式的区别只和焦点的左右有关，而与点在左在右无关 可以记为：左加右减,上减下加・ \PF | > a - c, |PF| > a -c）推导：以焦点在X轴为例如上图，设椭圆上-点叫y。

在y轴左边.根据椭圆第二定义，PF―1PM则 |PF | 二 e|PM| 二 e( 、a 2=e x + ——0c\ c丿、a 2x + —0 c丿=a + ex0同理可得|PF| = a - ex三、通径：圆锥曲线（除圆外）中，过焦点并垂直于轴的弦，以焦点在x轴为例,弦ABr b 2)Dr b 2)坐标： Ac,—— ， Bc,—\ a丿k a丿弦 AB 长度：\AB\ = 2b2a22四、若P是椭圆：二+和=1上的点.F1,F2为焦点，若”严2 =0，则ApF 1F2的面积为推导：如图 S1=一 PF - PF - sin 02 1 2PF2 +PF2 —FF1 222PF1•PF2根据余弦定理，得cos 0PF + PF )2 — 2 PF • PF — 4c2 1 1 2 2|pF1|.|pF24a 2 — 2PF1PF2—4c 22PF1PF24b 2 — 2 PF • PF2|pF1|.|pF2 一2b 21 + cos 0sin0 0=b 2 tan —1+ cos0 21 1 2b2S = PF -PF -sin0 二一• -sin0 = b2apf1f2 2 1 2 2 1 + cos 0五、弦长公式直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k，直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x, y),B(x , y )，则它的弦长1 1 2 2|AB| = y'l + k21(x + x )2 -4xxL 1 2 12」b2a2证明：设 A(x , y ) ， B(x , y )，1 2 2k=ABy ― y1 2x - x12x2—a2+x2+a2<22=1b2里=1b2x2 - x2 y 2 - y 21 2 + 1 壬=0整理得:a2b2y 2 - y 21 2-x 2 - x 212b2，即a2注:实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因 为人-y2 = k(和一 x2)，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是，则|AB| = |y -歹?六、圆锥曲线的中点弦问题：(1)椭圆中点弦的斜率公式：x2 y 2设M (x0, y0)为椭圆a； +厉=1弦AB( AB不平行y轴)的中点，则有：kAB - koM =(y + y )(y — y ) b21 2 1 弓=-，因为M(x ,y )是弦AB的中点，所以(x + x )(x - x ) a2 0 01 2 1 2t y 2 x y + y ~ , b 2k = —0 = 亠=1 2，所以k -k = om x 2 y x + x AB OM a 20 0 1 2(2)遇到中点弦问题常用“韦达定理”或“点差法”求解。

x2 y2 b2x在椭圆——+》=1中，以M(x ,y )为中点的弦所在直线的斜率k=— 亠；a2 b2 0 0 a2 y0b2由(1)得k -k =--AB OM a2b 2 1 b 2 xk 二一 - 二一 •一oAB a 2 k a 2 yOM 0七、椭圆的参数方程x 二 a cos p y 二 b sin p（p为参数）■八、共离心率的椭圆系的方程：2 2 I 2 2椭圆匚+ ^~ = 1(a》b》0)的离心率是e = — (c = \ a2-b2 ),方程匚+ ^― = t(t是大于0的参 a2 b2 a a2 b2数，a > b > 0的离心率也是e = c我们称此方程为共离心率的椭圆系方程. a例1、已知椭圆x2 +兰=1上一点P到椭圆左焦点的距离为3,则点P到右准线的距离为 25 16x2 y 2例2、如果椭圆七+ [ = 1弦被点A（4, 2）平分，那么这条弦所在的直线方程是36 9x2 y 2例3、已知直线y = -x +1与椭圆一 + ] = 1（a >b >0）相交于A、B两点，且线段AB的a 2 b2中点在直线l: x- 2y = 0上，则此椭圆的离心率为 例4、F是椭圆宁+琴=1的右焦点，血）为椭圆内一定点，P为椭圆上一动点。

y（1） |PA|+ |PF|的最小值为（2） |pA| + 2|pF|的最小值为分析：PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径PF'或 准线作出来考虑问题解：(1)设另一焦点为F'，则F' (-1,0)连A F', P F'|PA| + |PF| = |PA| + 2a-|PF'| = 2a- (|PF'|一|PA|) > 2a-|AF'| = 4 —応当P是F' A的延长线与椭圆的交点时,|PA| + |PF|取得最小值为仝2)作出右准线I,作PH丄l交于H，因a2 = 4 ,b2 = 3 ,c2 = 1,所以a = 2 ,c = 1,1e =.21.•・ PF\ = -|PHI，即2|PF\ = |PH・.|PA| + 2PF = |PA| + pHa2当A、P、H三点共线时,其和最小,最小值为——-x = 4 -1 = 3 c Ax2例5、求椭圆三+ y2 = 1上的点到直线x- y + 6 = 0的距离的最小值.2 2例6、椭圆 顶点A（a , 0）, B（0 , b）,若右焦点F到直线AB的且忙b疋)C．B.D. 2距离等于* |AF I ,则椭圆的离心率e=（ A. 732 2例7、在椭圆 中，巧，F2分别是其左右焦点，若IPF]I=2IPF2I ,贝9该且庄bD.椭圆离心率的取值范围是（ ）A. B. [1, 1）。