同济版大一高数第十一章习题.ppt

高等数学 第二十七讲习题课一、一、 曲线积分的计算法曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算 第十一章 （一）曲线积分与曲面积分（一）曲线积分与曲面积分（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系（三）场论初步（三）场论初步 一、主要内容曲曲线线积积分分曲曲面面积积分分对面积的对面积的曲面积分曲面积分对坐标的对坐标的曲面积分曲面积分对弧长的对弧长的曲线积分曲线积分对坐标的对坐标的曲线积分曲线积分定定义义计计算算定定义义计计算算联联系系联联系系（一）（一）曲线积分与曲面积分曲线积分与曲面积分 曲曲 线线 积积 分分对弧长的曲线积分对弧长的曲线积分对坐标的曲线积分对坐标的曲线积分定定义义联联系系计计算算(与方向有关)与路径无关的四个等价命题与路径无关的四个等价命题条条件件等等价价命命题题 曲曲 面面 积积 分分对面积的曲面积分对面积的曲面积分对坐标的曲面积分对坐标的曲面积分定定义义联联系系计计算算与侧无关与侧有关定积分定积分曲线积分曲线积分重积分重积分曲面积分曲面积分计算计算计算计算计算计算GreenGreen公式公式StokesStokes公式公式GuassGuass公式公式（二）各种积分之间的联系（二）各种积分之间的联系积分概念的联系定积分定积分二重积分二重积分曲面积分曲面积分三重积分三重积分曲线积分曲线积分计算上的联系其中其中理论上的联系理论上的联系1.定积分与不定积分的联系牛顿牛顿----莱布尼茨公式莱布尼茨公式2.二重积分与曲线积分的联系格林公式格林公式3.3.三重积分与曲面积分的联系三重积分与曲面积分的联系高斯公式高斯公式4.4.曲面积分与曲线积分的联系曲面积分与曲线积分的联系斯托克斯公式斯托克斯公式Green公式,Guass公式,Stokes公式之间的关系或推广推广梯度梯度通量通量旋度旋度环流量环流量散度散度（三）（三）场论初步场论初步一、曲线积分的计算法一、曲线积分的计算法1. 基本方法曲线积分第一类 ( 对弧长 )第二类 ( 对坐标 )(1) 统一积分变量转化定积分用参数方程用直角坐标方程用极坐标方程(2) 确定积分上下限第一类: 下小上大第二类: 下始上终练习题: P184 题 3 (1), (3), (6)(1) 利用对称性及形心公式简化计算 ;(2) 利用积分与路径无关的等价条件;(3) 利用格林公式 (注意加辅助线的技巧加辅助线的技巧) ; (5) 利用斯托克斯公式 ;(4) 利用两类曲线积分的联系公式 .2. 基本技巧基本技巧例例1 计算其中L为圆周提示提示: 利用极坐标 ,原式 =说明说明: 若用参数方程计算,则例例2. 计算其中 为曲线解解: 利用轮换对称性 , 有利用形心公式知(的形心在原点)闭合闭合非闭非闭闭合闭合非闭非闭补充曲线或用公式补充曲线或用公式思路思路: :例例3.解解例例4. 计算其中L为摆线上对应 t 从 0 到 2 的一段弧.提示提示:思考思考：若用格林公式加辅助线的方法如何计算？例例5. 计算其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,解解 令则这说明积分与路径无关, 故a 为半径的上半圆周.(利用格林公式)思考思考:(2) 若 L 同例5 , 如何计算下述积分:(1) 若L 改为顺时针方向,如何计算下述积分:其中L 是沿逆时针方向以原点为中心,a 为半径的上半圆周.例例5. 计算思考题解答思考题解答:(1)(2)例例6. 计算其中 L 是沿曲线从 A (0,1) 到 B (1,0) 的一段弧 . 解解:例例7. 计算其中 L 是以点( 1, 0 )为中心, R(R > 1) 为半径的圆周, 取逆时针方向 . 2000. 考研考研解解:在L所围域内作足够小的椭圆 l 如图若 L 为 顺时针方向， 则 I =例例8 设积分与路径无关,其中有一阶连续导数 . 则提示提示: 因积分与路径无关 , 故由此得原式二、曲面积分的计算法二、曲面积分的计算法1. 基本方法曲面积分第一类( 对面积 )第二类( 对坐标 )转化二重积分(1) 统一积分变量 — 代入曲面方程(2) 积分元素投影第一类: 始终非负第二类: 有向投影(3) 确定二重积分域— 把曲面积分域投影到相关坐标面2. 基本技巧基本技巧(1) 利用对称性及质心公式简化计算(2) 利用高斯公式注意公式使用条件添加辅助面的技巧(辅助面一般取平行坐标面的平面)(3) 两类曲面积分的转化例例1. 计算曲面积分中 是球面解解: 利用对称性用形心公式例例2 计算其中是曲面的上侧。

解解 取的下侧由高斯公式例例3. 计算曲面积分其中,解解:思考思考: 本题  改为椭球面时, 应如何计算 ?提示提示: 在椭球面内作辅助小球面内侧, 然后用高斯公式 .其中L为上半圆周解解: :沿逆时针方向.例例6 计算例例7.证明证明: 设(常向量)则单位外法向向量, 试证设  为简单闭曲面, a 为任意固定向量, n 为的 在此过程中受力 例例9. 质点M 沿着以AB为直径的半圆, 从 A(1,2)的大小运动到点B(3,4),等于点 M 到原点的距离,求变力解解: 由图知 故所求功为作用, y 轴正向夹角为锐角,其方向垂直于OM , 且与对质点M 所作的功. ( 考研1990 ) 例例11. 设  是一光滑闭曲面,所围立体  的体积 是  外法线向量与点 ( x , y , z ) 的向径试证证证: 设  的单位外法向量为 则的夹角,为V,例例12.设L 是平面与柱面的交线从 z 轴正向看去, L 为逆时针方向, 计算 解解: 记  为平面上 L 所围部分的上侧, D为在 xoy 面上的投影. 由斯托克斯公式D 的形心。