等价无穷小替换,极限的计算.doc

无穷小 　极限的简单计算【教学目的】１、理解无穷小与无穷大的概念;　　2、掌握无穷小的性质与比较 会用等价无穷小求极限；3、不同类型的未定式的不同解法.【教学内容】1、无穷小与无穷大；2、无穷小的比较； 3、几个常用的等价无穷小 等价无穷小替换; 　 　4、求极限的方法.【重点难点】重点是掌握无穷小的性质与比较 　用等价无穷小求极限.难点是未定式的极限的求法.【教学设计】首先介绍无穷小和无穷大的概念和性质（３０分钟)，在理解无穷小与无穷大的概念和性质的基础上，让学生重点掌握用等价无穷小求极限的方法(20分钟）.最后归纳总结求极限的常用方法和技巧（25分钟），课堂练习（15分钟）授课内容】一、无穷小与无穷大1定义前面我们研究了数列的极限、(、)函数的极限、(、）函数的极限这七种趋近方式下面我们用＊表示上述七种的某一种趋近方式，即＊定义：当在给定的＊下，以零为极限，则称是＊下的无穷小,即例如, 【注意】不能把无穷小与很小的数混淆；零是可以作为无穷小的唯一的数，任何非零常量都不是无穷小定义： 当在给定的＊下，无限增大，则称是*下的无穷大，即显然，时，都是无穷大量，【注意】不能把无穷大与很大的数混淆；无穷大是极限不存在的情形之一。

无穷小与无穷大是相对的，在不同的极限形式下，同一个函数可能是无穷小也可能是无穷大，如 　 　 　， 　 　　　 ，所以当时为无穷小，当 时为无穷大无穷小与无穷大的关系：在自变量的同一变化过程中，如果为无穷大,则为无穷小；反之,如果为无穷小，且，则为无穷大.小结:无穷大量、无穷小量的概念是反映变量的变化趋势,因此任何常量都不是无穷大量，任何非零常量都不是无穷小，谈及无穷大量、无穷小量之时，首先应给出自变量的变化趋势无穷小与函数极限的关系：定理1 其中是自变量在同一变化过程(或)中的无穷小证:(必要性)设令则有（充分性）设其中是当时的无穷小，则 【意义】（1）将一般极限问题转化为特殊极限问题(无穷小);(２)3.无穷小的运算性质定理2 在同一过程中,有限个无穷小的代数和仍是无穷小.【注意】无穷多个无穷小的代数和未必是无穷小　定理3 　有界函数与无穷小的乘积是无穷小如：,,推论1 在同一过程中，有极限的变量与无穷小的乘积是无穷小推论2 常数与无穷小的乘积是无穷小.推论3 有限个无穷小的乘积也是无穷小.二、无穷小的比较例如,观察各极限:不可比.极限不同， 反映了趋向于零的“快慢”程度不同.1.定义： 设是自变量在同一变化过程中的两个无穷小,且 例１ 证:例2　 解２．常用等价无穷小:（1）～;　 　 (2）～; 　　　 (3)~；　（4）～;　 　 　（5)~；　 （6）~（7)~　　 　（8）～　 (9)～用等价无穷小可给出函数的近似表达式：例如3．等价无穷小替换定理：证：例3　　（１）； 　 (2) 解:　 (1) 故原极限=　８（2）原极限==例４　　错解: =0正解： 故原极限【注意】和、差形式一般不能进行等价无穷小替换,只有因子乘积形式才可以进行等价无穷小替换。

例5　 解: 原式三、极限的简单计算１ 代入法：直接将的代入所求极限的函数中去，若存在，即为其极限,例如；若不存在，我们也能知道属于哪种未定式,便于我们选择不同的方法例如,就代不进去了,但我们看出了这是一个型未定式，我们可以用以下的方法来求解 分解因式,消去零因子法例如,3． 分子（分母）有理化法例如, 　 　 　　 　 　 　 　 　　 　 　　　 又如,4.　化无穷大为无穷小法例如，,实际上就是分子分母同时除以这个无穷大量由此不难得出又如，,（分子分母同除）再如，，(分子分母同除）5．　利用无穷小量性质、等价无穷小量替换求极限例如，，（无穷小量乘以有界量)又如，解:商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得再如,等价无穷小量替换求极限的例子见本节例3—例5 利用两个重要极限求极限(例题参见§1．4例3-例５）7. 分段函数、复合函数求极限例如，解: 左右极限存在且相等,　【启发与讨论】思考题１：解： 无界， 　不是无穷大结论:无穷大是一种特殊的无界变量，但是无界变量未必是无穷大.思考题2:若,且，问:能否保证有的结论？试举例说明.解：不能保证. 例　　 思考题3:任何两个无穷小量都可以比较吗？解：不能．例如当时都是无穷小量但不存在且不为无穷大，故当时和不能比较．【课堂练习】求下列函数的极限(1)；解：原极限=（2）求【分析】 “”型，拆项。

解:原极限==＝（3） ;　【分析】“抓大头法”，用于型解：原极限==，或原极限（4)；【分析】分子有理化解：原极限===（5)【分析】型，是不定型,四则运算法则无法应用，需先通分,后计算解：＝＝＝（6）【分析】“”型,是不定型,四则运算法则失效,使用分母有理化消零因子.　解:原极限==6（7）解: 先变形再求极限内容小结】一、无穷小(大）的概念无穷小与无穷大是相对于过程而言的.１、主要内容：　两个定义;四个定理;三个推论２、几点注意：（1） 无穷小(　大）是变量,不能与很小（大）的数混淆，零是唯一的无穷小的数；（２） 无穷多个无穷小的代数和（乘积）未必是无穷小.（3)　无界变量未必是无穷大二、无穷小的比较：1．反映了同一过程中， 　两无穷小趋于零的速度快慢， 但并不是所有的无穷小都可进行比较高（低）阶无穷小； 等价无穷小； 　无穷小的阶.２等价无穷小的替换： 求极限的又一种方法, 注意适用条件.三、极限求法(不同类型的未定式的不同解法）；a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限；c无穷小因子分出法求极限;d利用无穷小运算性质求极限；e.利用左右极限求分段函数极限。

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