5-1刚体运动第八次课.ppt

第五章刚体力学 1如果在所研究的问题中，物体的体积和形状是无关紧要的，那么我们就可以把它看作为质点在通常的情况下，物体是不能视为质点的，我们可以把它们看为连续体，但是连续体的运动 却是相当的复杂为了使问题简化，通常要引入 一些理想的模型，如刚体、弹性体和理想流体等 2第五章 刚体力学 §5-1 刚体的运动 §5-2 刚体动力学 §5-3 定轴转动刚体的角动量守恒定律 §5-4 固体的形变和弹性3刚体（rigid body）在任何情况下,其大小和形状都不变化的物体或者说物体上任意两点的相对位置保持不变§5-1 刚体的运动注意：1. 刚体是一种理想模型，是一种科学抽象，实际的 刚体是不存在的；2. 在问题的讨论中，如果物体的形变甚微，以至于 对物体的运动影响不大，则该物体可视为刚体4宏观机械的转动陀螺仪的转动 星体的自转陀螺仪作为一种惯性测量器件，是惯性导航、惯性制导和惯性测量系统的核心部件.微观分子的转动 原子的转动电子的自旋刚体力学所讨论的问题：宏观和微观刚体力学51. 平动 在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一 条直线始终保持平行, 这种运动就称为平动一、平动和转动 (Translation and rotation)平动物体的特点：1. 物体上各点具有相同的轨迹；2. 物体上各点都具有相同的位移，因此各 点具有相同的速度和 加速度。

6结论：1. 刚体上任意一点的运动均代表整个刚体的运动；2. 有关质点一切规律对于刚体的平动都满足,用质心代表整个刚体的运动 2.转动 在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点都绕同一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为转动这条直线称为转轴78Ø 刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动++9刚体的平面运动刚体在运动过程中，各点的运动轨迹始终在一个平面内10在刚体转动中, 如果转轴固定不动, 称为定轴 转动过刚体上任意一点并垂直于转轴的平面称 为转动平面 二、刚体的定轴转动 (Fixed-axis rotation)1. 描述刚体转动的物理量角位置和角位移与转轴垂直的固定平面称为转动平面，可有无穷多个，取其中任意一个，该转动平面与转轴的交点取为O点，x 轴为参考线刚体上任意一点P的位置，由OP的长短和与 x轴的夹角 来描述:角位置P rzxθ11P rzxθ在dt 的时间内，P点运动到 点，其角位置为：角位移角速度的方向由右手定则确定角速度 刚体在dt 时间内的角位移d 与dt 之比Pd rzxθ12角加速度 刚体在t时间内 角速度的增量 与t 之比的极 限单位：ω1 >0>0ω1 <0<013刚体作定轴转动时，所有的点都具有相同的角 速度和角加速度, 在相同的时间内有相等的角位移。

但是位移、速度和加速度却不相等一般情况下, 角速度和角加速度是矢量, 但在定 轴转动中它们的方向沿着转轴 , 可以用带正负号的标量来表示 结论:注意:14、 本来是矢量，由于在定轴转动中轴的方位不 变，故只有沿轴的正负两个方向，可以用标量代替 在刚体作匀加速转动时，相应公式如下：三、匀变速转动公式（ = 衡量）15四、刚体运动学中角量和线量的关系由定义得：例1：设圆柱型电机转子由静止经300 s后达到 18000 r/min，已知转子的角加速度 与时间成正比 ，求转子在这段时间内转过的圈数解：因角加速度 随时间而增大，设： =ct16对上式两边积分由条件知所以由角速度定义得到：转子转数：17例题2 一飞轮转速n=1500r/min，受到制动后均匀 地减速，经t=50 s后静止 （1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过的转数N；（2）求制动开始后t=25s 时飞轮的加速度 ； （3）设飞轮的半径r=1m，求在t=25s 时边缘上一点的速度和加速度角速度0vanatarO解 （1）设初角度为0方向如图所示，18量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在 t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得角速度从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转 数N 分别为19角速度（2）t=25s 时飞轮的角速度为20（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。

的方向与0相同 ；的方向垂直于 和 构成的平面，如 图所示相应的切向加速度和向心加速度分别为角速度由21边缘上该点的加速度 其中 的方向与 的方向相反， 的方向指向轴心， 的大小为的方向几乎和 相同角速度22例题3 一飞轮在时间t内转过角度＝at+bt3-ct4 , 式中a、b、c 都是常量求它的角加速度解：飞轮上某点角位置可用表示为  ＝at+bt3-ct4将此式对t求导数，即得飞轮角速度的表达式为角加速度是角速度对t的导数，因此得由此可见飞轮作的是变加速转动角速度23设刚体绕固定轴Oz以角速度 转动,各体元的质量 分别为m1 , m2 , … , mn ,各体元到转轴Oz的距 离依次是r1 , r2 , … , rn，各体元的速度分别为v1 , v2 , … , vn n 个体元绕Oz轴作圆周运动的动能 的总和为：一、刚体的转动动能 (Rotational kinetic energy )§5-2 刚体动力学单个质点的动能：注意：ri24式中 称为刚体对转轴的转动惯量 。

代入动能公式中, 得到刚体转动动能的一般表达式刚体转动动能与质点运动动能在表达形式上是 相似性的 用J 表示：刚体的平动动能与转动动能的对比？思考题： 25二、刚体的转动惯量 (Moment of inertia ) 刚体的转动惯量J与质点的质量 m 相对应 在质 点运动中, 质点的质量是质点惯性的量度 在刚体转 动中, 刚体的转动惯量是刚体转动惯性的量度若刚体的质量连续分布 , 转动惯量中的求和号用积分号代替 与转动惯量有关的因素：刚体的质量大小和分布、转轴的位置、刚体的形状261. 转动惯量的计算（1）均匀细棒（对中点和端点轴的转动惯量）将棒的中点取为坐标原点, 建立坐标系Oxy,取y 轴 为转轴在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为dxxyo27dxxyo将棒的端点取为坐标原点, 建立坐标系Oxy,取y 轴 为转轴在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为28（2）均匀圆环与圆盘对过质心的垂直轴的转动惯量均匀圆环:29圆盘:·Roxyrdr盘的质量面密度为 取半径为r、宽为 dr的圆环 如图所示，其质量为圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为30（3） 球体对通过球心的轴的转动惯量球的质量面密度为 31结论：（1） 与质量有关；（2）与转轴有关；（3）与质量分布有关；（4）与形状有关32几种常见形状的刚体的转动惯量33342. 两个定理 1. 平行轴定理式中JC 为刚体对通过质心的轴的转动惯量, m是刚 体的质量，d是两平行轴之间的距离 。

证 明：刚体上任意质量元 ， 对 轴的转动惯量为整个刚体对OZ轴的转动惯量3536根据质心坐标的表达式：在C-xy坐标系中372. 垂直轴定理 若z 轴垂直于厚度为无限小的刚体薄板板面, xy 平 面与板面重合, 则此刚体薄板对三个坐标轴的转动惯量有如下关系 证明：设薄板平面分布在xy平面内，则薄板对各轴的转动惯 量为：38例 1：一根质量为m = 1.0 kg 、长为l = 1.0 m 的 均匀细棒, 绕通过棒的中心并与棒相垂直的转轴以 角速度 = 63 rads-1 旋转, 求转动动能 解：先求细棒对转轴的 转动惯量J, 然后求转动动 能Ek 将棒的中点取为坐标原 点, 建立坐标系Oxy,取y 轴 为转轴, 如图所示在距离转轴为x 处取棒元dx, 其质量为xdxxyo39根据式(5-4), 应有 棒的转动动能为 40解：两平行轴的距离 , 代入平行轴定理，得例2：在上一例题中, 对于均匀细棒, 我们已求得对通过棒心并与棒垂直的轴的转动惯量为 求对通过棒端并与棒垂直的轴的J41·Roxy例 3：求质量为m、半径为R 的均质薄圆盘对通过盘心并处于盘面内的轴的转动惯量。

解：盘的质量分布均匀, 盘的质量面密度为 取半径为r、宽为 dr的圆环 如图所示，其质量为圆盘对Oz轴(过O点垂直于纸面)的转动惯量为rdr42根据垂直轴定理 由于对称性, , 所以解得43三、转动定理 (Theorem of rotation)对刚体定轴转动起作用的力矩是力矩沿 转轴的分量(Mz), 提 供Mz的力只是力在 xy 平面内的投影在直角坐标系中：44Fimirifii i z设刚体绕z轴以角速度转动，在刚体上任取一质量元mi，其到转轴的距离为ri，所受外力为Fi，内力为fi根据牛顿第二定律法向分量：切向分量：45根据角量与线量关系：对于整个刚体，则有：两边同乘ri:Fimirifii i z46或者写为 上式就是转动定理的数学表达式在定轴转动中,刚体相对于某转轴的转动惯量与 角加速度的乘积等于作用于刚体的外力相对同一 转轴的合力矩 Fimirifii i z47转动定理和牛顿第二定律在数学形式上是相似 的,合外力矩与合外力相对应 , 转动惯量与质量相 对应, 角加速度与加速度相对应 牛顿第二定律：转动定理：第二转动定理在定理中，当M＝0则 ＝0， 是恒量。

这说明刚体受合外力矩为0时，若刚体最初静止，则保持其静止状态；如果最初匀速转动，则保持匀速转 动状态——第一转动定理48四、力矩作的功在刚体转动中, 如果力矩的作用使刚体发生了角位 移, 那么该力矩也作了功 因为dsi = ri d, 并且cosi = sini , 所以在刚体转动中, 外力 所作的元功为mi49式中Mzi 是外力Fi 对转轴Oz的力矩 在整个刚体转过d角的过程中，n个外力所作的总功为式中 是作用于刚体的所有外力对Oz轴的力矩的代数和, 也就是作用于刚体的外力对转轴的合外力矩Mz 50如果刚体在力矩Mz 的作用下绕固定轴从位置1转 到2 , 在此过程中力矩所作的功为力矩的瞬时功率可以表示为 式中是刚体绕转轴的角速度 51五、动能定理 (theorem of kinetic energy )在t1 t2内， 由 1 2 积分：定轴转动的刚体,外力矩作的功等于刚体转动动能的增量这就是作定轴转动刚体的动能定理 52§5-1 刚体的运动小 结刚体:在任何情况下,其大小和形状都不变化的物体。

或者说物体上任意两点的相对位置保持不变平动 在刚体运动过程中, 如果刚体上的任意一条直 线始终保持平行, 这种运动就称为平动转动 在刚体运动过程中, 如果刚体上所有的点都绕同 一条直线作圆周运动,那么这种运动就称为转动这条直线称为转轴Ø 刚体的一般运动质心的平动绕质心的转动++531. 刚体的转动动能其中，2. 刚体的转动惯量与转动惯量有关的因素：刚体的质量大小和 分布、转轴的位置、刚体的形状3. 平行轴定理4. 垂直轴定理 §5-2 刚体动力学54(1) 从开始制动到停止,飞轮转过的角度；(2) 闸瓦对飞轮施加的摩擦力矩所作的功解：为了求得飞轮从制 动到停止所转过的角度 和摩擦力矩所作的功A, 必须先求得摩擦力、摩擦力矩和飞轮的角加速度 例4：一个转动惯量为2.5 kgm2 、直径为60cm 的飞轮，正以130 rads1 的角速度旋转现用闸瓦 将其制动, 如果闸瓦对飞轮的正压力为 500 N,闸瓦 与飞轮之间的摩擦系数为0.50求：d飞轮闸瓦55闸瓦。