赵凯华光学非线性光学3.pdf

非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §§3非线性极化的一般表示方法非线性极化的一般表示方法 ? 线性极化（一阶极化） ? 二阶非线性极化二阶非线性极化 倍频极化 和频极化，均为正数 差频极化为正数，为负数 (1)(1) ( )( ) ( )PEωχωω= (2)(2) , ( )(,,) () () mn mnmn m n PEE ωωω ωχω ωωωω += =− ∑ nm ωω= ωω2= nm ωω, nm ωωω+= m ω n ω nm ωωω−= 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §3非线性极化的一般表示方法§3非线性极化的一般表示方法 ? 三阶非线性极化三阶非线性极化 “随着是正数或者负数，是这些频率的各 种和、差的组合 随着是正数或者负数，是这些频率的各 种和、差的组合” ?阶非线性极化阶非线性极化 (3)(3) , , ( )(,,,) () () () mnq mnqmnq m n q PEEE ωωωω ωχω ωω ωωωω ++= =− ∑ ,, mnq ωω ω ω r 1 1212 12 ( )(3) ,,, ( )(,,,,) () ()() r mi i rr r r mmmmmm m mm PEEE ωω ωχω ωωωωωω = = ∑ =− ∑ ? ?? 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §§3非线性极化的一般表示方法非线性极化的一般表示方法 3.矢量与张量矢量与张量 光波电场是矢量 极化波场也是矢量 zEyExEEEEE zyxzyx ˆ)(ˆ)(ˆ)())(),(),(()(ωωωωωωω++== ? zPyPxPP zyx ˆ)(ˆ)(ˆ)()(ωωωω++= ? ∑ = i i iEE ˆ )()(ωω ? ∑ = i i iPP ˆ )()(ωω ? ,, , x iy z P EPix y z P ⎧ ⎪ ⇒= ⎨ ⎪ ⎩ )3, 2, 1 (,,:zyxi 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §3非线性极化的一般表示方法§3非线性极化的一般表示方法 ? 线性极化线性极化 (1) (1) 1,2,3 ( )( )( )1,2,3; ii jj j PEiωχωω = == ∑ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ = = = ∑∑ ∑ ∑ kEji iE iPP kkj ji j j ji i i ˆ )( ˆˆ )( ˆ )()( ˆ )()( )1( )1( )1( )1( ωωχ ωωχ ωω ? 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §3非线性极化的一般表示方法§3非线性极化的一般表示方法 定义张量 线性极化强度线性极化强度 (1) (1)(1)(1) 111213 (1)(1)(1) 212223 (1)(1)(1) 313233 ˆ ˆ ( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) ( )( )( ) i j j i jχ ωχω χωχωχω χωχωχω χωχωχω = ⎛⎞ ⎜⎟ = ⎜⎟ ⎜⎟ ⎝⎠ ∑ ? (1)(1) ( )( )( )PEωχωω=⋅ ? ? 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §§3非线性极化的一般表示方法非线性极化的一般表示方法 ? 二阶非线性极化二阶非线性极化 (2)(2) ,, ( )(,,)()() mn ii jkmnjmkn j km n PEE ωωω ωχω ωωωω += =− ∑ ∑ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎝ ⎛ ⋅ ⎟ ⎟ ⎠ ⎞ ⎜ ⎜ ⎝ ⎛ −= −= = ∑∑∑ ∑ ∑ ∑ ∑ =+ =+ sErEk ji iEE iPP n s sm r rnm kjinm kji nkmjnm kjinm kji i i nm nm ˆ ) ( ˆ ) ( ˆˆˆ ),,( ˆ )()(),,( ˆ )()( ,,, )2( ,,, )2( )2( )2( ωωωωωχ ωωωωωχ ωω ωωω ωωω 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §3非线性极化的一般表示方法§3非线性极化的一般表示方法 定义张量定义张量 ? 三阶非线性极化三阶非线性极化 (2)(2) , , ˆˆˆ (,,)(,,) mni jkmn i j k i jkχω ωωχω ωω−=− ∑ ? (2)(2) ( )(,,)() () mnmn PEEωχω ωωωω=−• ??? ? (3)(3) , , , ˆˆˆˆ (,,,)(,,,) mnqi jklmnq i j k l i jklχω ωω ωχω ωω ω−=− ∑ ? (3)(3) ( )(,,)() () () mnmnq PEEEωχω ωωωωω=− ???? ? ? 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §3非线性极化的一般表示方法§3非线性极化的一般表示方法 ? 张量元的数目张量元的数目 1)( )3( )2( )1( 3),,,,( 81),,,( 27),,( 9)( 21 + − − − r mmm r qnm nm r ωωωωχ ωωωωχ ωωωχ ωχ ? ? ? ? ? ? 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §§4非线性极化率张量的对称性非线性极化率张量的对称性 线性极化： 非线性极化率张量 线性极化： 非线性极化率张量: 偏振、频率偏振、频率 外加光场外加光场介质极化介质极化 极化率张量极化率张量 光场强度光场强度极化强度极化强度 1)( )3( )2( )1( 3),,,,( 81),,,( 27),,( 9)( 21 + − − − r mmm r qnm nm r ωωωωχ ωωωωχ ωωωχ ωχ ? ? ? ? ? ? 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §4非线性极化率张量的对称性§4非线性极化率张量的对称性 不同张量元之间的关系不同张量元之间的关系 1.本征置换对称性本征置换对称性 ?二阶极化率 其本质上描述的是同一个过程 二阶极化率 其本质上描述的是同一个过程 ),,,,( 2121 )( rr mmm r ωωωωχ αααα ? ? − )()(),( )2( ωωω inkmj PEE⇒ )()(),,()(),(),( )()(),,()(),(),( )2()2( )2()2( mjnkmnjkiimn nkmjnmkjiinm EEPjk EEPkj ωωωωωχωωω ωωωωωχωωω −=⇒+ −=⇒+ )54. 2(),,(),,( )2()2( mnjkinmkji ωωωχωωωχ−=− 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §4非线性极化率张量的对称性§4非线性极化率张量的对称性 ?三阶极化率三阶极化率 )()(),(),( )3( ωωωω iqlnkmj PEEE⇒ )()()(),,,()(),)(,)(,( )()()(),,,()(),)(,)(,( )()()(),,,()(),)(,)(,( )3()3( )3()3( )3()3( mjnkqlmnqilkjimnq qlmjnkqmnikjliqmn qlnkmjqnmijkliqnm EEEPjkl EEEPljk EEEPlkj ωωωωωωωχωωωω ωωωωωωωχωωωω ωωωωωωωχωωωω −=⇒ −=⇒ −=⇒ ? ),,,(),,,( )55. 2(),,,(),,,( ),,,(),,,( )3()3( )3()3( )3()3( mnqilkjnmqiljk mqnikljnqmijlk qmnikjlqnmijkl ωωωωχωωωωχ ωωωωχωωωωχ ωωωωχωωωωχ −=−= −=−= −=− 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §§4非线性极化率张量的对称性非线性极化率张量的对称性 ?阶极化率 按 阶极化率 按频率频率与与偏振偏振配对的方式进行任意的置换配对的方式进行任意的置换（r!种置换）（r!种置换） 都表示同一个物理过程与现象 其非线性极化率张量相等 都表示同一个物理过程与现象 其非线性极化率张量相等 r )()(,),(),( )( 2211 ωωωω αααα r mmm PEEE rr ⇒? ),(),(),(),(),( 21 21 rmjmimmm rji αωαωαωαωαω??? )56. 2(),,,,,,,,( ),,,,,,,,( 2121 2121 )( )( rijrij rjirji mmmmm r mmmmm r ωωωωωωχ ωωωωωωχ αααααα αααααα ??? ??? ??? ??? −= − 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §4非线性极化率张量的对称性§4非线性极化率张量的对称性 2.全置换对称性全置换对称性 当所有参与的光波频率及其和、差组合都远离介质的共 振频率时， 的置换对称性可以扩展到 当所有参与的光波频率及其和、差组合都远离介质的共 振频率时， 的置换对称性可以扩展到 （合计(r+1)!种置换） 例：二、三阶极化率例：二、三阶极化率 {}),(),)(,( 21 21 rmmm r αωαωαω? {}),(),)(,)(,( 21 21 rmmm r αωαωαωαω? 1212 1212 ( ) ( ) (,,,,,,) (,,,,,,)(2.57) irir irir r mmmm r mmmm α ααα α α α α αα χωωωωω χωωωωω − =− ?? ? ? ?? ?? )58. 2(),,(),,(),,( )2()2()2( ωωωχωωωχωωωχ−=−=− mni jkmmki jnmkji )59. 2(),,,(),,,( ),,,(),,,( )3()3( )3()3( ωωωωχωωωωχ ωωωωχωωωωχ −=−= −=− nmqljkiqmnkjil qnmjiklqnmijkl 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §§4非线性极化率张量的对称性非线性极化率张量的对称性 ?Kleinman对称性对称性 进一步，若介质非线性微观机制为电子，且在所考察的 频率范围内没有共振、耗散、色散，则其非线性极化的 色散性质可以忽略 进一步，若介质非线性微观机制为电子，且在所考察的 频率范围内没有共振、耗散、色散，则其非线性极化的 色散性质可以忽略 3.时间反演对称性时间反演对称性 真实性条件 :光场、极化强度均为实数真实性条件 :光场、极化强度均为实数 )60. 2()',', '(),,( )2()2( nmijknmijk ωωωχωωωχ−=− )(*)()(*)(ωωωωPPEE=−=− [][] [][][][] ** 2 * 1 * 21 )( 2121 )( * )( )()()(),,,,( )()()(),,,,()( 2121 2121 rr r rr rr rr rr EEE EEEP ωωωωωωωχ ωωωωωωωχω ααααααα αααααααα ?? ?? ? ? −= −= ∗ 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §§4非线性极化率张量的对称性非线性极化率张量的对称性 比较上面两个式子得 4.结构对称性（空间对称性）结构对称性（空间对称性） 介质材料在空间上的排列具有一定的对称性质：介质的 结构在一定的对称操作下是不变的，导致其非线性极化 性质表现出对称操作下得不变性。

极化率张量元之间的对称性关系（相等、相反、零） )()()(),,,,()( 2121 )()( 2121 rr rr rr EEEPωωωωωωωχω αααααααα −−−−−−=−?? ? [])61. 2(),,,,(),,,,( * 21 )( 21 )( 2121 r r r r rr ωωωωχωωωωχ αααααααα ?? ?? −=−−− 非线性极化的宏观描述非线性极化的宏观描述 §§4非线性极。