2024-2025学年云南省临沧市部分学校高二（下）期末考试数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的1.集合A={−2,−1,0,1,2}，B={x|x2+x−6<0}，则A∩B=( )A. {0,1} B. {0,1,2} C. {−2,−1,0,1} D. {−2,−1,0,1,2}2.若复数2+ai的模为 7，则实数a的值为( )A. 3 B. ±3 C. 3 D. ± 33.曲线y=x3+ax在x=1处的切线斜率为2，则a=( )A. −1 B. 1 C. 0 D. e4.已知A，B，C，D是平面中四个不同的点，则“AB=λAC−BD(λ>1)”是“A，C，D三点共线”的( )A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件5.记Sn为等比数列{an}的前n项和.若a1=15,a3a4=a5，则S4=( )A. 39 B. 156 C. 395 D. 15656.已知a≠0，函数f(x)=axa,x≥1,(2−a)x−1,x<1在R上是单调函数，则a的取值范围是( )A. (0,1) B. [12,1) C. (1,2) D. [12,2)7.若数据x1，x2，x3和数据x4，x5，x6的平均数均为x−，方差均为s2，则数据x1，x2，x3，x4，x5，x6的方差为( )A. s24 B. s2 C. 2s2 D. 4s28.若lnx+y−2>lny+x−2，则( )A. ex2>exy>1 B. exy>ex2>1 C. ex2>1>exy D. 1>ex2>exy二、多选题：本题共3小题，共18分。
在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求9.将函数f(x)=sin(x+π3)的图象向右平移π6个单位长度，得到函数g(x)的图象，则( )A. g(x)的最小正周期为2π B. g(x)是偶函数C. g(x)的图象关于直线x=−π6轴对称 D. g(x)在(−π3,π3)上单调递增10.若随机变量X∼N(6.1,0.01)，Y∼N(6.3,0.04)，则( )A. P(X<6.1)=P(Y>6.3)B. P(X>6.2)6.2)=P(Y<6.1)D. P(60,b>0)的右焦点为F，左顶点为A，过F作C的一条渐近线的垂线，垂足为P.若|PA|= 3|PO|，则C的离心率为______．14.如图，在四面体A−BCD中，AB=AD=CD=1，BC=2，AC= 2，平面ABD⊥平面BCD，则四面体A−BCD外接球的表面积为______．四、解答题：本题共5小题，共77分。
解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤15.(本小题13分)已知抛物线C：y2=2px(p>0)的焦点为F，A(4,m)(m>0)为C上一点，且|AF|=5．(1)求p；(2)若点B(−2,1)在椭圆T：x2a2+y2b2=1(a>b>0)上，且直线AB与椭圆T相切，求椭圆T的标准方程．16.(本小题15分)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin2A+cos2A=1，b=1．(1)若c=2 2，求a；(2)若△ABC为钝角三角形，求△ABC面积的取值范围．17.(本小题15分)如图，在四棱锥P−ABCD中，△ACD为正三角形，AB⊥BC，PA=AB=1，PB= 2,CD=2,PD= 5．(1)证明：PA⊥底面ABCD．(2)过点A作平面PBC的垂线，指出垂足H的位置，并求四面体ABCH的体积．(3)求二面角B−PC−D的正弦值．18.(本小题17分)小明参加答题闯关游戏，需要从A，B两个题库中各任选一个题目，并选择这两题的答题顺序.答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元.已知小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为23,12，每次回答问题是否正确相互独立．(1)规定无论是否答对第一题，都可以答下一题.已知小明第一题选择A题库的题目作答的概率为34．(i)求小明恰好获得100元奖金的概率；(ii)求小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率．(2)若规定只有答对第一题才有资格答下一题，为使得小明最后获得奖金的数学期望最大，第一题应该回答哪个题库中的题目？19.(本小题17分)(1)证明：当10．(2)若∀x∈(0,2),lnx+2x−aπcosπx2−a≥0，求a的取值范围．参考答案1.C 2.D 3.A 4.A 5.D 6.D 7.B 8.A 9.AD 10.AC 11.ABD 12.4− 26 13.2 14.5π 15.(1)因为A(4,m)(m>0)为C上一点，且|AF|=5，所以|AF|=4+p2=5，解得p=2；(2)由(1)得A(4,4)，所以直线AB的斜率k=4−14+2=12，则直线AB的方程为x−2y+4=0，联立x2a2+y2b2=1x−2y+4=0，消去x并整理得(4b2+a2)y2−16b2y+16b2−a2b2=0，此时Δ=(16b2)2−4(4b2+a2)(16b2−a2b2)=0，化简得a2+4b2=16，①因为点B(−2,1)在椭圆T上，所以4a2+1b2=1，②联立①②，解得a2=8，b2=2．则椭圆T的标准方程为x28+y22=1．16.(1)因为sin2A+cos2A=1，所以2sinAcosA+1−2sin2A=1，即sinAcosA=sin2A. 因为A∈(0,π)，sinA≠0，所以sinA=cosA，及tanA=sinAcosA=1，所以A=π4．因为b=1，c=2 2，所以由余弦定理得：a2=b2+c2−2bccosA=1+8−2×2 2cosπ4=5，所以a= 5；(2)因为b=1，A=π4，所以S△ABC=12bcsinA= 24c．由正弦定理得：c=bsinCsinB=sin(A+B)sinB=sin(π4+B)sinB=sinπ4cosB+cosπ4sinBsinB= 22tanB+ 22，因为△ABC为钝角三角形，所以π2=m⋅n|m|⋅|n|= 3 2×2= 64，所以sin= 104，即二面角B−PC−D的正弦值为 104．18.(1)(i)因为答对第一题和第二题获得的奖励分别为100元和200元，小明答对A，B两个题库中题目的概率依次为23,12，每次回答问题是否正确相互独立，若规定无论是否答对第一题，都可以答下一题，小明第一题选择A题库的题目作答的概率为34，设小明第一题选择A题库概率为34，则第一题选择B题库概率为14，当第一题选A库且答对，第二题选B库且答错，其概率为34×23×(1−12)=14，当第一题选B库且答对，第二题选A库且答错，其概率为14×12×(1−23)=124，则小明恰好获得100元奖金的概率P=14+124=724；(ii)若Ai表示第i题为A库，Bi表示第i题为B库，Ri表示第i题答对，且i=1，2，所以P(R1)=P(R1|A1)P(A1)+P(R1|B1)P(B1)=23×34+12×14=58，P(R1R2)=P(R1|A1)P(A1)P(R2|B2)+P(R1|B1)P(B1)P(R2|A2)=23×34×12+12×14×23=13，综上所述，小明在答对第一题的条件下，第二题也答对的概率P(R1R2)P(R1)=1358=815；(2)设第一题答错0元，第一题答对且第二题答错100元，第一、二题都答对300元，结合(1)中所设事件，若第一题为A，第二题为B，此时P(R1−|A1)=13，P(R1|A1)P(R2−|B2)=23×(1−12)=13，P(R1|A1)P(R2|B2)=23×12=13，泽恩期望E(X1)=0×13+100×13+300×13=4003；若第一题为B，第二题为A，此时P(R1−|B1)=12，P(R1|B1)P(R2−|A2)=12×(1−23)=16，P(R1|B1)P(R2|A2)=12×23=13，则E(X2)=0×12+100×16+300×13=3503，因为E(X1)>E(X2)，所以小明最后获得奖金的数学期望最大．则第一题选A题库中的题目．19.(1)证明：令g(x)=x2sinπx2+x−2，那么导函数g′(x)=2xsinπx2+π2x2cosπx2+1．令ℎ(x)=g′(x)，那么导函数ℎ′(x)=(。
