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建筑工程制图与识图资源￿王强￿等￿第四章　立体的投影￿￿￿￿Still￿waters￿run￿deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深￿￿￿￿Where￿there￿is￿life,￿there￿is￿hope有生命必有希望有生命必有希望第四章　立体的投影第一节　平面立体的投影第二节　曲面立体的投影第三节　立体表面交线的投影第四节　组合体的三面正投影第四章　立体的投影图4-1　建筑形体的组成第一节　平面立体的投影一、平面立体的投影　　平面立体的表面都是平面多边形，其基本形体如图4⁃2所示图4-2　平面体的基本形体1.棱柱体(1)形体特征　棱柱的各棱线互相平行，底面、顶面为多边形第一节　平面立体的投影(2)安放位置　安放形体时要考虑两个因素：一要使形体处于稳定状态，二要考虑形体的工作状况3)投影分析　图4-3b是它的两面投影图图4-3　三棱柱的投影第一节　平面立体的投影2.棱锥体(1)形体特征　底面是多边形，棱线交于一点，侧棱面均为三角形2)安放位置　底面△ABC平行于H面3)投影分析　图4-4b是三棱锥S-ABC的两面投影图图4-4　三棱锥的投影第一节　平面立体的投影图4-5　四棱台的投影解：(1)分析第一节　平面立体的投影1)四棱台的上、下底面都与H面平行，前、后两棱面为侧垂面，左、右两棱面为正垂面。

2)上、下两底面与H面平行，其水平投影反映实形；其正面、侧面投影积聚为直线4)左、右两棱面与V面垂直，其正面投影积聚为直线；与H、W面倾斜，投影为缩小的类似形5)四根斜棱线都是一般位置直线，其投影都不反映实长2)作图1)先作出正立面投影，向下“长对正”引铅垂线，向右“高平齐”引水平线2)按物体宽度作出水平投影，并向右“宽相等”引水平线至45°线第一节　平面立体的投影3)加深图形线二、平面立体表面上点和直线的投影　　平面立体的表面都是平面多边形，在其表面上取点、取线的作图问题，实质上就是平面上取点、取线作图的应用1.从属性法图4-6　三棱柱表面上定点第一节　平面立体的投影2.积聚性法解：(1)分析(2)作图1)求点m、m″:点M在棱面AA1B1B上，该平面为铅垂面2)求点n、n″:点N在棱面AA1D1D上，该棱面水平投影积聚成一条直线，点n也积聚在该直线上，可求得n、n″图4-7　四棱柱表面上定点第一节　平面立体的投影3.辅助线法解：(1)分析(2)作图1)过ef作一辅助直线122)求1′2′、1″2″:从Ⅰ点的水平投影1向上作铅直线，与s′a′交于1′；从2点向右作水平线至45°线，转向上得出2″，再向左得出2′，连接1′2′、1″2″，两投影均为可见。

3)求e′f′、e″f″:从水平投影ef向上作铅直线，得出e′f′，再向右作水平线得出e″f″，两投影均为可见第一节　平面立体的投影图4-8　三棱锥表面上定点第一节　平面立体的投影图4-9　三棱锥表面上定线第二节　曲面立体的投影一、基本概念1.曲线2.曲面图4-10　曲面及素线第二节　曲面立体的投影3.素线与轮廓线4.纬圆二、曲面立体的投影　　绘制曲面立体投影时，应首先画出它们的轴线（用点画线表示)1.圆柱体的投影(1)形体分析　圆柱体是由圆柱面和两个圆形的底面围成的2)安放位置　当圆柱体在投影面体系中的位置一经确定，它对各投影面的投影轮廓也随之确定3)投影分析　H面投影为一圆形第二节　曲面立体的投影图4-11　圆柱体的投影(4)作图步骤第二节　曲面立体的投影1)用单点长画线画出圆柱体各投影的轴线、中心线2)由直径画水平投影圆3)由“长对正”和高度作正面投影矩形4)由“高平齐、宽相等”作侧面投影矩形2.圆锥体的投影(1)形体分析　圆锥体是由圆锥面和底平面围成的2)安放位置　当圆锥体在投影面体系中的位置一经确定后，它对各投影面的投影轮廓也随之确定3)投影分析　H面投影为一圆形，圆形线框是圆锥底面和圆锥面的重合投影。

第二节　曲面立体的投影图4-12　圆锥体的投影(4)作图步骤第二节　曲面立体的投影1)用单点长画线画出圆锥体三面投影的轴线、中心线2)画出底面圆的三面投影3)依据圆锥的高度画出锥顶点S的三面正投影4)画轮廓线的三面正投影，即连接等腰三角形的腰3.圆球体的投影(1)圆球面的形成及特性　圆球面是半圆的弧线绕旋转轴旋转而成的，是一种曲线曲面，圆球面上的素线是半圆弧线2)圆球体的投影分析　如图4-13a所示，圆球体的三面投影都是大小相等的圆，是球体在三个不同方向的轮廓线的投影，其直径与球径相等3)作图步骤1)用单点长画线画出圆球体各投影的中心线第二节　曲面立体的投影2)以球的直径为直径画三个等大的圆，如图4-13b所示图4-13　圆球体的投影第二节　曲面立体的投影三、曲面立体表面上点和线的投影　　曲面立体表面上的点和线的投影作图，与在平面上取点、取线的原理一样一)圆柱面上的点和线1.圆柱面上点的投影解：(1)分析(2)作图1)求点m、m″:过m′作素线的正立面投影(可以只作出一部分)，即过m′向下引铅垂线交于圆周前半部m，此点就是所求的m点；再根据投影规则作出m″，m″点为可见点2)求点n、n″:作法与M点相同，其侧面投影不可见。

2.圆柱面上线的投影第二节　曲面立体的投影图4-14　圆柱面上取点第二节　曲面立体的投影图4-15　圆柱面上取线解：(1)分析第二节　曲面立体的投影1)圆柱的轴线垂直于侧面，其侧面投影积聚为圆，正面投影、水平投影为矩形2)线段AB是圆柱面上的一段曲线2)作图1)求出端点A和B的投影2)求曲线在轮廓线上的点C的投影3)求适当数量的中间点4)判别可见性并连线二)圆锥面上的点和线1.圆锥面上点的投影解：(1)分析第二节　曲面立体的投影1)A点在圆锥面上，一定在圆锥的一条素线上，故过A点与锥顶S相连，并延长交底面圆周于Ⅰ点，SⅠ即为圆锥面上的一条素线，求出此素线的各投影2)根据点线的从属关系，求出点的各面投影2)作图1)过a′作素线SⅠ的正立投影s′1′2)求s13)由a′求出a，由a′及a求出a″图4-16　素线法求圆锥表面上的点第二节　曲面立体的投影解：(1)分析(2)作图1)过a′作纬圆的正面投影，此投影为一直线2)画出纬圆的水平投影3)由a′求出a，由a及a′求出a″4)判别可见性，两投影均可见图4-17　纬圆法求圆锥表面上的点第二节　曲面立体的投影2.圆锥表面上线的投影解：(1)分析(2)作图1)求线段端点A、B的投影。

图4-18　圆锥表面上取线第二节　曲面立体的投影2)求侧面转向轮廓线上点C的投影c、c″，也可利用从属关系直接求出c3)段的正面投影上选取适当的点求其投影4)判别可见性三)圆球体表面上的点和线1.圆球体表面上的点图4-19　圆球体表面上取点第二节　曲面立体的投影解：(1)分析(2)作图1)过a′作纬圆的正立投影(为一直线)2)求出纬圆的水平投影3)由a′求出a，由a′及a求出a″4)判别可见性2.圆球体表面上的线解：(1)分析1)由已知条件可判断点A在球体的左前上方球面上；点B位于球体前下方的球面上，是最大侧平圆上的特殊点；点C位于球体左下方的球面上，是最大正平圆上的特殊点第二节　曲面立体的投影2)e′f′为一虚线段，说明EF是位于球体左后方的球面上，且平行于侧面的一段圆弧，E、F为一般位置点2)作图(图4-20b)：1)求a、a″:过a′作水平纬圆，利用从属关系求出a，再求出a″2)求b、b″:B点位于侧面转向轮廓线上，可直接求出b″，再求出b3)求c′、c″:C点位于正面转向轮廓线上，可直接求出c′，再求出c″4)求ef、e″f″:过e′f′作一侧平圆，求出e″f″5)判别可见性，如图4-20所示。

1)某一点在曲面上，则它一定在该曲面的素线或纬圆上2)求一点投影时，要先求出它所在的素线或纬圆的投影第二节　曲面立体的投影3)为了熟练地掌握在各种曲面上作素线或纬圆的投影，必须了解各种曲面的形成规律和特性图4-20　圆球体表面上取线第三节　立体表面交线的投影一、立体表面的截交线　　在组合体和建筑形体表面上，经常出现一些交线图4-21　圆顶房屋1)截交线的形状一般都是封闭的平面多边形或曲线第三节　立体表面交线的投影2)截交线是平面与立体表面的共有线，既在截平面上，又在立体表面上，是截平面与立体表面共有点的集合一)平面立体截交线图4-22　平面立体的截交线第三节　立体表面交线的投影(1)交点法　即先求出平面立体的棱线、底边与截平面的交点，然后将各点依次连接起来，即得截交线2)交线法　即求出平面立体的棱面、底面与截平面的交线1.棱柱上的截交线解：(1)分析图4-23　作四棱柱的截交线第三节　立体表面交线的投影(2)作图1)由于截平面为正垂面，故截交线的V面投影a′b′m′n′d′已知；截平面与顶面的交线为正垂线MN，可直接作出mn,于是截交线的H面投影abmnd也确定2)运用交点法，依据“高平齐”投影关系，作出截交线的W面投影a″b″m″n″d″。

3)四棱柱截去左上角，截交线的H和W投影均可见3)求作截断面的实形　用换面法作截断面的实形2.棱锥上的截交线解：(1)分析1)截平面P与三棱锥的三个棱面都相交，截交线是一个三角形2)截平面P是一个正垂面，其正面投影具有积聚性第三节　立体表面交线的投影3)截交线的正面投影与截平面的正面投影重合，即截交线的正面投影已确定，只需求出水平投影2)作图1)因为PV具有积聚性，所以PV与s′a′、s′b′和s′c′的交点1′、2′和3′即为空间点Ⅰ、Ⅱ和Ⅲ的正面投影2)利用从属关系，向下引铅垂线求出相应的点1、2和33)△123为截交线的水平投影图4-24　正垂面P与三棱锥S-ABC的截交线第三节　立体表面交线的投影图4-25　铅垂面与三棱锥S-ABC的截交线第三节　立体表面交线的投影解：(1)分析1)截平面Q与三棱锥的三个棱面、一个底面都相交，截交线是一个四边形2)截平面Q是一个铅垂面，其水平投影具有积聚性3)截交线的水平投影与截平面的水平投影重合，即截交线的水平投影已确定，只需求出正面投影2)作图1)因为QH具有积聚性，所以QH与ac、sa、sb和bc的交点1、2、3和4即为空间点Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ和Ⅳ的水平投影。

2)利用从属关系，向上引铅垂线求出相应的点1′、2′、3′和4′第三节　立体表面交线的投影3)连接1′2′3′4′，四边形1′2′3′4′为截交线的正面投影，线段1′2′不可见，画成虚线，线段1234为截交线的水平投影3.带缺口的平面立体的投影解：(1)分析1)从给出的V面投影可知，三棱锥的缺口是由两正垂面P和R截割三棱锥而形成的2)这些交线的端点的正面投影为已知，只需补出其余投影3)Ⅰ、Ⅱ、Ⅵ、Ⅴ点为棱线上的点，可按从属关系求出4)Ⅲ、Ⅳ点是棱面上的点，可借助辅助平面求出2)作图1)求棱线SA上Ⅰ、Ⅴ两点的水平投影和侧面投影第三节　立体表面交线的投影2)求棱线SB上Ⅱ、Ⅵ两点的水平投影和侧面投影3)求Ⅲ、Ⅳ两点的水平投影和侧面投影4)连接各点5)判别可见性图4-26　带缺口的三棱锥的投影第三节　立体表面交线的投影(二)曲面立体截交线1.圆柱上的截交线1)当截平面垂直于圆柱的轴线时，截交线为一个圆2)当截平面倾斜于圆柱的轴线时，截交线为椭圆，此椭圆的短轴平行与圆柱的底圆平面，它的长度等于圆柱的直径；椭圆长轴与短轴的交点(椭圆中心)，落在圆柱的轴线上，长轴的长度随截平面相对轴线的倾角不同而变化。

3)当截平面经过圆柱的轴线或平行于轴线时，截交线为两条素线第三节　立体表面交线的投影表4-1　圆柱面上的截交线第三节　立体表面交线的投影图4-27　正垂面与圆柱的截交线解：(1)分析第三节　立体表面交线的投影1)圆柱轴线垂直于H面，其水平投影积聚为圆2)截平面P为正垂面，与圆柱轴线斜交，交线为椭圆2)作图1)求特殊点2)求一般点3)连点4)判别可见性2.圆锥上的截交线表4-2　圆锥面上的截交线第三节　立体表面交线的投影1)当截平面垂直于圆锥的轴线时，截交线必为一个圆2)当截平面倾斜于圆锥的轴线，并与所有素线相交时，截交线必为一个椭圆3)当截平面倾斜于圆锥的轴线，但与一条素线平行时，截交线为抛物线4)当截平面平形于圆锥的轴线，或者倾斜于圆锥的轴线但与两条素线平行时，截交线必为双曲线5)当截平面通过圆锥的轴线或锥顶时，截交线必为两条素线解：(1)分析第三节　立体表面交线的投影图4-28　正垂面与圆锥的截交线1)因截平面P是正垂面，第三节　立体表面交线的投影P面与圆锥的轴线倾斜并与所有素线相交，故截交线为椭圆2)PV面与圆锥最左最右素线的交点，即为椭圆长轴的端点A、B，即椭圆长轴平行于V面，椭圆短轴C、D垂直于V面，且平分AB。

3)截交线的V面投影重合在PV上，H面投影、W面投影仍为椭圆，椭圆的长、短轴仍投影为椭圆投影的长、短轴2)作图1)求长轴端点2)求短轴端点3)求最前、最后素线与P面的交点E、F4)求一般点L、N5)连接各点并判别可见性6)求截面的实形(略)第三节　立体表面交线的投影图4-29　侧平面与圆锥的截交线解：(1)分析第三节　立体表面交线的投影1)因截平面Q与圆锥轴线平行，故截交线是双曲线(一叶)2)截交线的正面投影和水平投影都因积聚性重合于Q的同面投影3)截交线的侧面投影反映实形2)作图1)在QV与圆锥正面投影左边轮廓线的交点处，得到截交线最高点A的投影a′，进一步得到a、a″2)在QV与圆锥底面正面投影的交点处，得到截交线最低点B和C的投影b′、(c′)，进一步得到b、c、b″、c″3)用素线法求出一般点D、E的各投影4)顺次连接b″-e″-a″-d″-c″5)各面投影均可见，侧面投影反映实形3.球上的截交线第三节　立体表面交线的投影图4-30　球体上的截交线4.带缺口的曲面立体的投影第三节　立体表面交线的投影图4-31　带切口的圆柱体的投影解：(1)分析第三节　立体表面交线的投影1)根据截平面的数量、截平面与轴线的相对位置，确定截交线的形状。

2)根据截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影2)作图1)求特殊点2)求一般点解：(1)分析1)根据截平面的数量、截平面与轴线的相对位置，确定截交线的形状2)根据截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影2)作图1)求特殊点第三节　立体表面交线的投影图4-32　带缺口的圆锥体的投影2)求一般点第三节　立体表面交线的投影3)连点并判别可见性解：(1)分析1)根据截平面的数量、截平面与轴线的相对位置，确定截交线的形状2)根据截平面与投影面的相对位置，确定截交线的投影2)作图1)先作P和Q的水平投影图4-33　带切口的球体的投影第三节　立体表面交线的投影2)用同样的方法可画出p″、q″二、立体表面的相贯线　　建筑形体多是由两个或两个以上的基本形体相交组成的，两相交的立体称为相贯体，它们的表面交线称为相贯线一)直线与立体相交1)过直线作适当的辅助平面2)求出辅助平面与平面立体的截交线3)求出截交线与已知直线的交点，即为所求的贯穿点1.直线与平面立体相交(1)利用积聚性求贯穿点第三节　立体表面交线的投影解：(1)分析　图中直线EF为铅垂线，其水平投影积聚为一点e(f)，贯穿点M、N的水平投影m、n在e(f)上，又分别在棱面△SAC与底面上。

2)作图1)求贯穿点的正面投影m′、n′2)判别可见性解：(1)分析　三棱柱的三个面为铅垂面，其水平投影有积聚性，因此直线EF与三棱柱的贯穿点M、N的水平投影可直接求出，只需求出正面投影第三节　立体表面交线的投影图4-34　铅垂线与三棱锥的贯穿点第三节　立体表面交线的投影图4-35　一般位置直线与三棱柱的贯穿点(2)作图第三节　立体表面交线的投影1)求正面投影m′、n′2)判别可见性2)利用辅助平面求贯穿点解：(1)分析　图中直线KL为一般位置直线，三棱锥的三个棱面都是一般位置的平面，它们的投影都没有积聚性故采用包含直线KL作适当的辅助平面求贯穿点2)作图1)作辅助平面2)求出截交线的水平投影△123，△123与kl的交点m、n即为贯穿点M、N的水平投影3)判别可见性2.直线与曲面立体相交第三节　立体表面交线的投影(1)利用积聚性求贯穿点解：(1)分析　圆柱的轴线垂直于水平面，水平投影积聚为圆，直线AB与圆柱面的贯穿点的水平投影也积聚在这一圆周上2)作图1)求水平投影m、n2)根据点、线的从属关系，求出(m′)、n′3)判别可见性图4-36　一般位置直线与三棱锥的贯穿点第三节　立体表面交线的投影图4-37　一般位置直线与圆柱的贯穿点(3)利用辅助平面求贯穿点第三节　立体表面交线的投影图4-38　正垂线与圆锥面的贯穿点第三节　立体表面交线的投影解：(1)分析　由于直线CD的正面投影有积聚性，所以c′(d′)也是直线与圆锥面的贯穿点K和L的正面投影k′(l′)。

因此，可应用纬圆法即辅助平面法求贯穿点K和L的水平投影k和l2)作图1)求正面投影(k′)、(l′)2)求水平投影k、l3)判别可见性二)两平面立体的表面交线1)交点法2)交线法第三节　立体表面交线的投影图4-39　求两个三棱柱的相贯线解：(1)分析第三节　立体表面交线的投影1)根据相贯体的水平投影可知，直立棱柱部分贯入水平棱柱，是互贯2)因为直立棱柱垂直于H面，所以相贯线的水平投影必然积聚在该棱柱水平投影的轮廓线上2)作图1)用字母标记两棱柱各棱线的投影(这一步在初学时是不可缺少的)2)用P平面表示扩大后的AB棱面，求出它与水平棱柱的截交线△MⅠⅢ第三节　立体表面交线的投影3)用Q平面表示扩大后的BC棱面，求出它与水平棱柱的截交线△NⅡⅣ，由水平投影△n24求出正面投影△n′2′4′(或利用三棱柱ABC水平投影的积聚性，很容易找出折点Ⅰ、Ⅲ、Ⅱ、Ⅳ的水平投影1、3、2、4，利用投影关系求出1′、3′、2′、4′)4)截交线△MⅠⅢ和△NⅡⅣ必相交于B棱柱上的Ⅴ、Ⅵ两点(或利用三棱柱DEF侧面投影的积聚性，很容易找出折点Ⅴ、Ⅵ的侧面投影5″、6″，利用投影关系求出Ⅴ、Ⅵ的正面投影5′、6′)。

5)折线1′-3′-5′-4′-2′-6′-1′即为所求6)判别可见性解：(1)分析1)根据相贯体的正面投影可知，长方体整个贯入三棱锥，是全贯，应有两组相贯线第三节　立体表面交线的投影2)因为长方体的正面投影有积聚性，所以相贯线的正面投影是已知的，积聚在这个长方体正面投影的轮廓线上2)作图1)在正面上标出各贯穿点的投影2)作水平面P、Q，求出全部折点的水平投影，进一步求出其侧面投影3)连点并判别可见性图4-40　长方体和正三棱锥的相贯线第三节　立体表面交线的投影图4-41　三棱柱与三棱锥的相贯线解：(1)分析第三节　立体表面交线的投影1)此题宜用交点法2)对棱柱体，因两立体共底，棱柱的棱线E和F的两面投影与三棱锥的两面投影互相重叠，故此两棱线可能参与相交，而D棱线则不能3)对棱锥，由水平投影可知底边AB和BC与棱柱相交2)作图1)求折点2)连折点图4-42　柱头第三节　立体表面交线的投影3)判别可见性三)平面立体与曲面立体的表面交线解：(1)分析图4-43　四棱锥与圆柱的相贯线第三节　立体表面交线的投影1)根据四棱锥各棱面与曲面立体轴线的相对位置，确定相贯线的空间形状2)根据四棱锥、圆柱与投影面的相对位置确定相贯线的投影。

2)作图1)求连接点2)求特殊点3)判别可见性并连线解：(1)分析1)根据四棱柱各棱面与曲面立体轴线的相对位置，确定相贯线的空间形状第三节　立体表面交线的投影图4-44　圆锥薄壳基础的相贯线2)根据四棱柱、圆柱与投影面的相对位置确定相贯线的投影第三节　立体表面交线的投影(2)作图1)求特殊点2)求一般点3)连点4)判断可见性四)两曲面体表面的交线(1)积聚投影法　相交两曲面体，如果有一个表面投影具有积聚性，就可利用该曲面体投影的积聚性作出两曲面的一系列共有点，然后依次连成相贯线2)辅助平面法　根据三面共点原理，作辅助平面与两曲面相交，求出两辅助截交线的交点，即为相贯点解：(1)分析第三节　立体表面交线的投影图4-45　轴线正交的两圆柱体的相贯线1)根据两立体轴线的相对位置，确定相贯线的空间形状第三节　立体表面交线的投影2)根据两立体与投影面的相对位置确定相贯线的投影2)作图1)求特殊点2)求一般点3)连点并判别可见性图4-46　圆柱与圆锥的相贯线第三节　立体表面交线的投影解：(1)分析1)根据两立体轴线的相对位置，确定相贯线的空间形状2)根据两立体与投影面的相对位置确定相贯线的投影。

3)辅助平面的选择2)作图1)求特殊点① 求最低点直接在水平投影中找出两底圆的交点1、2，并作出它们的正面投影② 求最高点在水平投影中，以锥底圆心为圆心作小圆并与圆柱的水平投影圆相切，切点3就是相贯线最高点的水平投影，进一步求出3′第三节　立体表面交线的投影③ 求最右点圆柱面的最右素线与圆锥面的交点是相贯线的最右点4，过锥顶包含圆柱最右素线作铅垂面Q，交圆锥底圆于a，并依据投影关系求出4′④ 求圆锥正面轮廓线上的点5′、6′因水平投影已知，只需作出正面投影，可直接利用投影规律求出2)求一般点3)连线并判别可见性五)曲面体表面交线的特殊情况图4-47　相贯线为直线的情况第三节　立体表面交线的投影1.相贯线为直线1)两锥体共顶时，其相贯线为过锥顶的两条直素线，如图4-47a所示2)两圆柱体的轴线平行，其相贯线为平行于轴线的直线，如图4-47b所示2.相贯线为平面曲线1)两同轴回转体，其相贯线为垂直于轴线的圆2)具有公共内切球的两回转体相交时，其相贯线为平面曲线图4-48　相贯线为平面曲线的情况第三节　立体表面交线的投影三、同坡屋面交线的画法　　坡屋面是常见的一种屋面形式，一般有单坡屋面、双坡屋面和四坡屋面等，最常见的是屋檐等高的同坡屋面，即屋檐高度相等、各屋面与水平面倾角相等的屋面。

图4-49　同坡屋面第三节　立体表面交线的投影1)同坡屋面的屋檐平行时，其屋面必相交成水平的屋脊(或平脊)2)檐口线相交的相邻两个坡屋面，必相交于倾斜的斜脊或天沟3)在屋面上如果有两斜脊、两天沟或一斜脊一天沟相交于一点，则必有第三条屋脊通过该点图4-50　四坡屋面第三节　立体表面交线的投影4)当建筑物外形不是矩形时，屋面要按一个建筑整体来处理，避免出现水平天沟，如图所示图4-51　非矩形屋面解：作图步骤如下第三节　立体表面交线的投影1)先按投影规律画出屋顶的水平投影2)画V面投影3)由H面、V面投影求W面投影(略)图4-52　同坡屋面的投影第三节　立体表面交线的投影图4-53　屋面交线解：作图步骤如下第三节　立体表面交线的投影1)在屋面平面图形上经每一屋角作45°线2)作每一对檐口线(前后和左右)的中线，即屋脊线3)折线abcdef即为所求屋脊线的H面投影4)根据屋面倾角和投影规律，作出屋面的V面及W面投影第四节　组合体的三面正投影一、组合体的概念及其组成图4-54　叠加型组合体及其投影第四节　组合体的三面正投影图4-55　切割型组合体及其投影二、组合体三面投影图的画法第四节　组合体的三面正投影1.三面投影和三视图图4-56　相贯型组合体及其投影第四节　组合体的三面正投影图4-57　综合型组合体第四节　组合体的三面正投影图4-58　三视图2.组合体三面投影图的画法第四节　组合体的三面正投影(1)形体分析　如图4-59a所示为一室外台阶，把它可以看成是由边墙、台阶、边墙三大部分组成。

图4-59　台阶的形体分析1)两形体表面相交时，两表面投影之间应画出交线的投影第四节　组合体的三面正投影2)两形体的表面共面时，两表面投影之间不应画线3)两形体的表面相切时，由于光滑过渡，两表面投影之间不应画线4)两形体的表面不共面时，两表面投影之间应该有线分开图4-60　形体之间的表面连接关系第四节　组合体的三面正投影(2)投影图选择　投影图选择的原则是用较少的投影图把物体的形状完整、清楚、准确的表达出来1)确定安放位置2)选择正面投影① 应使正面投影尽量反映出形体各组成部分的形状特征及其相对位置② 应使视图上的虚线尽可能少一些③ 应合理利用图纸的幅面3)确定投影图数量3)画图步骤1)选取画图比例、确定图幅2)布图、画基准线第四节　组合体的三面正投影图4-61　台阶的画图步骤3)绘制视图的底稿第四节　组合体的三面正投影4)检查、描深图4-62　肋式杯形基础画图步骤第四节　组合体的三面正投影三、尺寸标注　　形体的视图，只能表达形体的形状及各部分的相互位置关系，但不能确定其真实大小1.基本几何体的尺寸标注图4-63　基本几何体的尺寸标注第四节　组合体的三面正投影图4-64　被切割的基本几何体及尺寸标注2.组合体的尺寸标注第四节　组合体的三面正投影(1)尺寸标注的方法　标注组合体的尺寸时，应先对物体进行形体分析，然后顺序标注出其定形尺寸、定位尺寸和总尺寸。

图4-65　肋式杯形基础的尺寸标注第四节　组合体的三面正投影1)形体分析2)标注定形尺寸3)标注定位尺寸4)标注总尺寸：肋式杯形基础的总长和总宽即底板的长3000与宽2000，不用另加标注，总高尺寸为10002)尺寸标注应注意的问题1)尺寸一般宜注写在反映形体特征的投影图上2)尺寸应尽可能标注在图形轮廓线外面，不宜与图线、文字及符号相交；但某些细部尺寸允许标注在图形内3)表达同一几何形体的定形、定位尺寸，应尽量集中标注4)尺寸线的排列要整齐5)尽量避免在虚线上标注尺寸第四节　组合体的三面正投影四、组合体投影图的识读　　投影图的识读就是根据物体投影图想象出物体的空间形状，也就是看图、读图、识图1.读图的基本知识(1)将几个投影图联系起来看图4-66　四个形体投影图的比较第四节　组合体的三面正投影图4-67　两投影图都相同的形体比较(2)有基本技能　熟练掌握基本几何体、较简单组合体的形状特征和投影特征第四节　组合体的三面正投影(3)读图时应先从特征视图入手　特征视图就是反映形体的形状特征和位置特征最多的视图4)明确投影图中封闭线框和图线的含义　投影图上一个封闭线框可能有下述几种含义，如图4-68所示。

图4-68　投影图中封闭线框和图线的含义第四节　组合体的三面正投影1)表示一个平面或曲面2)表示一个相切的组合面3)表示一个孔洞1)物体上一个具有积聚性的平面或曲面2)表示两个面的交线3)表示曲面的轮廓素线2.读图的基本方法(1)形体分析法　所谓形体分析法，就是通过对物体几个投影图的对比，先找到特征视图，然后按照视图中的每一个封闭线框都代表一个简单基本形体的投影道理，将特征视图分解成若干个封闭线框，按“三等关系”找出每一线框所对应的其他投影，并想象出形状第四节　组合体的三面正投影解：如图4-69a所示，从具有反映形体特征的正面投影和另两个投影看出，该组合体形状：下面是一个长方形四棱柱，上面是由半圆柱和四棱柱组成，中间有一圆孔将正立面图投影划分成1、2、3三个封闭线框，如图4-69a所示线框1的三面投影都是矩形，所以它是四棱柱，如图4-69b所示线框2的V投影上为半圆下为矩形，H和W投影为矩形，可见它是半圆柱和四棱柱所组成，如图4-69c所示线框3的V投影是圆，H和W投影是实、虚线组成的矩形，可判断它是个圆柱形通孔，如图4-69d所示综合起来组合体的整体形状如图4-69e所示第四节　组合体的三面正投影图4-69　组合体的投影及形体分析法(2)线面分析法　线面分析法就是以线、面的投影规律为基础，第四节　组合体的三面正投影根据形体投影的某些图线和线框，分析它们的形状和相互位置，从而想象出被它们围成的形体的整体形状。

解：根据三面投影图可以看出，挡土墙大致形状是由梯形块组成，具体形状可用线面分析法进行分析图4-70　挡土墙的投影及线面分析3.读图的步骤第四节　组合体的三面正投影解：(1)分析投影图抓住特征　如图4-71a所示，正立面图较多地反映了形体特征，因此，将该图分成Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ五个封闭线框2)对投影想形状　利用形体分析法，从线框Ⅰ的正立面图出发，找到另外两个视图的对应投影，对照其三面投影，可看出这是一四棱柱底板，如图4-71b所示3)综合起来想整体　根据各基本形体在组合体中的位置，结合线面分析，即可想象出该组合体的整体形状，如图4-71f所示图4-71　组合体投影图的识读第四节　组合体的三面正投影解：根据所给组合体的正面投影图和水平投影图的投影对应关系，可以看出该组合体是由上、中、下三部分组成它的下部为一上方下圆的直板，在其上穿一通孔；中部为两个半圆柱，紧贴在上部底面中间，其端面分别与上部端面平齐，与下部端面相接；上部原始形状是一个长方体，中央左高右低切去一三角块，前后左低右高各切去一三角块，形状如图所示图4-72　补画组合体的侧面投影第五节　建筑工程常用的曲面一、曲线二、建筑工程中常用的曲面一、曲线(一)曲线及其投影1.曲线的形成及分类(1)平面曲线　曲线上所有的点均在同一个平面内，如圆、椭圆、双曲线和抛物线等。

2)空间曲线　曲线上的点不全在同一平面内，如圆柱螺旋线等2.曲线的投影1)在一般情况下，曲线的投影仍为曲线，如图4-73a所示图4-73　曲线及其投影一、曲线3)平面曲线所在的平面与投影面平行时，曲线在该投影面上的投影反映实形，如图示4)当直线和曲线相切时，则他们的同面投影仍相切，其切点是原切点的投影二)圆1)当圆平行于投影面时，在该投影面上的投影为圆的实形2)当圆垂直于投影面时，在该投影面上的投影为直线段，长度等于圆的直径3)当圆倾斜于投影面时，在该投影面上的投影为椭圆一、曲线图4-74　圆的投影(三)圆柱螺旋线1.圆柱螺旋线的形成一、曲线图4-75　圆柱螺旋线的形成一、曲线图4-76　圆柱螺旋线的分类2.圆柱螺旋线的投影一、曲线图4-77　圆柱螺旋线的投影及展开1)用直径d作出导圆柱的投影一、曲线2)把导圆柱的底圆周(在水平投影上)和导程S(在正面投影上)分成同样多的等份(如12等份)3)在水平投影上用数字沿螺旋线方向顺次标出各分点0、1、2、…、12；圆柱螺旋线的水平投影在圆周上4)从0、1、2、…、12各点向上作铅垂联系线，与正面投影上相应的水平直线相交，得各分点相应的正面投影0′、1′、2′、…、12′。

5)用曲线板光滑地连接0′、1′、2′、…、12′各点，得一曲线，该曲线就是所作圆柱螺旋线的正面投影3.圆柱螺旋线的展开二、建筑工程中常用的曲面(一)柱面与锥面1.柱面图4-78　柱面的形成二、建筑工程中常用的曲面图4-79　柱面的表示法二、建筑工程中常用的曲面图4-80　用柱面构成的壳体建筑2.锥面二、建筑工程中常用的曲面图4-81　锥面的形成二、建筑工程中常用的曲面图4-82　锥面的表示法二、建筑工程中常用的曲面图4-83　用锥面构成的壳体建筑(二)柱状面二、建筑工程中常用的曲面图4-84　柱状面的形成二、建筑工程中常用的曲面图4-85　柱状面构成的拱门(三)锥状面二、建筑工程中常用的曲面图4-86　锥状面的形成及投影二、建筑工程中常用的曲面图4-87　锥状面构成的屋顶及其投影(四)双曲抛物面二、建筑工程中常用的曲面1.双曲抛物面图4-88　双曲抛物面的形成及其投影二、建筑工程中常用的曲面1)作出导线AB和CD的两面投影ab、a′b′和cd、c′d′，以及导平面P在H面的积聚投影PH2)将直导线若干等分(本例为六等分)3)分别连接各等分点的对应投影4)在正面投影图上作出与每个素线都相切得包络线，这是一条抛物线。

2.双曲抛物面应用实例图4-89　双曲抛物面构成的屋面二、建筑工程中常用的曲面(五)平螺旋面1.平螺旋面1)画出圆柱螺旋线及轴线的两面投影2)把圆柱螺旋线分成若干等份，图4-90a所示分成十二等份图4-90　平螺旋面的投影二、建筑工程中常用的曲面3)求出各分点的V面投影，过各分点的水平投影作水平线与轴线相交，得平螺旋面上相应素线的V面投影2.平螺旋面的应用解：(1)分析1)在螺旋楼梯的每一个踏步中，踏面为扇形，踢面为矩形，两端面是圆柱面，底面是螺旋面，如图４-９１a所示图4-91　螺旋楼梯的投影图二、建筑工程中常用的曲面2)将螺旋楼梯看成是一个踏步沿着两条圆柱螺旋线脉动上升而形成，底板的厚度可认为由底部螺旋面下降一定的高度形成3)设第一踏步的扇形踏面四个角点为A1B1C1D1，踢面为OA1B1O1；第二踏步的扇形踏面四个角点为A2B2C2D2，踢面为D1A2B2C1…(2)作图1)根据导圆柱直径d和D及高度h，作出同轴两导圆柱的两面投影，如图4-91b所示2)将内、外导圆柱在H面上的投影(分别积聚为两个圆)分为12等份，得12个扇形踏面的水平投影3)分别在内、外导圆柱的V面投影上，作出外螺旋线的正面投影o′d1′d2′d3′…及内螺旋线的正面投影o1′c1′c2′c3′…二、建筑工程中常用的曲面4)如图4-91c所示，过OO1作正平面，过D1C1作水平面，交得第一踏步，其踢面的正面投影o′a1′b1′o1′反映实形，踏面的正面投影积聚为水平线段a1′c1′，弧形内侧面的正面投影为o1′b1′c1′。

5)过点D1、C1作铅垂面，过D2、C2作水平面，交得第二踏步，其踢面的正面投影为d1′a2′b2′c1′，踏面的正面投影积聚为水平线段a2′c2′，依次类推6)将可见螺旋线段铅垂下移一个梯板厚度，描深踏步及楼梯的外轮廓，即完成作图，如图4-91d所示1.简述棱柱体、棱锥体的形体特征2.简述平面立体表面点线的投影特征及求解方法3.简述曲线、曲面、素线、轮廓线、纬圆的概念4.简述圆柱体、圆锥体、圆球体的投影特征二、建筑工程中常用的曲面5.简述曲面立体表面点线的投影特征及求解方法6.简述棱柱、棱锥的截交线的求解方法7.简述圆柱、圆锥的截交线的求解方法8.简述直线与立体贯穿点的求法9.简述平面立体相交、平面立体与曲面立体相交、曲面立体相交的交线特点和作图步骤10.简述同坡屋面的交线的特点和作图步骤11.简述组合体投影图的识读和绘制12.简述组合体投影图的尺寸标注13.简述圆、圆柱螺旋线的形成及特性14.简述柱面、锥面、柱状面、锥状面、双曲抛物面、平螺旋面的形成及绘制。