2017年河北省唐山市高三上学期期末考试数学理试题.doc

第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 已知集合 ，则 中元素的个数是（ ）A． B． C． D．2. 是虚数单位，复数满足，则（ ）A．或 B．或 C． D．3. 设向量与 的夹角为，且，则（ ）A． B． C． D． 4. 已知，则（ ）A． B． C. D．5. 《九章算术》中，将底面是直角三角形的直三棱柱称之为“堑堵”，已知某“堑堵”的三视图如图所示，则该“堑堵”的表面积为 （ ）A． B． C. D．6. 已知数列 满足 ，则“ 数列为等差数列” 是“ 数列为 等差数列” 的（ ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件7. 执行如图所示的程序框图，则输出的 （ ）A． B． C. D．8.在展开式中， 二项式系数的最大值为 ，含项的系数为，则（ ）A． B． C. D．9. 设实数满足约束条件，则的最小值为 （ ）A． B． C. D．10. 现有一半球形原料，若通过切削将该原料加工成一正方体工件，则所得工件体积与原料体积之比的最大值为 （ ）A． B． C. D．11. 已知为坐标原点，是双曲线的左焦点，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴， 过点 的直线与线段交于点，与轴交于点，直线 与轴交于点，若，则 的离心率为 （ ）A． B． C. D．12. 已知函数 ，则使得 成立的的取值范围是（ ）A． B． C. D．第Ⅱ卷（共90分）二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13. 曲线与所围成的封闭图形的面积为 ．14. 已知是等比数列，，则 ．15.设为椭圆 的左、右焦点，经过的直线交椭圆于两点，若 是面积为的等边三角形，则椭圆的方程为 ．16. 已知是函数在内的两个零点，则 ．三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17. （本小题满分12分）在中,角、、所对的边分别为、、.已知.（1）求；（2）若，求.18. （本小题满分12分）在某校举行的航天知识竞赛中，参与竞赛的文科生与理科生人数之比为，且成绩分布在，分数在以上（含）的同学获奖. 按文理科用分层抽样的方法抽取人的成绩作为样本，得到成绩的频率分布直方图（见下图）.（1）填写下面的列联表，能否有超过的把握认为“获奖与学生的文理科有关”？（2）将上述调査所得的频率视为概率，现从参赛学生中，任意抽取名学生，记“获奖”学生人数为，求的分布列及数学期望.文科生理科生合计获奖不获奖合计附表及公式：，其中19. （本小题满分12分）在四棱锥中，底面是边长为的菱形，.（1）证明：平面；（2）若，求二面角 的余弦值．20. （本小题满分12分）已知抛物线，圆.（1）若抛物线的焦点在圆上，且为 和圆 的一个交点，求；（2）若直线与抛物线和圆分别相切于点，求的最小值及相应的值．21. （本小题满分12分）已知函数.（1）求的最大值；（2）当时，函数有最小值． 记的最小值为，求函数的值域．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22. （本小题满分10分）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中，曲线，曲线为参数）， 以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（1）求曲线的极坐标方程；（2）若射线分别交于两点， 求的最大值．23. （本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲已知函数.（1）当时，解不等式；（2）若，求的取值范围．唐山市2016~2017学年高三年级理数期末试题参考答案唐山市2016—2017学年度高三年级期末考试理科数学参考答案一、 选择题：A卷：BCADB ACDBA ADB卷：BCADD ACDBA AB二、填空题：（13） （14）1 （15）＋＝1 （16）三、解答题：（17）解：（Ⅰ）由正弦定理得：2sinBcosB＝sinAcosAcosB－sinBsin2A－sinCcosA＝sinAcos(A＋B)－sinCcosA＝－sinAcosC－sinCcosA＝－sin(A＋C)＝－sinB，∵sinB≠0，∴cosB＝－，B＝． …6分（Ⅱ）由b2＝a2＋c2－2accosB，b＝a，cosB＝－得c2＋ac－6a2＝0，解得c＝2a， …10分由S△ABC＝acsinB＝a2＝2，得a＝2． …12分（18）解：（Ⅰ）文科生理科生合计获奖53540不获奖45115160合计50150200k＝＝≈4.167＞3.841，所以有超过95%的把握认为“获奖与学生的文理科有关”． …6分（Ⅱ）由表中数据可知，抽到获奖同学的概率为，将频率视为概率，所以X可取0，1，2，3，且X~B(3，)．P(X＝k)＝C×()k(1－)3－k（k＝0，1，2，3），X0123P…10分E(X)＝3×＝． …12分（19）解：（Ⅰ）证明：连接AC，则△ABC和△ACD都是正三角形．取BC中点E，连接AE，PE，因为E为BC的中点，所以在△ABC中，BC⊥AE，因为PB＝PC，所以BC⊥PE，又因为PE∩AE＝E，所以BC⊥平面PAE，又PAÌ平面PAE，所以BC⊥PA．同理CD⊥PA，又因为BC∩CD＝C，所以PA⊥平面ABCD． …6（Ⅱ）如图，以A为原点，建立空间直角坐标系A-xyz，则B(，－1，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)，＝(0，2，－2)，＝(－，3，0)，设平面PBD的法向量为m＝(x，y，z)，则cosám，nñ＝＝，所以二面角A-PD-B的余弦值是． …12分（20）解：（Ⅰ）由题意得F(1，0)，从而有C：x2＝4y．解方程组，得yA＝－2，所以|AF|＝－1． …5分（Ⅱ）设M(x0，y0)，则切线l：y＝(x－x0)＋y0，整理得x0x－py－py0＝0． …6分由|ON|＝1得|py0|＝＝，所以p＝且y－1＞0， …8分所以|MN|2＝|OM|2－1＝x＋y－1＝2py0＋y－1＝＋y－1＝4＋＋(y－1)≥8，当且仅当y0＝时等号成立，所以|MN|的最小值为2，此时p＝． …12分（21）解：（Ⅰ）f′(x)＝（x＞0），当x∈(0，e)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减，所以当x＝e时，f(x)取得最大值f(e)＝． …4分（Ⅱ）g′(x)＝lnx－ax＝x(－a)，由（Ⅰ）及x∈(0，e]得：①当a＝时，－a≤0，g′(x)≤0，g(x)单调递减，当x＝e时，g(x)取得最小值g(e)＝h(a)＝－． …6分②当a∈[0，)，f(1)＝0≤a，f(e)＝＞a，所以存在t∈[1，e)，g′(t)＝0且lnt＝at，当x∈(0，t)时，g′(x)＜0，g(x)单调递减，当x∈(t，e]时，g′(x)＞0，g(x)单调递增，所以g(x)的最小值为g(t)＝h(a)． …9分令h(a)＝G(t)＝－t，因为G′(t)＝＜0，所以G(t)在[1，e)单调递减，此时G(t)∈(－，－1]．综上，h(a)∈[－，－1]． …12分（22）解：（Ⅰ）C1：ρ(cosθ＋sinθ)＝4，C2的普通方程为(x－1)2＋y2＝1，所以ρ＝2cosθ． …4分（Ⅱ）设A(ρ1，α)，B(ρ2，α)，－＜α＜，则ρ1＝，ρ2＝2cosα， …6分＝＝×2cosα(cosα＋sinα)＝(cos2α＋sin2α＋1)＝[cos(2α－)＋1]， …8分当α＝时，取得最大值(＋1)． …10分（23）解：（Ⅰ）f(x)＝2|x－1|＋|x－2|＝所以，f(x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，又f(0)＝f()＝4，故f(x)≤4的解集为{x|0≤x≤}． …4分（Ⅱ）①若a＞1，f(x)＝(a－1)|x－1|＋|x－1|＋|x－a|≥a－1，当且仅当x＝1时，取等号，故只需a－1≥1，得a≥2． …6分②若a＝1，f(x)＝2|x－1|，f(1)＝0＜1，不合题意． …7分③若0＜a＜1，f(x)＝a|x－1|＋a|x－a|＋(1－a)|x－a|≥a(1－a)，当且仅当x＝a时，取等号，故只需a(1－a)≥1，这与0＜a＜1矛盾． …9分综上所述，a的取值范围是[2，＋∞)． …10分解法2f(x)≥1Þf(1)＝|1－a|≥1且a＞0，解得a≥2. …6分当a≥2时，f(x)＝a|x－1|＋|x－a|＝所以，f(x)在（－∞,1]上递减，在[1，＋∞）上递增，则f(x)≥f(1)． …8分f(x)≥1Ûf(1)＝a－1≥1，解得a≥2．综上所述，a的取值范围是[2，＋∞)． …10。