中学高中数学抽象函数、复合函数综合练习试题.doc

抽象函数专题训练1 线性函数型抽象函数【例题1】已知函数对任意实数，均有，且当时，求在区间上的值域 【例题2】已知函数对任意实数，均有，且当时，求不等式的解2 指数函数型抽象函数【例题3】已知函数定义域为R，满足条件：存在，使得对任何和，成立 求：（1）(2) 对任意值,判断值的正负例题4】是否存在函数满足下列三个条件：①②③同时成立 若存在，求出的解析式，若不存在，说明理由3 对数函数型抽象函数【例题5】设定义在上的单调增函数，满足， 求：（1）(2) 若求的取值范围4 三角函数型抽象函数【例题6】已知函数的定义域关于原点对称，且满足下列三个条件：①当是其定义域中的数时，有②（，是定义域中的一个数）③当时，试问：（1） 的奇偶性如何？说明理由2） 在上，的单调性如何？说明理由5 幂函数型抽象函数【例题7】已知函数对任意实数，均有，且当时，.(1) 判断的奇偶性；(2) 判断在的单调性，并给出证明；(3) 若，且，求的取值范围练习：2010省市部分试题1.（上海十四校联考）已知上的函数，且都有下列两式成立：的值为 答案 12．已知是定义在R上的不恒为零的函数，且对于任意实数、满足：，，，（），考察下列结论，①；②为偶函数；③数列为等差数列；④数列为等比数列，其中正确的是_______（填序号）答案 ①③④3.（岳阳联考题）若是定义在上的函数，对任意的实数，都有 和且，则的值是（ ） A．2008 B．2009 C．2010 D．2011 答案 C4．(成都市石室中学高三三诊模拟)定义在[0，1]上的函数满足，且当时，等于 （ C ） A． B． C． D．5.（安徽两地三校联考）定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。

解 （1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0 ∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则 f(0)=f(x)f(-x) ∴由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1)>0，x2-x1>0 ∴ ∴f(x2)>f(x1) ∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0 ∴ 0

例1. 设函数的定义域为（0，1），则函数的定义域为_____________解析：函数的定义域为（0，1）即，所以的作用范围为（0，1）又f对lnx作用，作用范围不变，所以解得，故函数的定义域为（1，e）例2. 若函数，则函数的定义域为______________解析：先求f的作用范围，由，知即f的作用范围为，又f对f(x)作用所以，即中x应满足即，解得故函数的定义域为（2）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，所以f的作用范围为E，又f对x作用，作用范围不变，所以为的定义域例3. 已知的定义域为，则函数的定义域为_________解析：的定义域为，即，由此得所以f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以即函数的定义域为例4. 已知，则函数的定义域为______________解析：先求f的作用范围，由，知解得，f的作用范围为，又f对x作用，作用范围不变，所以，即的定义域为（3）、已知的定义域，求的定义域思路：设的定义域为D，即，由此得，的作用范围为E，又f对作用，作用范围不变，所以，解得，F为的定义域例5. 若函数的定义域为，则的定义域为____________。

解析：的定义域为，即，由此得的作用范围为又f对作用，所以，解得即的定义域为评注：函数定义域是自变量x的取值范围（用集合或区间表示）f对谁作用，则谁的范围是f的作用范围，f的作用对象可以变，但f的作用范围不会变利用这种理念求此类定义域问题会有“得来全不费功夫”的感觉，值得大家探讨二）同步练习：1、 已知函数的定义域为，求函数的定义域答案：2、 已知函数的定义域为，求的定义域答案：3、 已知函数的定义域为，求的定义域答案：4、设，则的定义域为（ ） A. B. C. D. 解：选C.由得，的定义域为故，解得故的定义域为5、已知函数的定义域为，求的定义域［解析］由已知，有（1）当时，定义域为；（2）当，即时，有，定义域为；（3）当，即时，有，定义域为.故当时，定义域为；当时，定义域为［点评］对于含有参数的函数，求其定义域，必须对字母进行讨论，要注意思考讨论字母的方法三、复合函数单调性问题（1）引理证明已知函数.若在区间 ）上是减函数，其值域为(c，d)，又函数在区间(c,d)上是减函数，那么，原复合函数在区间 ）上是增函数.证明：在区间）内任取两个数，使因为在区间）上是减函数，所以,记, 即因为函数在区间(c,d)上是减函数，所以,即，故函数在区间）上是增函数.（2）．复合函数单调性的判断复合函数的单调性是由两个函数共同决定。

为了记忆方便，我们把它们总结成一个图表：增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘增 ↗减 ↘减 ↘增 ↗以上规律还可总结为：“同向得增，异向得减”或“同增异减”.（3）、复合函数的单调性判断步骤：ⅰ   确定函数的定义域； ⅱ   将复合函数分解成两个简单函数：与ⅲ   分别确定分解成的两个函数的单调性；ⅳ   若两个函数在对应的区间上的单调性相同（即都是增函数，或都是减函数），则复合后的函数为增函数；  若两个函数在对应的区间上的单调性相异（即一个是增函数，而另一个是减函数），则复合后的函数为减函数4）例题演练例1、 求函数的单调区间，并用单调定义给予证明解：定义域 单调减区间是 设 则 =∵ ∴ ∴> 又底数 ∴ 即 ∴在上是减函数同理可证：在上是增函数［例］2、讨论函数的单调性.［解］由得函数的定义域为则当时，若，∵为增函数，∴为增函数.若，∵为减函数.∴为减函数当时，若，则为减函数，若，则为增函数.例3、.已知y=(2-)在［0，1］上是x的减函数，求a的取值范围.解：∵a＞0且a≠1当a＞1时，函数t=2->0是减函数由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是增函数，∴a＞1由x［0，1］时，2-2-a＞0,得a＜2,∴1＜a＜2当00是增函数由y= (2-)在［0，1］上x的减函数，知y=t是减函数，∴0

［解析］由已知，得，其中 ∴即，解得∵为负整数，∴∴，即 ，∴假设存在实数，使得满足条件，设，∴∵，当时，为减函数，∴，∴∵,∴,∴,∴ ①当时, 增函数,∴∵,∴,∴. ②由①、②可知，故存在（5）同步练习：1．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）A．（－∞，1） B．（2，＋∞）C．（－∞，） D．（，＋∞）解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．答案：B2找出下列函数的单调区间.（1）；（2）答案：(1)在上是增函数，在上是减函数2）单调增区间是，减区间是3、讨论的单调性答案：时为增函数，时，为增函数4．求函数y＝（x2－5x＋4）的定义域、值域和单调区间．解：由（x）＝x2－5x＋4＞0，解得x＞4或x＜1，所以x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），当x∈（－∞，1）∪（4，＋∞），｛｜＝x2－5x＋4｝＝R＋，所以函数的值域是R＋．因为函数y＝（x2－5x＋4）是由y＝（x）与（x）＝x2－5x＋4复合而成，函数y＝（x）在其定义域上是单调递减的，函数（x）＝x2－5x＋4在（－∞，）上为减函数，在［，＋∞］上为增函数．考虑到函数的定义域及复合函数单调性，y＝（x2－5x＋4）的增区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4也为减函数的区间，即（－∞，1）；y＝（x2－5x＋4）的减区间是定义域内使y＝（x）为减函数、（x）＝x2－5x＋4为增函数的区间，即（4，＋∞）．变式练习　　一、选择题　　1．函数f（x）＝的定义域是（　　）　　 A．（1，＋∞） B．（2，＋∞）　　 C．（－∞，2） D．　　解析：要保证真数大于0，还要保证偶次根式下的式子大于等于0，　　所以解得1＜x≤2．　　答案：D　　2．函数y＝（x2－3x＋2）的单调递减区间是（　　）　　 A．（－∞，1） B．（2，＋∞）　　 C．（－∞，） D．（，＋∞）　　解析：先求函数定义域为（－o，1）∪（2，＋∞），令t（x）＝x2＋3x＋2，函数t（x）在（－∞，1）上单调递减，在（2，＋∞）上单调递增，根据复合函数同增异减的原则，函数y＝（x2－3x＋2）在（2，＋∞）上单调递减．　　答案：B　　3．若2（x－2y）＝x＋y，则的值为（　　）　　 A．4 B．1或　　 C．1或4 D．　　错解：由2（x－2y）＝x＋y，得（x－2y）2＝xy，解得x＝4y或x＝y，则有＝或＝1．　　答案：选B　　正解：上述解。