初中数学奥林匹克中的几何问题：第6章西姆松定理及应用初中数学.doc

第六章西姆松定理及应用第六章西姆松定理及应用【基础知识】 西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足点共线（此线常 称为西姆松线） ． 证明如图 6-1，设为的外接圆上任一点，从向三边，，所在直线作垂线，垂足PABC△PBCCAAB 分别为，，．连，，由，，，四点共圆，有LMNPAPCPNAMβαγ β LMAPBNC图6-1．PMNPANPABPCBPCL     又，，，四点共圆，有．PMCLPMLPCL  故，即，，三点共线．PMNPML LNM 注 此定理有许多证法．例如，如下证法：如图 6-1，连，令，，，则PBPBCPCB PCM，，，且，，，PAMPANPBNcosBLPBcosLCPCcosCMPC，，．对，有cosMAPAcosANPAcosNBPBABC△．故由梅涅劳斯定理之逆定理，知，，三coscoscos1coscoscosBL CMANPBPCPA LCMANBPCPAPB LNM点共线． 西姆松定理还可运用托勒密定理、张角定理、斯特瓦尔特定理来证（略） ． 西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在此三角形的外接圆上． 证明如图 6-1，设点在的三边，，所在直线上的射影分别为，，，且此PABC△BCCAABLMN 三点共线．由于，于，于，知，，，及，，，PNABNPMACMPLBCLPBLNPNA 分别四点共圆，而与相交于，则，从而，，，MABLMNPBCPBLPNMPAM   PBC 四点共圆，即点在的外接圆上．APABC△ 【典型例题与基本方法】 1．找到或作出三角形外接圆上一点在三边上的射影，是应用西姆松定理的关键例 1 如图 6-2，过正外接圆的上点作直线于，作于，作ABC△»ACPPD ABDPEACE于．求证：．PFBCF111 PFPDPEPEFABCD图6-2证明由直线于，于，于，知，，，及，，，PD ABDPEACEPFBCFAEPDEFC 分别四点共圆，则，．P60DPEBAE  60EPFECF  由西姆松定理，知，，三点共线，从而以为视点，对应用张角定理，DEFPPDF△有，即，故．sinsinsinDPFDPEEPF PEPFPDsin120sin60sin60 PEPFPD111 PFPDPE例 2 如图 6-3，设，，为的三条高线，自点作于，于，ADBECFABC△DDPABPDQBEQ于，于，连．求证：，在直线上．DRCFRDSACSPSQRPSQHESRABDCPF图6-3证明由于的外接圆为，而为该圆上一点，且在三边所在直线上的射影分BFH△BDHFeDDBFH△别为，，，于是，由西姆松定理知，，三点共线．PQRPQR同理，可证，，是的西姆线上三点．QRSHEC△由于直线与直线有两个公共点，，所以这两直线重合，故，在直线上．PQRQRSQRQRPS例 3 如图，设为外接圆上一点，作交圆周于，作直线交圆周于64PABC△PABC APB AC ，作交圆周于．求证：．BPCAB CAABBCC∥∥LMPN ABC C'B'A'图6-4证明设于，上直线于，于，则由西姆松定理知，，三点共PABC LPBACNPCAB MLMN 线．注意到，，，及，，，分别四点共圆，连，则LBPMABPABP ，于是．AMNBMLBPLBPABAA    AALN∥同样，注意到，，，及，，，分别四点共圆，连，则ABPBAMPNPA ，于是．ABBAPBAPNAMN   BBLN∥由，，，四点共圆，知．注意到，APCC180ACCAPC APCAPMANMCNM    则，于是，故． 180ACCCNM CCLM∥AABBCC∥∥例 4 如图 6-5，设为外接圆上内一点，过作于，作直线于，PABC△»BCPPD BCDPF ABF设为的垂心．延长至，使．求证：． （1979 年山西省竞赛题改HABC△PDPPDP DHPDF∥编）MA'HP'PAB CDFEH'图6-5证明连并延长交于，交圆于，则由，知．AHBCAHHCBBAHBCH  HAA H 又由已知，且，连，则知与关于对称，从PPBC P DDPPHPHP HBC 而．PH HP HH  由于从点已向的两边所在直线，引了垂线，，再过点向边所在直线作PABC△ABBCPFPDPAC 垂线，垂足为，则由西姆松定理，知，，三点共线，设西姆松线与交于．此PEEFDEEFHAM 时，又由，，，四点共圆，有．PCEDCPECDE  在中，与互余；在中，与互余．故RtPCE△CPEPCERtMDA△A DMCDE DMA ，由此即知，故．DMAPCEPCAPH HP HH    HPEF∥HPDF∥例 5 如图，设为外接圆上一点，过点分别作于，作直线于，66PABC△PPLBCLPN ABN 直线交边上的高线于，设为的垂心．求证：．LNBCKHABC△PKLH∥FPMHS QBDGLCAK图6-6N证明由于从点引了的边，所在直线的垂线，再过点作于，则由西姆PABC△BCBAPPMACM 松定理，知，，三点共直线，即，，，四点共线．LMNLMNK设边上的高线为，延长交圆于，连交于，交西姆松线于，连交西BCADADFPFBCGNLQPH姆松线于．NLS 由，，，四点共圆及，，，共圆，连，则，PCLMAFCPPCMLPMCPAFPLPF   从而，即为的斜边的中点．连，由，知QPQLQRtPLG△PGHGDFCABCDHC  ，有，从而，即是的中位线，亦即HDDFHGDDGFLGPQLG   HGML∥SQPHG△．HSSP又，有及，于是，即有，亦即四边PLKH∥LPSKHS PSLHSK PSLHSK△△≌PL KH∥形为平行四边形，故．PKHLPKLH∥ 注由此例可得，三角形外接圆周上一点与垂心的连线段，被关于点的西姆松线所平分，这PHPHP 是西姆松线的一条重要性质． 2．注意发现四点共圆与三点共线的联系，灵活应用西姆松定理及其逆定理 例 6 如图，延长凸四边形的边，交于，延长，交于．试证：67ABCDABDCEADBCF ，，，的四个外接圆共点．BCE△CDF△ADE△ABF△EMP RSDBCA图6-7FQ证明设与的两个外接圆除交于点外，另一交点为．设点在直线，，BCE△CDF△CMMBEEC上的射影分别为，，，则由西姆松定理，知，，三点共线．BCPQRPQR同样，点在直线，，上的射影，，也三点共线，故，，，四点共线．MDCCFDFQRSPQRS在中，在上，在上，在边所在直线上，且，，三点共线，则由西姆ADE△PAEQDESADPQS松定理的逆定理，知点在的外接圆上．MADE△ 在中，在直线上，在上，在上，且，，三点共线，由西姆松定理的ABF△PABRBFSAFPRS 逆定理，知点在的外接圆上．MABF△ 故，，，的四个外接圆共点．BCE△CDF△ADE△ABF△ 注此例题的结论实际为宪全四边形的四个三角形、、、的外ABECFDAED△BEC△CFD△ABF△接圆共点，此点称为密克尔()点，直线称为完全四边形的西姆松线．MiquelPQRS【解题思维策略分析】 1．证明点共线的又一工具例 7 如图，设为四边形外接圆上任一点，点在直线，，，，上68P1234A A A AP12A A23A A34A A41A A的射影分别为，，，，又点在直线，，，上的射影分别为，，1B2B3B4BP12B B23B B34B B41B B1C2C，．求证：，，，共线．3C4C1C2C3C4CQPB1 B4B3B2C4C3C2C1A2A3A4A1图6-8证明连，过作的垂线，垂足为．从而，点关于的西姆松线为同样，点13A AP13A AQP123A A A△12B B Q关于的西姆松线为．P134A A A△34B QB由，知点在的外接圆上，由西姆松定理，知点在三边14111AB PAQPAB P  P14QB B△P14QB B△上的垂足，，共线．1C3C4C同理，，，三点也共线．1C2C4C故，，，四点共线（此直线称为点圆内接四边形关于的西姆松线） ．1C2C3C4CP1234A A A A2．注意西姆松线在转化问题中的媒介作用 例 8 如图，设为外接圆周上任一点，点关于边，所在直线的对称点分别为69PABC△PBCAC，．求证：直线经过的垂心．1P2P12PPABC△HP2P1BHLCP图6-9N证明由于，分别为点关于直线，的对称点，设交直线于，变直线于1P2PPBCAC1PPBCL2PPAC，则，分别为点在的边，所在直线上的射影，且，分别为线段，NLMPABC△BCCALN1PP的中点．2PP由西姆松定理，知为西姆松线，此时．LN2LNPP∥又由前面例 5 知，当为的垂心时，直线平分线段．于是，可知点在直线上，HABC△LNPHH12PP即直线经过点．12PPH例 9 如图，一条直线与圆心为的圆不相交，是 上一点，，是 上任意异于610LOElOElMl 的点，从作的两条切线分别切圆于和，是上的点，使得，是上EMOeABCMAECMADMB 的点，使得，直线交于．求证：点的位置不依赖于的位置．EDMBCDOEFFM （预选题）IMO35图6-1032O1BQGADNMClE证明令，的半径为，连结，，，，，，设交于，交OEaOeREAEBOAOBOMABABOMG于，则，，，．OEQOAMAOBMBOM AB由射影定理，得，又由，，，四点共圆，有，2OG OMOBMEQG22OQ OEOG OMOBR从而知，由，有，2ROQa2OBOQ OEOEBOBQ△∽△既有，即．由此得BEOOBQBAO  123    ，故，，，四点共圆．(901)903180MEBMAB  （）ABEM作交的延长线于，由西姆松定理，知，，，四点共线．注意到，ENABABNCDFNA ，，与，，，均四点共圆，有又由，有NECAOEMENFEAMEOM  ENOM∥ ，故．ENFNEF ENFNEF 在中，由上推知为的中点，因此，．故的位置不RtNEQ△FEQ2211===222aREFEQOEOQaF依赖于的位置．M 例 10 已知锐角，是过点的高线，是边的中点，过的直线分别与、交于ABC△CDCMABMCACB 点、，且．若的外心为，证明：．KLCKCLCKL△SSDSM (2003 年波兰奥林匹克题) 证明如图 6-11，作的外接圆，延长交于点，联结，作于点，ABC△CSABCeTTMTKAC K于点．TLBCL图6-11L'LSDB MAK'KC注意到为的外心，且，所以为的平分线．于是为弧的中点．SKLC△KCLCCSKCLT»AB 又为的中点，则．由西姆松定理，知、、三点共线．MABTMABKML又是的角平分线，且、、三点共线，则．即直线是过与CTK CLKLMCKCLK MLM 垂直的直线，又直线也是过与垂直的直线，从而与重合，与重合．即CTKMLMCSKKLL ，亦即知、、、四点共圆．故为四边形的外接圆圆心，即有90CKTCLT CKTLSCKTL ，于是为的中点．又，则．故．SCSTSTCCDABCDMT∥SMSD 3．注意西姆松线性质的应用 三角形外接圆上一点。