《线性代数》教学课件—chap6.pptx

实对称矩阵的应用实对称矩阵的应用曲面方程的化简问题曲面方程的化简问题1、实二次型的基本概念及其标准形一、基本概念称之为称之为n n元元二次型二次型.例如例如例如例如都为二次型；都为二次型；都为二次型；都为二次型；只讨论实二只讨论实二只讨论实二只讨论实二次型次型次型次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型只含有平方项的二次型称为二次型的称为二次型的称为二次型的称为二次型的标准形标准形标准形标准形定义定义定义定义定义定义 形如形如形如形如 的二次标准型称为的二次标准型称为的二次标准型称为的二次标准型称为规范标准形规范标准形规范标准形规范标准形注：特殊二次型（注：特殊二次型（标准形）标准形）(1)(1)(1)(1)用和号表示用和号表示用和号表示用和号表示对二次型对二次型对二次型对二次型2 2、二次型的表示方法、二次型的表示方法(2)(2)(2)(2)用矩阵表示用矩阵表示用矩阵表示用矩阵表示3 3、二次型的矩阵及秩、二次型的矩阵及秩在二次型的矩阵表示中，任给一个实二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个实二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个实二次型，在二次型的矩阵表示中，任给一个实二次型，就唯一地确定一个实对称矩阵；反之，任给一个实就唯一地确定一个实对称矩阵；反之，任给一个实就唯一地确定一个实对称矩阵；反之，任给一个实就唯一地确定一个实对称矩阵；反之，任给一个实对称矩阵，也可唯一地确定一个实二次型对称矩阵，也可唯一地确定一个实二次型对称矩阵，也可唯一地确定一个实二次型对称矩阵，也可唯一地确定一个实二次型这样，实二次型与实对称矩阵之间存在这样，实二次型与实对称矩阵之间存在这样，实二次型与实对称矩阵之间存在这样，实二次型与实对称矩阵之间存在一一一一一一一一对应对应对应对应的的的的关系关系关系关系标准二次形的矩阵表示：标准二次形的矩阵表示：标准二次形的矩阵表示：标准二次形的矩阵表示：规范标准二次型规范标准二次型规范标准二次型规范标准二次型的矩阵表示：的矩阵表示：的矩阵表示：的矩阵表示：例例例例2例、写出下矩阵对应的实二次型例、写出下矩阵对应的实二次型设设1.1.1.1.定义：定义：定义：定义：，若，若，若，若C C可逆可逆可逆可逆，称为称为称为称为非奇异线性变换；非奇异线性变换；非奇异线性变换；非奇异线性变换；进一步，若进一步，若C C 是是正交正交的，的，称为称为正交线性变换正交线性变换，二二二二、二次型的非奇异（可逆）线性变换、二次型的非奇异（可逆）线性变换、二次型的非奇异（可逆）线性变换、二次型的非奇异（可逆）线性变换线性变换线性变换线性变换线性变换B与与A的这种关系称的这种关系称为为合同关系合同关系说明：二次型说明：二次型 f 经经可逆可逆可逆可逆线性变换线性变换线性变换线性变换 X=CYX=CY后后后后,其秩不变；其秩不变；其秩不变；其秩不变；但原来关于但原来关于但原来关于但原来关于X X 的二次型的矩阵为的二次型的矩阵为的二次型的矩阵为的二次型的矩阵为 A,A,变换后为变换后为变换后为变换后为 Y Y的二次型的二次型的二次型的二次型，其矩阵变为其矩阵变为其矩阵变为其矩阵变为 B B ，而且，而且，而且，而且 注：合同是对任何注：合同是对任何注：合同是对任何注：合同是对任何方阵而言，不是对方阵而言，不是对方阵而言，不是对方阵而言，不是对对称阵的对称阵的对称阵的对称阵的2.2.定义定义定义定义 对于方阵对于方阵对于方阵对于方阵A A、B B，若存在可逆阵，若存在可逆阵，若存在可逆阵，若存在可逆阵C C使得使得使得使得，称矩阵，称矩阵，称矩阵，称矩阵 A A 与与与与 B B 合同。

合同具有：（具有：（具有：（具有：（1 1）反身反身反身反身性（性（性（性（2 2）对称性对称性对称性对称性 （3 3）传递性三、化二次型为标准二次型三、化二次型为标准二次型三、化二次型为标准二次型三、化二次型为标准二次型-二次型的主要问题二次型的主要问题二次型的主要问题二次型的主要问题我们讨论的我们讨论的我们讨论的我们讨论的主要问题主要问题主要问题主要问题是：寻求是：寻求是：寻求是：寻求可逆可逆可逆可逆的线性变换的线性变换的线性变换的线性变换，将，将，将，将其其其其化为化为化为化为标准形标准形标准形标准形对于二次型，对于二次型，对于二次型，对于二次型，一定存在一定存在一定存在一定存在正交正交正交正交线性变换线性变换线性变换线性变换 X=CY,X=CY,将其将其将其将其化为化为化为化为标准形标准形标准形标准形定理定理定理定理 任意二次型，任意二次型，任意二次型，任意二次型，即，即，即，即，1 1、正交、正交、正交、正交代换法化二次型为标准型代换法化二次型为标准型代换法化二次型为标准型代换法化二次型为标准型由于对任意实对称矩阵由于对任意实对称矩阵由于对任意实对称矩阵由于对任意实对称矩阵A A，总存在正交阵，总存在正交阵，总存在正交阵，总存在正交阵P P，使，使，使，使把此结论应用于二次型，有把此结论应用于二次型，有把此结论应用于二次型，有把此结论应用于二次型，有即即即即其中，其中，其中，其中，是是是是A A 的特征值的特征值的特征值的特征值用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤用正交变换化二次型为标准形的具体步骤解解1 1 1 1写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值写出对应的二次型矩阵，并求其特征值例例例例 把二次型把二次型把二次型把二次型通过正交变通过正交变通过正交变通过正交变 换换换换X X=P=PY Y 化为化为化为化为标准型标准型标准型标准型.从而得特征值从而得特征值从而得特征值从而得特征值2 2求特征向量求特征向量3 3将特征向量正交化将特征向量正交化得正交向量组得正交向量组得正交向量组得正交向量组的特征向量为的特征向量为的特征向量为的特征向量为:的特征向量为的特征向量为的特征向量为的特征向量为:4 4 4 4将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵将正交向量组单位化，得正交矩阵得得得得于是所求正交变换为于是所求正交变换为于是所求正交变换为于是所求正交变换为解解:二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：二次型的矩阵为：它它它它的的的的特征多项式为：特征多项式为：特征多项式为：特征多项式为：例例例例 求正交线性变换求正交线性变换求正交线性变换求正交线性变换 X X=PYPY 把二次型把二次型把二次型把二次型化为标准型化为标准型化为标准型化为标准型时，解时，解时，解时，解例例例例 把下述二次曲面方程化成标准方程，写出变换公式，并指出它是把下述二次曲面方程化成标准方程，写出变换公式，并指出它是把下述二次曲面方程化成标准方程，写出变换公式，并指出它是把下述二次曲面方程化成标准方程，写出变换公式，并指出它是什么二次曲面？什么二次曲面？什么二次曲面？什么二次曲面？解：此方程的二次项部分解：此方程的二次项部分解：此方程的二次项部分解：此方程的二次项部分解解例例1 1含有平方项含有平方项去掉配方后多出来的项去掉配方后多出来的项 2 2、用、用、用、用配方法化二次型为标准型配方法化二次型为标准型配方法化二次型为标准型配方法化二次型为标准型仅用例子说明仅用例子说明仅用例子说明仅用例子说明解解例例2 2由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以由于所给二次型中无平方项，所以再配方，得再配方，得再配方，得再配方，得所用变换矩阵为所用变换矩阵为所用变换矩阵为所用变换矩阵为注：对注：对所以：所以：二次型的标准型不唯一，配方法得到的标准型中的系数不二次型的标准型不唯一，配方法得到的标准型中的系数不二次型的标准型不唯一，配方法得到的标准型中的系数不二次型的标准型不唯一，配方法得到的标准型中的系数不必为二次型的矩阵的特征值，它与所作的非退化线性变换有关必为二次型的矩阵的特征值，它与所作的非退化线性变换有关必为二次型的矩阵的特征值，它与所作的非退化线性变换有关必为二次型的矩阵的特征值，它与所作的非退化线性变换有关;一定存在一定存在一定存在一定存在可逆可逆可逆可逆线性变换线性变换线性变换线性变换 X=CY,X=CY,将其将其将其将其化为化为化为化为标准形标准形标准形标准形定理定理定理定理 二次型，二次型，二次型，二次型，即，即，即，即，从矩阵看从矩阵看从矩阵看从矩阵看注：注：注：注：实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵实对称矩阵A A一定合同对角阵；一定合同对角阵；一定合同对角阵；一定合同对角阵；与与与与A A合同的对角线上的元素不唯一合同的对角线上的元素不唯一合同的对角线上的元素不唯一合同的对角线上的元素不唯一，（与与与与相似对角阵相似对角阵相似对角阵相似对角阵比较）比较）比较）比较）作业：习题作业：习题六六 1(1,2),2(2)，3(2，3),4(1,2)，5(2)。