最大和最小(20009讲课).doc

1最 大 和 最 小--2009 春教练员讲习班--（一） 说明 最大和最小问题是求一个量所能取的值里面最大（极大）的一个或最小（极小）的一个，即极端的情形. 对于最大和最少问题，首先需要注意在什么范围内求最大或最小，在某个小范围内，最大（或最小）的量在更大的范围内就未必仍然是最大（或最小）. 其次，需要注意在什么情况下，可以缩小求最大（或最小）值的范围. 显然，只有最大（或最小）值仍在更小范围内时，才可以缩小寻找最大（或最小）值的范围. 例如：奇数范围内求最小的质数，是3，但是在整数范围内最小的质数就不是 3，而是 2 了.1. 函数 如果《范围》可以量化的话，用 表示，所能取的值用 表示，则建立xy了两个量的函数关系的极值2. 局部极值和整体（全局）极值，局部极值有时称为极大（小）值，全局极值成为最大（小）值，见右图3. 用微积分方法求极值 假定函数很好，既二次可导，则一般用微积分方法求极值例如： , , , 3123xy123'xy4, , 当 时, ;当x6' 38时, . 显然, ,说明 ,当 取值范围比较大时,只948y yLimx 2x能是局部极值.例子: 下表有 10 个加法算式：⑴ ⑵ ⑶ …… ⑼ ⑽572485924…… 51246这些算式是按一定规律排列的，得数最小的算式是第几个？得数最大的算式是第几个？2解答：得数最小的算式是第 4 个，得数最大的算式是第 1 个。

理由：设 代表非零自然数，对每个算式做通分，m，25104m比较相邻项的大小，，2222101011044mm简化，22 2101010m既然 是正整数，容易判断，m当 时 ；2当 时 ；10所以，得数最小的算式是第 4 个直接计算，57102472所以，得数最大的算式是第 1 个评注：字母代表量，是数学重要的抽象，高度的抽象是数学有别其它科学一个最重要的特征，是数学广泛应用的基础初一一个最为重要的训练是如何运用字母和代数式解决问题，此题初一做着重考察字母的运算，小学做则考察分数的运算能力放在初赛可能偏难 , , 或 10.245my02415'y12m1,67m4. 离散极值 对于最大和最小问题，从一个量有限个值中求最大或最小，称为有限离散极值问题，否则称为无限离散极值问题. 例如：求几个整数的最大公约数是有限极值问题，因为如果不是求最大公约数，而是求公约数的话，个数有限个；如果是求几个整数最小公倍数的话，则是无限极值问题，因为它们有无穷多个公倍数. 华杯赛试题中，多数最大和最小问题是有限极值问题.3（二）例题选讲例 1.有 10 个不同的大于 0 的自然数，它们的和是 55，从中取出 3 个数后, 余下自然数的和是 55 的 ，则取出的 3 个数的积最大等于多少？711解答：取出的 3 个数的积最大等于 280. 由题意知道这 10 个非零自然数只能是 1，2，3，…，10. 取出的 3 个自然数的和等于 .这样的三个数有：{1,9,10}, {2,8,10}, {3,7,10}, {3，8，9}，20145{4,6,10},{4，7，9}，{5，7，8}和{5，6，9}, 对应的积分别为：90, 160, 210, 216，240, 252，270 和 280. 因此，最大的积是 280. 说明和评注：例 1 是有限极值问题，因为取出满足要求的 3 个自然数的方式有限多种，它们的积有限多个.一般而言，如果“ 有限多个”不是很多很多的话 ，解答时可以用“枚举法”，即列出所有的可能，再选出最大（或最小）的值，或者将与问题相关的各种情况逐一考察，最后归纳出需要的结论.例 2. 图 5-1 是一个中国象棋盘,盘中小方格都是相等的小正方形，面积是 1， “界河”的宽等于小正方形的边长.黑方有二个黑“象” ，红方仅有一个红“相” ，问：这三枚棋子各行走在什么位置时，以这三枚棋子为顶点所构成的三角形的最大的面积是多少？ 解答：三角形的最大的面积是 28.按照象棋的规则，黑方“象”只能行走在黑色小圆圈的位置，红方“相”只能行走在白色小圆圈的位置.为陈述方便，称以二个黑色小圆圈和一个白色小圆圈为顶点的三角形为“棋盘三角形” ，称棋盘中网格线构成的、并且二个黑色小圆圈和一个白色小圆圈位于其边上（或顶点）的长方形称为“棋盘长方形”.由于三个顶点都在长方形边上的三角形的面积至多为这图 5-1图 5-24个长方形面积的一半，所以，求棋盘三角形的最大面积，需要做的事情是：(1)寻找面积最大的“棋盘长方形” ；（2）计算棋盘三角形是否是棋盘长方形中面积最大的三角形.图 5-2 中，灰色三角形所在的长方形显然是面积最大的棋盘长方形，面积等于 56，灰色三角形是这个长方形中面积最大的三角形之一，面积等于 28.说明和评注：例 2 是有限极值问题 . 但是，棋盘中共有个棋盘三角形，如果用“枚举法”枚举出所有的781962棋盘三角形的面积，则太麻烦，计算量太大. 例 2 的解法是：将寻找面积最大的“棋盘三角形” ，转化为寻找面积最大的“棋盘长方形” ，这样就容易多了. 容易看出或者猜出：图 5-3 中长方形 ABCD 是面积最大的“棋盘长方形 ”，再判断这个长方形中的“棋盘三角形”是否是面积最大的“棋盘三角形”. 这种方法我们俗称“极端值法则” ，简称“极端法” ，即：从所求最大（或最小）值的量或问题的“极端”情况，或者将它们转为另一量的“极端”情况出发，找出极端值，再判断这个值是否符合题目的要求.例 3. 把 14 分拆成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，使得到的积尽可能大，这个乘积是多少？解答： 这个乘积是 162.（1）分拆出的自然数中，不应该有0和1. 否则，将1或0和某个分拆出的自然数相加，则有 .a（2）如果分拆出的自然数中，有一个 K≥4，那么可以将 K 再分拆成 和 ，即ab.由（1） ，并且 .即：新Kb2, b10abab的分拆出的自然数的乘积要大于或等于原来分拆中自然数的乘积.（3）由（1）和（2） ，需要将14分拆为若干个2和若干个3的和，才能确保这些自然数的乘积最大.设14＝2＋2+2+2＋2＋2＋2，则2×2×2×2×2×2×2＝128. 因为6＝2＋2＋2＝3＋3，3×3>2 ×2×2. 所以，当14＝2＋3＋3＋3＋3，3×3×3×3×2＝162. 说明和评注：把 14 分拆成几个自然数的和，再求出这些自然数的乘积，为了陈述简单一些，将这个乘积直接称为“分拆的积”.图 5-35将 14 分拆成几个自然数的和，分拆方式当然是有限多种，如果用“枚举法”选出乘积最大的分拆方式，就需要计算每种分拆的积.显然，这种“枚举法 ”太笨，因为分拆 14 的方式太多了，计算量太大，不可行.这道例题是如何找到乘积最大的分拆呢？解答的第一步告诉我们，如果分拆出的自然数有 1，我们可以调整为没有 1，并且新的分拆的积不小于原来的分拆的积. 第二步告诉我们，如果分拆出的自然数中，有大于 3 的数，则可以再做调整，继续分拆这些大于 3 的数，并且新的分拆的积不小于原来的分拆的积，直到分拆中没有大于 3 的自然数. 第三步告诉我们，将 6 分拆为 2 个 3 的积大于分拆为 3 个 2 的积，就求出了最大的分拆的积 .华罗庚爷爷在“优选法平话”一书中，形象地将上述方法称为“盲人爬山法”. 分拆 14，就像爬山，使分拆的积最大，就是爬到山顶.盲人爬山时，用导盲棍探探周围，感觉如果朝 “分拆的整数中有 1”这个方向走去，是下坡的路，不能走这条路；导盲棍碰到了“分拆中有大于 3 的自然数”，感觉是个上坡的路，继续分拆这个数，也就是不断朝上坡的方向爬山，一般情况下，有可能爬到山顶.上述方法也称为“缩小范围搜索法” ，第一步是将分拆 14 缩小到“分拆出的整数中不出现 1 的范围” ，第二步是将分拆 14 缩小到“分拆出的整数中不出现大于 3 的范围” ，第一和第二步也告诉我们为什么可以缩小范围.这样只需将 14 分拆为一些 2 和一些 3 的和就可以了，就能求出最大的分拆的积.例题 3 的解法虽然简单，但是使用的方法体现了一种很朴素的数学思想和方法，即局部调整的思想，用“盲人爬山法” 、 “缩小范围搜索法”或其它方法，逐步调整达到最大或最小值， “华杯赛”中很多最大和最小问题 1 可以用这种方法解答 .例 4. 5-4 是奥林匹克的五环标志，其中图 5-46处分别填入一个各不相同的 1 至 9 的整数. 如果每一个圆环内的数字ihgfedcba,,,和都相等，则这个数字和的最大值与最小值分别是多少？ 解答：数字和的最大值与最小值分别是 14 和 11.设每个圆环内数字的和为 N，于是有5()()()()(1234567899().Nabcdefghiefghibdff由此可知， 也是 5 的倍数，并且，只要求出 的最大值和最小hfdb hfdb值，就可以求出最大的 N 和最小的 N 了.因为 ，所以 ，从而，104321,06789 30f，54575bdfhbdh，N即圆环内数字的和不能超过 15 和不能小于 11. 但是它们是否能达到 15 和 11，还需要验证.（1）如果 ，则需要 . 因为 只能是{9，8，7，6} ，15N30bdfh},{hfdb此时，不管哪一种填法，包含 9 的两个圆环，必定有一个圆环内的数字和超过 15，不满足要求，所以 N 不能是 15.（2）如果 ，则 . 取 ，如图 5.5，在25bdfh14N9, 3, 76bdfh五个环和相交部分填入1－9 整数，则有 25bdfh， ，圆环内最大的数字和是 14.14N（3） 时, 的组合只能是 {1，2，3，4}，这时10,hfdb},{hfdb有图 5-6 的填法 , 圆环内最小的数字和是 11.图 5-5 图 5-67说明与评注：上面求“数字和”最大值的过程有三个步骤：第一步是估计或者推导出圆环内的“数字和”不能超过的整数值，称为初始上界；第二步是从这个上界出发，判断和说明初始上界是否是最小的上界，即看看能否构造出“数字和”等于这个值的填法 .如果可以，初始上界就是最大值.如果不可以，要陈述理由，说明初始上界不是“数字和 ”最小的上界，则比初始上界小 1的值也是“数字和”的一个上界.如此操作，直到找到最小的上界；第三步是构造出 “数字和”等于最小上界的填法.例 4 解答中， 15 是“数字和”的初始上界，但不是最小的上界，由图 5.5 的填法,14 是最小的上界，即最大的数字和. 可以用同样方法求出例 4 中“ 数字和”的最小值，这时候，由图 5.6 的填法，初始的下界 11 是最大的下界，是数字和的最小的值.“华杯赛”试题中，大多数“最大和最小”题目，解答时，没有第二步，很容易猜出最小的上界（或最大的下界） ，也很容易构造出最小的上界（或最大的下界）的例子 .因为很容易、明显，有时候解答题目时，可以忽略第三步.但是对于少数“华杯赛 ”的试题，例如决赛或总决赛笔试中有些最大和最小问题的题目，则比较困难，需要必要的知识和好的推理能力，也正因为这样，做最大和最小问题，对提高分析能力和推理能力的帮助很大.例 4 的解题过程和方法思想称为“估计构造法” ，是一个很重要的求解最大和最小问题的方法 .例 5. 某校有一道笔直的围墙，该校准备以围墙为一边，用一道长 36 米的铁丝网，围成一块长方形菜地，这块菜地的面积最大是多少平方米？解答：菜地的面积最大是 162 平方米．如图 5-7，借助围墙作一边，用铁丝网围成的长方形菜地为 ABCD．将长方。