zfh09曲线积分与曲面积分课件.ppt

数学实验高等数学（下）曲线积分与曲面积分zfh09曲线积分与曲面积分实验目的学习用软件计算曲线积分、曲面积分zfh09曲线积分与曲面积分实验内容实验内容1、曲线积分、曲线积分1、对弧长的曲线积分若L：￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿α≤t≤β，则 zfh09曲线积分与曲面积分若L：￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿α≤t≤β，则[例1]计算￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿，￿￿￿￿为￿x2+y2=a2 中的￿￿￿￿￿￿￿￿￿一段弧 zfh09曲线积分与曲面积分[解] 方法Ⅰ：选x 为参数，则 yxAB0zfh09曲线积分与曲面积分方法Ⅱ：选y为参数，则 方法Ⅲ：选t为参数，则有参数方程zfh09曲线积分与曲面积分>> syms t >>I=int(x*y*sqrt(diff(x)^2+diff(y)^2), atan(sqrt(3)),pi/2)zfh09曲线积分与曲面积分运行结果： I =1/8*a^2*(a^2)^(1/2)>>I=simple(I)运行结果： I=1/8*a^32、对坐标的曲线积分L是二维有向曲线：￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿t：α→β zfh09曲线积分与曲面积分Γ是三维有向曲线： t：α→β [例2]计算∫Γx3dx+3zy2dy-x2ydz，其中 Γ是从点A（3，2，1）到点B（0，0，0）￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿的直线段￿￿￿￿￿￿。

zfh09曲线积分与曲面积分 [解]直线段￿￿￿￿￿￿的方程为 化为参数方程 t：1→0 zfh09曲线积分与曲面积分 >> syms t >>x=3*t; y=2*t; z=t; >>I=int(x^3*diff(x)+3*z*y^2*diff(y) -x^2*y*diff(z),t,1,0) 运行结果： I =-87/4zfh09曲线积分与曲面积分3、格林公式￿￿￿￿￿￿￿设闭区域D由分段光滑的曲线L围成，￿￿函数P（x,y）及Q（x,y）在D上具有一阶￿￿连续偏导数，则有其中L是D的取正向的边界曲线zfh09曲线积分与曲面积分 [例3]计算曲线积分 ∮L(x2+xy)dx+(x2+y2)dy，其中L是区域0≤x≤1，0≤y≤1的边界正向 [解]令P（x,y）=x2+xy Q（x,y）=x2+y2 由格林公式得zfh09曲线积分与曲面积分>> syms x y >>P=x^2+x*y; Q=x^2+y^2;>>I=int(int(diff(Q,x)-diff(P,y),y,0,1),x,0,1) 运行结果： I =1/2二、曲面积分二、曲面积分1 、、对面积的曲面积分zfh09曲线积分与曲面积分若曲面Σ的方程为:z=z(x,y),则￿￿￿￿￿［例4］计算曲面积分其中Σ为锥面 被曲面x2+y2=2ax所截得的部分。

zfh09曲线积分与曲面积分解：步骤(1)由Σ的参数方程作曲面Σ的图形和Σ在xoy平面的投影区域Dxy的图形； (0≤t≤2π) (2)建立直角坐标系下的被积函数；zfh09曲线积分与曲面积分 (3)将F(x,y)作极坐标变换x=rcost, y=rsint; (4)将曲面积分化为对r,t的二次积分￿(5)化简积分结果zfh09曲线积分与曲面积分程序：zfh09曲线积分与曲面积分2、对坐标的曲面积分化为二次积分zfh09曲线积分与曲面积分[例5]计算 ，其中Σ是上半球面 的上侧 [解]步骤：1、作上半球面Σ的图形及其在三个坐标 平面的投影图形；2 、计算zfh09曲线积分与曲面积分zfh09曲线积分与曲面积分zfh09曲线积分与曲面积分I＝I1＋I2＋I3zfh09曲线积分与曲面积分 3、高斯公式设空间闭区域Ω是由 分片光滑的闭曲面Σ所围成，函数 p(x,y,z), Q(x,y,z), R(x,y,z)在Ω上具有一阶连续导数，则有[例6]用高斯分式计算例5zfh09曲线积分与曲面积分 [解]分析：积分曲面Σ不是封闭曲面，添加平面Σ1:z=0 使构成封闭曲面Σ＋Σ1。

步骤：(1)计算沿封闭曲面的积分令P=xz2,Q=x2y-z3,r=2xy+y2z,zfh09曲线积分与曲面积分(2)计算Σ1上的曲面积分zfh09曲线积分与曲面积分(3)zfh09曲线积分与曲面积分>> syms a x y z s r t>>P=x*z^2;>>Q=x^2*y-z^2;>>R=2*x*y+y^2*2;>>f=diff(P,z)+diff(Q,y)+diff(R,z);>>f=subs(f,{x,y,z},{'r*sin(s)*cos(t)', 'r*sin(s)*sin(t)','r*cos(s)'});>>I1=int(int(int(f*r^2*sin(s),r,0,a),s,0,pi/2), t,0,2*pi) 运行结果： I1 =2/15*a^5*pizfh09曲线积分与曲面积分>> I2=int(int('2*x*y',y,-sqrt(a^2-x^2), sqrt(a^2-x^2)),x,-a,a)￿￿￿￿￿￿运行结果： I2 =0>> I=I1-I2￿￿￿￿￿运行结果： I = 2/15*a^5*pizfh09曲线积分与曲面积分上机上机实验题 1 1、、计算下列曲算下列曲线积分分(1) ,其中L为摆线一x=a(t-sint), y=a(1-cost) (0≤t≤2π)。

2)￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿，其中L为圆周x2+y2=a2,直￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿线y=x及轴在第一象限内所围成的￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿扇形的整个边界 zfh09曲线积分与曲面积分(3) ,其中L是抛￿￿￿￿￿￿￿物线y=x2上从点（－1,1）到点（1,1）的一段弧 (4) ,其中L为圆周(x-1)2+y2=2，￿￿￿逆时针方向 2 、、计算下列曲面算下列曲面积分分zfh09曲线积分与曲面积分(1)￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿，其中Σ为平￿￿￿￿￿￿￿￿￿面2x+2y+z=6在处一卦限中的部分. (2) ,其中Σ是球面x2+y2+z2=R2 的下半部分的下侧 (3) ，其中Σ是界于 z=0和z=3之间的圆柱体x2+y2≤9￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿￿的整个表面的外侧 zfh09曲线积分与曲面积分zfh09曲线积分与曲面积分。