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排列组合方法总结排列组合方法总结 一一、、知识点知识点 (一)加法原理 如果完成一件事有n类办法，只要选择其中一类办法中的任何一种方法，就 可以完成这件事，若第一类办法中有 1 m种不同的方法，第二类办法中有 2 m种不 同的方法，…，第n类办法中有 n m种不同的办法，那么完成这件事共有 12n Nmmm 种不同的方法. (二）乘法原理 如果完成一件事，必须依次连续地完成n个步骤，这件事才能完成，若完成 第一个步骤有 1 m种不同的方法，完成第二个步骤有 2 m种不同的方法，…，完成 第n个步骤有 n m种不同的方法，那么完成这件事共有 12n Nm mm 种不同的 方法- (三)排列 1.排列 从n个不同元素中，任意取出 m mn 个元素，按照一定顺序排成一列，称 为从n个不同元素中取出m个元素的一个排列. 2.排列数 从n个不同元素中取出 m mn 个元素的所有排列的种数，称为从n个不同 元素中取出m个不同元素的排列数，记作 m n P或 m n A.当mn时，即从n个不同元 素中取出n个元素的排列，叫作n个元素的全排刿，也叫n的阶乘，用符号!n表 示. 3.排列数公式 （1）规定 1 0 1A . （2）   ! 121 ! m n n An nnnm nm   . （3） 123 3 1! m n An nnn   . （4） mkm n nnn k AAAmk    . (四)组合 1.组合 从n个不同元素中，任取 m mn 个元素组成一组(不考虑元素的顺序） ，叫 作从n个不同元素中任取m个元素的一个组合. 2.组合数 从n个不同元素中任取 m mn 个元素的所有组合的总数，叫作从n个不同 元素中任取m个元素的组合数，用符号 m n C表示. 3.组合数公式 （1）规定 0 1 n nn CC； （2）   11 !12 1 m m n n n nnmA C mm m    ，则 mmm nnm ACA； （3） mn m nn CC  . (五)二项式定理  01111 n nnkn kknnnn nnnnn abC aC aC abCabC b  , 其中第1k 项为 1 kn kk kn TC ab   称为通项. 若令1ab，得 012 2 nn nnnn CCCC， 01 ,,, n nnn C CC称为展开式中的二项式系数，二项式系数具有以下性质： （1） 0241 2 nn nnnn CCCC  （n为偶数） ； （2） 1351 2 nn nnnn CCCC  （n为奇数） ； （3）n为偶数时中项的系数最大，n为奇数时中间两项的系数等值且最大. 二．常见问题及方法二．常见问题及方法 1.1.住店问题住店问题 n个不同人(不能重复使用元素） ，住进m个店（可以重复使用元素） ，那么 第一，第二，…，第n个人都有m种选择，则总共排列种数是 n m个. 例 1.有 5 人报名参加 3 项不同的培训，每人都只报一项，则不同的报法有 （ ）. (A)243 种 (B)125 种 (C)81 种 (D)60 种 （E)以上选项均不正确 解析：乘法原理，每个人都有 3 种选择，所以不同的报法有 5 3243(种). 【答案】A 练习： 3 个人争夺 4 项比赛的冠军， 没有并列冠军， 则不同的夺冠可能有 （） 种. (A) 3 4 (B) 4 3 (C)4×3 (D)2×3 (E)以上选项均不 正确 解析：每个冠军都有 3 个人可选，故夺冠可能有种. 【答案】B 2.2.简单排列组合问题简单排列组合问题 明确排列与组合的区别：只要求每个组里的元素不同，是组合问题，用 m n C；若 对顺序有要求，则是排列问题，用 m n A. 注：解决这类问题的关键是准确分类与分步. 例 2 (2012-1)某商店经营 15 种商品，每次在橱窗内陈列 5 种，若每两次 陈列的商品不完全相同，则最多可陈列（）. (A)3000 种 (B)3003 种 (C)4000 种 (D)4003 种 (E)4300 种 【解析】 只要求商品不同， 是组合问题， 故 5 15 15 14 13 12 11 3003 5 4 3 2 1 C       (种) 【答案】B 练习：练习： (2015-1)平面上有 5 条平行直线，与另一组条平行直线垂直，若 两组平行线共构成 280 个矩形，则（）. (A)5 (B)6 (C)7 (D)8 (E)9 【解析】组合问题 从两组平行直线中任选两条则可构成一个矩形，于是 22 5 280 n CC，即 156n n，解得8n . 【答案】D 3 3. . 排队问题排队问题 （1）特殊元素优先法：先考虑有限制条件的元素的要求，再考虑其他元素； （2）特殊位置优先法. 先考虑有限制条件的位置的要求，再考虑其他位置； （3）排除法：从总体中排除不符合条件的方法数，这是一种间接解题的方法． （4）相邻问题捆绑法：某些元素必相邻的排列，可以先将相邻的元素“捆成一 14 n 24 3 m k 个”元素，与其它元素进行排列，然后再给那“一捆元素”内部排列． （5）不相邻问题插空法：某些元素不相邻的排列，可以先排其它元素，再让不 相邻的元素插空． （6）定序问题消序法. 例 3 甲、乙、丙、丁、戊、己 6 人排队，则在以下各要求下，各有多少种 不同的排队方法？ （1）甲不在排头； （2）甲不在排头并且乙不在排尾； （3）甲乙两人相邻； （4）甲乙两人不相邻； （5）甲始终在乙的前面(可相邻也可不相邻). 【解析】假设 6 人一字排开，排入如下格子： 排头 排尾 （1）方法一：剔除法. 6 个人任意排，有 6 6 A种方法； 甲在排头， 其他人任意排， 有 5 5 A种方法； 故甲不在排头的方法有 65 65 600AA (种). 方法二：特殊元素优先法. 第一步：甲有特殊要求，故让甲先排，甲除了排头外有 5 个格子可以选，即 1 5 C； 第二步： 余下的 5 个人， 还有 5 个位置可以选， 没有任何要求， 故可任意排， 即 5 5 A. 故不同的排队方法有 15 55 600C A (种). 方法三：特殊位置优先法. 第一步：排头有特殊要求，先让排头选人，除了甲以外都可以选，故有 1 5 C； 第二步：余下的 5 个位置，还有 5 个人可以选，没有任何要求，故可任意排 5 5 A, 故不同的排队方法有 15 55 600C A (种). 【注意】①虽然以上两种方法在这一道题列出式子来是一样的，但是两种方 法的含义不同. ②在并非所有元素都参与排列时(如“6 个人选4个人排队， 甲不在排头”） ， 特殊位置优先法与特殊元素优先法列出的式子并不一样， 特殊位置优先法会更简 单. （2）方法一：特殊元素优先法. 有两个特殊元素：甲和乙.如果我们先让甲挑位置，甲不能在排头，故甲可 以选排尾和中间的 4 个位置.这时，如果甲占了排尾，则乙就变成了没有要求的 元素；如果甲占了中间 4 个位置中的一个，则乙还有特殊要求：不能坐排尾；故 按照甲的位置分为两类： 第一类：甲在排尾，其他人没有任何要求，即 5 5 A； 第二类：甲从中间 4 个位置中选 1 个位置，即 1 4 C；再让乙选，不能在排尾， 不能在甲占的位置， 故还有 4 个位置可选， 即 1 4 C； 余下的 4 个人任意排， 即 4 4 A； 故应为 114 444 C C A. 加法原理，不同排队方法有 5114 5444 504AC C A(种). 方法二：剔除法. 6 个人任意排 6 6 A,减去甲在排头的 5 5 A，再减去乙在排尾的 5 5 A； 甲既在排头乙又在排尾的减了 2 次，故需要加上 1 次，即 4 4 A； 所以，不同排队方法有 6554 6554 504AAAA(种). （3）相邻问题用捆绑法. 第一步：甲乙两人必须相邻，故我们将甲乙两人用绳子捆起来，当作一个元 素来处理，则此时有 5 个元素，可以任意排，即 5 5 A； 第二步：甲乙两人排一下序，即 2 2 A； 根据乘法原理，不同排队方法有 52 52 240A A (种). （4）不相邻问题用插空法. 第一步：除甲乙外的 4 个人排队，即 4 4 A； 第二步：4 个人中间形成了 5 个空，挑两个空让甲乙两人排进去，两人必不 相邻，即 2 5 A； 根据乘法原理，不同排队方法有 42 45 480A A (种). （5）定序问题用消序法. 第一步：6 个人任意排，即 6 6 A； 第二步： 因为甲始终在乙的前面， 所以单看甲乙两人时， 两人只有一种顺序， 但是 6 个人任意排时，甲乙两人有 2 2 A种排序，故需要消掉两人的顺序，用乘法 原理的逆运算，即用除法，则有 6 6 2 2 A A . 故不同排队方法有 6 6 2 2 360 A A  种). 【注意】若 3 人定序则除以 3 3 A，以此类推. 练习： (2012-1)在两队进行的羽毛球对抗赛中，每队派出 3 男 2 女共 5 名 运动员进行 5 局单打比赛.如果女子比赛安排在第二和第四局进行，则每队队员 的不同出场顺序有（）. (A)12 种 (B)10 种 (C)8 种 (D)6 种 (E)4 种 【解析】要求“每队”队员的不同出场顺序，只需要考虑一队即可. 所以，2 个女队员排在第二和第四局，即 2 2 A； 3 个男队员排在另外三局，即 3 3 A； 根据乘法原理，不同的出场顺序为 23 23 12A A (种). 【答案】A 4.4.万能元素问题万能元素问题 万能元素是指一个元素同时具备多种属性， 一般按照选与不选万能元素来分 类. 例 (2011-10)在 8 名志愿者中，只能做英语翻译的有 4 人，只能做法语翻译 的有 3 人，既能做英语翻译又能做法语翻译的有 1 人.现从这些志愿者中选取 3 人做翻译工作，确保英语和法语都有翻译的不同选法共有（）种. (A)12 (B)18 (C)21 (D)30 (E)51 【解析】分为两类： 第一类：有人既懂英语又懂法语 12 17 21C C ； 第二类：没有人既懂英语又懂法语 1211 4343 30C CC C. 根据加法原理，不同的选法有 51 种. 练习：从 1、2、3、4、5、6 中任取 3 个数字，其中 6 能当 9 用，则能组成 无重复数字的 3 位数的个数是（）个. (A)108 (B)120 (C)160 (D)180 (E)200 【解析】分为三类： 第一类：无 6 和 9,则其余 5 个数选 3 个任意排，即 3 5 A； 第二类：有 6,则 1、2、3、4、5 中选 2 个，再与 6-起任意排，即 23 53 C A； 第三类：有 9,则 1、2、3、4、5 中选 2 个，再与 9 一起任意排，即 23 53 C A； 故总个数为 32323 55353 180AC AC A(种). 【答案】D 5.5.均匀与不均匀分组均匀与不均匀分组问题问题 （1）均匀分组与不均匀分组. 如果组与组之间的元素个数相同，称为均匀分组；否则，称为不均匀分组. （2）小组有名称与小组无名称. 只是分组即可，则小组无名称；如分为A组、B组、C组，或种子队、非种 子队.等等，则小组有名称. （3） 如果均匀分组， 并且小组无名称， 需要消序 （若有 m 组元素个数相等， 就要除以 m m A） ；其佘情况均不需要消序. 例：从 10 个人中选一些人，分成三组，在以下要求下，分别有多少种不同 的方法？ （1）每组人数分别为 2、3、4； （2）每组人数分别为 2、2、3； （3）分成 A 组 2 人，B 组 3 人，。