小学奥数图形的面积.doc

直线型面积计算（1）对于三角形的面积计算，我们除了纯熟运用基本的计算公式，在技巧性很强的奥数题中还要根据相应的性质和结论来解题，下面就是我们小学奥数常用的三条性质：①等底等高的两个三角形面积相等；②两个三角形高相等，面积比等于它们的底之比；两个三角形底相等，面积比等于它们的高之比；③夹在一组平行线之间的等积变形，如；反之，如果，则可知直线平行于．【例 1】 如图，长方形的面积是平方厘米，点、、分别是长方形边上的中点，为边上的任意一点，求阴影部分的面积．【分析】 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用．连接、．∵，∴．同理，，，∴（平方厘米）．［铺垫］你有多少种措施将任意一种三角形提成：⑴个面积相等的三角形；⑵个面积相等的三角形；⑶个面积相等的三角形．［分析］ ⑴如右图，、、分别是相应边上的中点，这样就将三角形提成了个面积相等的三角形；⑵如右图，、是的三等分点，、分别是相应线段的中点；答案不唯一；⑶如下图，答案不唯一，如下仅供参照．【例 2】 如图，三角形的面积为，其中，，三角形的面积是多少？【分析】 连接．∵，∴，． 又∵，∴．【例 3】 如图，三角形中，，，三角形的面积是平方厘米，三角形 的面积是多少？【分析】 ∵，∴,;又∵,∴,（平方厘米）．［铺垫］如图，三角形被提成了甲、乙两部分，，，，甲部分面积是乙部分面积的几分之几？［分析］ 连接．∵,，∴,．又∵,∴, ∴,∴．［拓展］如图，在三角形中，厘米，厘米，、分别为和的中点，那么三角形的面积是多少平方厘米？［分析］ ∵是的中点,∴，同理，∴（平方厘米）．【例 4】 如图，已知三角形面积为，延长至，使；延长至，使；延长至，使，求三角形的面积．【分析】 本题是性质的反复使用（还可以用燕尾定理，但本讲不用这种措施，燕尾定理我们会放到五年级春季再讲）．连接、．∵，∴．同理可得其他，最后三角形的面积．［拓展］如图，四边形的面积是平方米，，，，，求四边形的面积．［分析］ 连接.设，∵，∴, 又∵,∴， 同理， ∴ 连接，同理∴， （平方米）．［拓展］如图，已知长方形的面积，三角形的面积是，三角形的面积是，那么三角形的面积是多少？［分析］ 连接对角线． ∵是长方形 ∴∴， ∴，∴∴．［拓展］如图，长方形中，，，三角形的面积为平方厘米，求长方形的面积．［分析］ 连接，．由于，，因此．由于，，因此，因此．由于，因此长方形的面积是平方厘米．【例 5】 （第八届小数报数学竞赛决赛试题）如下图，、分别是梯形的下底和腰上的点，，并且甲、乙、丙个三角形面积相等．已知梯形的面积是平方厘米．求图中阴影部分的面积．【分析】 由于乙、丙两个三角形面积相等，底．因此到的距离与到的距离相等，即与平行，四边形是平行四边形，阴影部分的面积平行四边形的面积的，因此阴影部分的面积乙的面积．从而阴影部分的面积（平方厘米）．［拓展］如图，在平行四边形中，，．求阴影面积与空白面积的比．［分析］ 由于，，因此，．由于，因此，因此，．同理可得，，．由于，因此空白部分的面积，因此阴影部分的面积是．，因此阴影面积与空白面积的比是．【例 6】 如图所示，四边形与都是平行四边形，请你证明它们的面积相等．【分析】 本题重要是让学生理解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接．（我们通过把这两个看似无关的平行四边形联系在一起．）∵在平行四边形中，边上的高，∴（也就是等积变换的重要根据③的特殊状况）．同理，，∴平行四边形与面积相等．［拓展］如图所示，正方形的边长为厘米，长方形的长为厘米，那么长方形的宽为几厘米？［分析］ 本题重要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等（长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形）．三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半．证明：连接.（我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起）．∵在正方形中，边上的高，∴（三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半）同理，．∴正方形与长方形面积相等. 长方形的宽（厘米）．【例 7】 如图，正方形和正方形，且正方形边长为厘米，求图中三角形的面积为多少平方厘米？【分析】 连接．∵，都是正方形的对角线∴，∥．∴与同底等高，(平方厘米) ．【例 8】 （年西城某重点中学小升初分班考题）右图是由大、小两个正方形构成的，小正方形的边长是厘米，求三角形的面积．【分析】 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件，事实上本题的成果与大正方形的边长没关系．连接（见右上图），可以看出，三角形与三角形的底都等于小正方形的边长，高都等于大正方形的边长，因此面积相等．由于三角形是三角形与三角形的公共部分，因此去掉这个公共部分，根据差不变性质，剩余的两个部分，即三角形与三角形面积仍然相等．根据等量代换，求三角形的面积等于求三角形的面积，等于．［拓展］（小学数学夏令营五年级组试题）如图，四边形和四边形都是正方形，已知三角形的面积为平方厘米，求三角形的面积．［分析］ 一般求三角形的面积，都是先求它的底和高．题目中没有一条线段的长度是已知的，因此我们只能通过发明等积的措施来求．　　 直接找三角形与三角形的关系还很难，并且也没有运用“四边形和四边形是正方形”这一条件．我们不妨将它们都补上梯形这一块．寻找新得到大三角形和大直角梯形之间的关系．通过验算，可以懂得它们的面积是相等的．从而得到三角形与三角形面积相等，也是平方厘米．【例 9】 如右图，在平行四边形中，直线交于，交延长线于，若，求 的面积．［分析］ 本题重要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等（或夹在一组平行线之间的三角形面积相等）和等量代换的思想.连接．∵∥，∴．同理∥，∴．又，，∴ ，即．【例10】 （小学数学奥林匹克决赛试题）右图中，是的长方形，是的长方形，求三角形与三角形的面积之差．【分析】 直接求出三角形与三角形的面积之差，不太容易做到．如果运用差不变性质，将所求面积之差转化为此外两个图形的面积之差，而这两个图形的面积之差容易求出，那么问题就解决了．法：连结（见右图）．三角形与三角形都加上三角形，则本来的问题转化为求三角形与三角形的面积之差．所求为．法：连结（见右图）．三角形与三角形都加上三角形，则本来的问题转化为求三角形与三角形的面积之差．所求为．法：延长交于（见右图）．三角形与三角形都加上梯形，则本来的问题转化为求三角形与矩形的面积之差．所求为．法：延长，交于（见右图）．三角形与三角形都加上梯形，则本来的问题转化为求矩形与直角三角形的面积之差．所求为．【例11】 如右图所示，在长方形内画出某些直线，已知边上有三块面积分别是，，．那么图中阴影部分的面积是多少？【分析】 三角形的面积三角形的面积长方形面积阴影部分面积；又由于三角形的面积三角形的面积长方形面积，因此可得：阴影部分面积．1． 如图，在长方形中，是的中点，是的中点，如果厘米，厘米，求三角形的面积．【分析】 ∵是的中点，是的中点，∴，，又∵是长方形，∴ (平方厘米)．2． 如图，三角形中，是的倍，是的倍，如果三角形的面积等于，那么三角形的面积是多少？【分析】 连接.∵ ∴.又∵∴，∴.3． 两个正方形构成右图所示的组合图形．已知组合图形的周长是厘米，厘米，求阴影部分的面积．【分析】 组合图形的周长并不等于两个正方形的周长之和，由于部分重叠了．用组合图形的周长减去，就得到大、小正方形边长之和的三倍，因此两个正方形的边长之和等于（厘米）．又由两个正方形的边长之差是厘米，可求出大正方形边长（厘米），小正方形边长（厘米）．阴影部分面积（平方厘米）．4． 在右图中，平行四边形的边长厘米，直角三角形的直角边长厘米．已知阴影部分的总面积比三角形的面积大平方厘米，求平行四边形的面积．［分析］ 由于阴影部分比三角形的面积大平方厘米，都加上梯形后，根据差不变性质，所得的两个新图形的面积差不变，即平行四边行比直角三角形的面积大平方厘米，因此平行四边形的面积等于平方厘米．5． 右图中，厘米，三角形比三角形的面积大平方厘米，求的长．【分析】 连结．三角形的面积为平方厘米，厘米． 直线型面积计算（2）在小学的学习中几何是一种很重要的部分，每一种几何图形都非常美妙，几何图形的美妙不仅来源于它的外形，更重要的是在几何模型上浮现的那些美妙的规律，下面我们就一起来看看几种美妙的几何模型：模型一：任意四边形中的比例关系(“蝴蝶定理”)：①或者②蝴蝶定理为我们提供理解决不规则四边形的面积问题的一种途径．通过构造模型，一方面可以使不规则四边形的面积关系与四边形内的三角形相联系；另一方面，也可以得到与面积相应的对角线的比例关系．模型二：梯形中比例关系(“梯形蝴蝶定理”)：①②；③的相应份数为．梯形蝴蝶定理给我们提供理解决梯形面积与上、下底之间关系互相转换的渠道，通过构造模型，直接应用结论，往往在题目中有事半功倍的效果．模型三：相似三角形性质： ①；②．所谓的相似三角形，就是形状相似，大小不同的三角形(只要其形状不变化，不管大小如何变化它们都相似)，与相似三角形有关的常用的性质及定理如下：⑴相似三角形的一切相应线段的长度成比例，并且这个比例等于它们的相似比；⑵相似三角形的面积比等于它们相似比的平方；⑶连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线．三角形中位线定理：三角形的中位线长等于它所相应的底边长的一半．相似三角形模型，给我们提供了三角形之间的边与面积关系互相转化的工具．在小学奥数里，浮现最多的状况是由于两条平行线而浮现的相似三角形【例 9】 如图，四边形被两条对角线提成4个三角形，其中三个三角形的面积已知，求：⑴三角形的面积；⑵？ 【分析】 ⑴根据蝴蝶定理，，那么；⑵根据蝴蝶定理，．【例 10】 (南京智力数学冬令营)如下图，梯形的∥，对角线，交于，已知与的面积分别为25 平方厘米与35平方厘米，那么梯形的面积是________平方厘米． 【分析】 根据梯形蝴蝶定理，，可得，再根据梯形蝴蝶定理，，因此(平方厘米)．那么梯形的面积为(平方厘米)．［铺垫］梯形的对角线与交于点，已知梯形上底为2，且三角形的面积等于三角形面积的，求三角形与三角形的面积之比． ［分析］ 根据梯形蝴蝶定理，，可以求出，再根据梯形蝴蝶定理，．通过运用已有几何模型，我们轻松解决了这个问题，而没有像此前同样，为了某个条件的缺少而千辛万苦进行构造假设，因此，请同窗们一定要牢记几何模型的结论．【例 11】 四边形的对角线与交于点(如图所示)．如果三角形的面积等于三角形的面积的，且，，那么的长度是的长度的_________倍． 【分析】 在本题中，四边形为任意四边形，对于这。