2018版高考数学大一轮复习第九章平面解析几何9.7抛物线课件文新人教版.ppt

§9.7 抛物线,基础知识 自主学习,课时作业,题型分类 深度剖析,内容索引,,基础知识 自主学习,,1.抛物线的概念 平面内与一个定点F和一条定直线l(l不经过点F)的距离 的点的轨迹叫做抛物线.点F叫做抛物线的 ，直线l叫做抛物线的 .,,知识梳理,焦点,相等,准线,2.抛物线的标准方程与几何性质,1.抛物线y2＝2px (p0)上一点P(x0，y0)到焦点F 的距离|PF|＝x0＋ ，也称为抛物线的焦半径. 2.y2＝ax的焦点坐标为 ，准线方程为x＝－ . 3.设AB是过抛物线y2＝2px(p0)焦点F的弦， 若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 (1)x1x2＝ ，y1y2＝－p2. (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝ (α为弦AB的倾斜角). (3)以弦AB为直径的圆与准线相切. (4)通径：过焦点垂直于对称轴的弦，长等于2p，通径是过焦点最短的弦.,判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹一定是抛物线.( ) (2)方程y＝ax2(a≠0)表示的曲线是焦点在x轴上的抛物线，且其焦点坐标是( ，0)，准线方程是x＝－ .( ) (3)抛物线既是中心对称图形，又是轴对称图形.( ) (4)AB为抛物线y2＝2px(p0)的过焦点F( ，0)的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1x2＝ ，y1y2＝－p2，弦长|AB|＝x1＋x2＋p.( ),×,×,√,×,,,考点自测,A.(0,2) B.(0,1) C.(2,0) D.(1,0),答案,解析,1.(2016·四川)抛物线y2＝4x的焦点坐标是,,∵对于抛物线y2＝ax，其焦点坐标为 ， ∴对于y2＝4x，焦点坐标为(1,0).,,A.1 B.2 C.4 D.8,2.(2017·济宁月考)已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝ x0，则x0等于,,答案,解析,,3.设抛物线y2＝8x的准线与x轴交于点Q，若过点Q的直线l与抛物线有公共点，则直线l的斜率的取值范围是,Q(－2,0)，设直线l的方程为y＝k(x＋2)，代入抛物线方程，消去y整理得k2x2＋(4k2－8)x＋4k2＝0， 由Δ＝(4k2－8)2－4k2·4k2＝64(1－k2)≥0， 解得－1≤k≤1.,答案,解析,A. B.[－2,2] C.[－1,1] D.[－4,4],几何画板展示,4.(教材改编)已知抛物线的顶点是原点，对称轴为坐标轴，并且经过点P(－2，－4)，则该抛物线的标准方程为_________________.,设抛物线方程为y2＝2px(p≠0)或x2＝2py(p≠0).将P(－2，－4)代入，分别得方程为y2＝－8x或x2＝－y.,答案,解析,y2＝－8x或x2＝－y,5.(2017·合肥调研)已知抛物线y2＝2px(p0)的准线与圆x2＋y2－6x－7＝0相切，则p的值为________.,2,答案,解析,,题型分类 深度剖析,,题型一 抛物线的定义及应用,例1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，若B(3,2)，则|PB|＋|PF|的最小值为________.,答案,解析,4,如图，过点B作BQ垂直准线于点Q， 交抛物线于点P1， 则|P1Q|＝|P1F|.则有|PB|＋|PF|≥|P1B|＋|P1Q|＝|BQ|＝4. 即|PB|＋|PF|的最小值为4.,几何画板展示,引申探究 1.若将本例中的B点坐标改为(3,4)，试求|PB|＋|PF|的最小值.,解答,由题意可知点(3,4)在抛物线的外部. ∵|PB|＋|PF|的最小值即为B，F两点间的距离，,几何画板展示,2.若将本例中的条件改为：已知抛物线方程为y2＝4x，直线l的方程为x－y＋5＝0，在抛物线上有一动点P到y轴的距离为d1，到直线l的距离为d2，求d1＋d2的最小值.,解答,由题意知，抛物线的焦点为F(1,0). 点P到y轴的距离d1＝|PF|－1， 所以d1＋d2＝d2＋|PF|－1. 易知d2＋|PF|的最小值为点F到直线l的距离， 所以d1＋d2的最小值为3 －1.,几何画板展示,与抛物线有关的最值问题，一般情况下都与抛物线的定义有关.由于抛物线的定义在运用上有较大的灵活性，因此此类问题也有一定的难度.“看到准线想焦点，看到焦点想准线”，这是解决抛物线焦点弦有关问题的重要途径.,思维升华,跟踪训练1 设P是抛物线y2＝4x上的一个动点，则点P到点A(－1,1)的距离与点P到直线x＝－1的距离之和的最小值为______.,答案,解析,如图，易知抛物线的焦点为F(1,0)，准线是x＝－1， 由抛物线的定义知：点P到直线x＝－1的距离等于点P 到F的距离.于是，问题转化为在抛物线上求一点P， 使点P到点A(－1,1)的距离与点P到F(1,0)的距离之和最小， 显然，连接AF与抛物线相交的点即为满足题意的点， 此时最小值为 .,几何画板展示,,题型二 抛物线的标准方程和几何性质,命题点1 求抛物线的标准方程 例2 已知双曲线C1： (a0，b0)的离心率为2.若抛物线C2：x2＝2py(p0)的焦点到双曲线C1的渐近线的距离为2，则抛物线C2的方程为,C.x2＝8y D.x2＝16y,答案,解析,,命题点2 抛物线的几何性质 例3 已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点为F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过F的直线与抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2＝－p2，x1x2＝ ；,证明,证明,,证明,(3)以AB为直径的圆与抛物线的准线相切.,(1)求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点位置、开口方向，在方程的类型已经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数p，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程. (2)在解决与抛物线的性质有关的问题时，要注意利用几何图形的形象、直观的特点来解题，特别是涉及焦点、顶点、准线的问题更是如此.,思维升华,,跟踪训练2 (1)(2016·全国乙卷)以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点.已知|AB|＝4 ，|DE|＝2 ，则C的焦点到准线的距离为 A.2 B.4 C.6 D.8,答案,解析,,(2)若抛物线y2＝4x上一点P到其焦点F的距离为3，延长PF交抛物线于Q，若O为坐标原点，则S△OPQ＝________.,答案,解析,,如图所示，由题意知，抛物线的焦点F的坐标为(1,0).,又|PF|＝3，由抛物线定义知：点P到准线x＝－1的距离为3，,∴点P的横坐标为2.将x＝2代入y2＝4x，得y2＝8，,,得2x2－5x＋2＝0，,,题型三 直线与抛物线的综合问题,命题点1 直线与抛物线的交点问题 例4 已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点.若 ＝0，则k＝________.,答案,解析,2,命题点2 与抛物线弦的中点有关的问题 例5 (2016·全国丙卷)已知抛物线C：y2＝2x的焦点为F，平行于x轴的两条直线l1，l2分别交C于A，B两点，交C的准线于P，Q两点. (1)若F段AB上，R是PQ的中点，证明：AR∥FQ；,证明,几何画板展示,,(2)若△PQF的面积是△ABF的面积的两倍，求AB中点的轨迹方程.,解答,几何画板展示,设过AB的直线为l，设l与x轴的交点为D(x1,0)， 所以x1＝1，x1＝0(舍去). 设满足条件的AB的中点为E(x，y).,(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系. (2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点.若过抛物线的焦点，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式. (3)涉及抛物线的弦长、中点、距离等相关问题时，一般利用根与系数的关系采用“设而不求”、“整体代入”等解法. 提醒：涉及弦的中点、斜率时一般用“点差法”求解.,思维升华,跟踪训练3 (2016·天津模拟)已知抛物线y2＝4x的焦点为F，直线l过点M(4,0).,由已知，得x＝4不合题意， 设直线l的方程为y＝k(x－4)， 由已知，得抛物线C的焦点坐标为(1,0)，,解答,(2)设A，B为抛物线上两点，且AB不垂直于x轴，若线段AB的垂直平分线恰过点M，求证：线段AB中点的横坐标为定值.,证明,,设线段AB中点的坐标为N(x0，y0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)， 因为AB不垂直于x轴，,,即线段AB中点的横坐标为定值2.,典例 (12分)已知抛物线C：y＝mx2(m0)，焦点为F，直线2x－y＋2＝0交抛物线C于A，B两点，P是线段AB的中点，过P作x轴的垂线交抛物线C于点Q. (1)求抛物线C的焦点坐标；,答案模板系列6,(2)若抛物线C上有一点R(xR,2)到焦点F的距离为3，求此时m的值；,(3)是否存在实数m，使△ABQ是以Q为直角顶点的直角三角形？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.,答题模板,思维点拨,,直线与圆锥曲线问题的求解策略,规范解答,,返回,返回,,课时作业,,1.(2017·太原月考)若抛物线y＝ax2的焦点坐标是(0,1)，则a等于,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,√,,2.已知抛物线y2＝2px(p0)，过其焦点且斜率为1的直线交抛物线于A、B两点，若线段AB的中点的纵坐标为2，则该抛物线的准线方程为,√,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,A.x＝1 B.x＝－1 C.x＝2 D.x＝－2,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,3.(2016·绵阳模拟)已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和l2的距离之和的最小值为,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,√,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,直线l2：x＝－1是抛物线y2＝4x的准线， 抛物线y2＝4x的焦点为F(1,0)， 则点P到直线l2：x＝－1的距离等于|PF|， 过点F作直线l1：4x－3y＋6＝0的垂线， 和抛物线的交点就是点P， 所以点P到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离和直线l2：x＝－1的距离之和的最小值就是点F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，,4.已知抛物线y2＝2px(p0)的焦点弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的值一定等于 A.－4 B.4 C.p2 D.－p2,√,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,①若焦点弦AB⊥x轴， 则x1＝x2＝ ，∴x1x2＝ ； ∴y1＝p，y2＝－p，∴y1y2＝－p2， ∴ ＝－4. ②若焦点弦AB不垂直于x轴， 可设AB的直线方程为y＝k(x－ )， 联立y2＝2px，得k2x2－(k2p＋2p)x＋ ＝0，,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,√,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,设A(x1，y1)(y10)，B(x2，y2)，C(－2，y3)，,∴λ＝3，故选D.,*6.(2016·济南模拟)已知直线y＝k(x＋2)(k0)与抛物线C：y2＝8x相交于A，B两点，F为C的焦点，若|FA|＝2|FB|，则k的值为,答案,解析,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,√,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,,抛物线C的准线为l。