2021年高考全国乙卷数学（文）试题及答案解析.pdf

绝密绝密启用前启用前河南省河南省 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学文科数学注意事项注意事项:1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题一、选择题:本题共本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1. 已知全集1,2,3,4,5U ，集合1,2 ,3,4MN，则()UMN（）A. 5B.1,2C.3,4D.1,2,3,42. 设i43iz ，则z（）A.34iB.34iC.34iD.34i3. 已知命题:,sin1pxxR命题:qx R| |e1x，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pq C.pqD.pq4. 函数( )sincos33xxf x 的最小正周期和最大值分别是（）A.3和2B.3和 2C.6和2D.6和 25. 若, x y满足约束条件4,2,3,xyxyy则3zxy的最小值为（）A. 18B. 10C. 6D. 46.225coscos1212（）A.12B.33C.22D.327. 在区间10,2随机取 1 个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.168. 下列函数中最小值为 4 的是（）A.224yxxB.4sinsinyxxC.222xxyD.4lnlnyxx9. 设函数1( )1xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A.11fxB.11fxC.11fxD.11fx10. 在正方体1111ABCDABC D中，P 为11B D的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.2B.3C.4D.611. 设 B 是椭圆22:15xCy的上顶点，点 P 在 C 上，则PB的最大值为（）A.52B.6C.5D. 212. 设0a ，若x a为函数 2fxa xaxb的极大值点，则（）A.abB.abC.2abaD.2ab a二、填空题：本题共二、填空题：本题共 4 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 20 分分13. 已知向量2,5 ,4ab，若/a br r，则_14. 双曲线22145xy的右焦点到直线280 xy的距离为_15. 记ABC的内角 A， B， C 的对边分别为 a， b， c， 面积为3，60B ，223acac， 则b _16. 以图为正视图，在图中选两个分别作为侧视图和俯视图，组成某个三棱锥的三视图，则所选侧视图和俯视图的编号依次为_（写出符合要求的一组答案即可） 三三、解答题解答题共共 70 分分解答应写出文字说明解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤证明过程或演算步骤，第第 1721 题为必考题题为必考题，每个试题考生都必须作答第每个试题考生都必须作答第 22、23 题为选考题，考生根据要求作答题为选考题，考生根据要求作答（一）必考题：共（一）必考题：共 60 分分17. 某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了 10 件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5旧设备和新设备生产产品的该项指标的样本平均数分别记为x和y，样本方差分别记为21s和22s（1）求x，y，21s，22s；（2）判断新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备是否有显著提高（如果2212210ssyx，则认为新设备生产产品的该项指标的均值较旧设备有显著提高，否则不认为有显著提高） 18. 如图，四棱锥PABCD的底面是矩形，PD 底面ABCD，M 为BC的中点，且PBAM（1）证明：平面PAM 平面PBD；（2）若1PDDC，求四棱锥PABCD的体积19. 设na是首项为 1 的等比数列，数列nb满足3nnnab 已知1a，23a，39a成等差数列（1）求na和nb的通项公式；（2）记nS和nT分别为na和nb的前 n 项和证明：2nnST 20. 已知抛物线2:2(0)C ypx p的焦点 F 到准线的距离为 2（1）求 C 的方程;（2）已知 O 为坐标原点，点 P 在 C 上，点 Q 满足9PF ，求直线OQ斜率的最大值.21. 已知函数32( )1f xxxax（1）讨论 f x的单调性；（2）求曲线 yf x过坐标原点的切线与曲线 yf x的公共点的坐标（二）选考题（二）选考题:共共 10 分请考生在第分请考生在第 22、23 题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题中任选一题作答如果多做则按所做的第一题计分题计分选修选修 4-4:坐标系与参数方程坐标系与参数方程22. 在直角坐标系xO y中，C的圆心为2,1C，半径为 1（1）写出C的一个参数方程;（2）过点4,1F作C的两条切线以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求这两条切线的极坐标方程选修选修 45:不等式选讲不等式选讲23. 已知函数 3f xxax（1）当1a 时，求不等式 6f x 的解集;（2）若 f xa ，求 a 的取值范围绝密绝密启用前启用前河南省河南省 2021 年普通高等学校招生全国统一考试年普通高等学校招生全国统一考试文科数学文科数学注意事项注意事项:1答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上2回答选择题时回答选择题时，选出每小题答案后选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑如需改如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号回答非选择题时，将答案写在答题卡上写在本试卷上无效本试卷上无效3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回一、选择题一、选择题:本题共本题共 12 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的是符合题目要求的1. 已知全集1,2,3,4,5U ，集合1,2 ,3,4MN，则()UMN（）A. 5B.1,2C.3,4D.1,2,3,4【答案】A【解析】【分析】首先进行并集运算，然后进行补集运算即可.【详解】由题意可得：1,2,3,4MN U，则 5UMN .故选：A.2. 设i43iz ，则z（）A.34iB.34iC.34iD.34i【答案】C【解析】【分析】由题意结合复数的运算法则即可求得 z 的值.【详解】由题意可得：2434343341i iiiziii.故选：C.3. 已知命题:,sin1pxxR命题:qx R| |e1x，则下列命题中为真命题的是（）A.pqB.pq C.pqD.pq【答案】A【解析】【分析】由正弦函数的有界性确定命题p的真假性，由指数函数的知识确定命题q的真假性，由此确定正确选项.【详解】由于sin 0=0，所以命题p为真命题；由于xye在R上为增函数，0 x ，所以| |01xee，所以命题q为真命题；所以pq为真命题，pq 、pq、pq为假命题.故选：A4. 函数( )sincos33xxf x 的最小正周期和最大值分别是（）A.3和2B.3和 2C.6和2D.6和 2【答案】C【解析】【分析】利用辅助角公式化简 f x，结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.【详解】由题，22( )sincos2sinco2sin3s3323234xxxxf xx，所以 f x的最小正周期为2613Tpp=，最大值为2.故选：C5. 若, x y满足约束条件4,2,3,xyxyy则3zxy的最小值为（）A. 18B. 10C. 6D. 4【答案】C【解析】【分析】由题意作出可行域，变换目标函数为3yxz ，数形结合即可得解.【详解】由题意，作出可行域，如图阴影部分所示，由43xyy可得点1,3A,转换目标函数3zxy为3yxz ，上下平移直线3yxz ，数形结合可得当直线过点A时,z取最小值，此时min3 1 36z .故选：C.6.225coscos1212（）A.12B.33C.22D.32【答案】D【解析】【分析】由题意结合诱导公式可得22225coscoscossin12121212，再由二倍角公式即可得解.【详解】由题意，2222225coscoscoscoscossin12121221212123cos26.故选：D.7. 在区间10,2随机取 1 个数，则取到的数小于13的概率为（）A.34B.23C.13D.16【答案】B【解析】【分析】根据几何概型的概率公式即可求出.【详解】设“区间10,2随机取 1 个数”，对应集合为：102xx，区间长度为12，A“取到的数小于13”， 对应集合为：103xx，区间长度为13，所以 10231302l AP Al故选：B【点睛】本题解题关键是明确事件“取到的数小于13”对应的范围，再根据几何概型的概率公式即可准确求出8. 下列函数中最小值为 4 的是（）A.224yxxB.4sinsinyxxC.222xxyD.4lnlnyxx【答案】C【解析】【分析】根据二次函数的性质可判断A选项不符合题意，再根据基本不等式“一正二定三相等”，即可得出,B D不符合题意，C符合题意【详解】对于 A，2224133yxxx，当且仅当1x 时取等号，所以其最小值为3，A 不符合题意；对于 B，因为0sin1x，4sin2 44sinyxx，当且仅当sin2x 时取等号，等号取不到，所以其最小值不为4，B 不符合题意；对于 C， 因为函数定义域为R， 而20 x，242222 442xxxxy， 当且仅当22x， 即1x 时取等号，所以其最小值为4，C 符合题意；对于 D，4lnlnyxx， 函数定义域为0,11,， 而ln xR且ln0 x ， 如当ln1x ，5y ，D 不符合题意故选：C【点睛】本题解题关键是理解基本不等式的使用条件，明确“一正二定三相等”的意义，再结合有关函数的性质即可解出9. 设函数1( )1xf xx，则下列函数中为奇函数的是（）A.11fxB.11fxC.11fxD.11fx【答案】B【解析】【分析】分别求出选项的函数解析式，再利用奇函数的定义即可.【详解】由题意可得12( )111xf xxx ，对于 A，2112f xx 不是奇函数；对于 B，211f xx是奇函数；对于 C，21122f xx ，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于 D，2112f xx ，定义域不关于原点对称，不是奇函数.故选：B【点睛】本题主要考查奇函数定义，考查学生对概念的理解，是一道容易题.10. 在正方体1111ABCDABC D中，P 为11B D的中点，则直线PB与1AD所成的角为（）A.2B.3C.4D.6【答案】D【解析】【分析】平移直线1AD至1BC，将直线PB与1AD所成的角转化为PB与1BC所成的角，解三角形即可.【详解】如图，连接11,BC PC PB，因为1AD1BC，所以1PBC或其补角为直线PB与1AD所成的角，因为1BB 平面1111DCBA，所以11BBPC，又111PCBD，1111BBBDB，所以1PC 平面1PBB，所以1PCPB，设正方体棱长为 2，则11111。