最新数学学案同步精致讲义选修21北师大版：第三章　圆锥曲线与方程 疑难规律方法 第三章 Word版含答案.doc

最新北师大版数学精品教学资料1　利用椭圆的定义解题椭圆定义反映了椭圆的本质特征，揭示了曲线存在的几何性质．有些问题，如果恰当运用定义来解决，可以起到事半功倍的效果，下面通过几个例子进行说明．1．求最值例1　线段|AB|＝4，|PA|＋|PB|＝6，M是AB的中点，当P点在同一平面内运动时，PM的长度的最小值是(　　)A．2B.C.D．5解析　由于|PA|＋|PB|＝6>4＝|AB|，故由椭圆定义知P点的轨迹是以M为中心，A，B为焦点的椭圆，且a＝3，c＝2，∴b＝＝.于是PM的长度的最小值是b＝.答案　C2．求动点坐标例2　椭圆＋＝1上到两个焦点F1，F2的距离之积最大的点的坐标是________．解析　设椭圆上的动点为P，由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|＝2a＝10，所以|PF1|·|PF2|≤2＝2＝25，当且仅当|PF1|＝|PF2|时取等号．由解得|PF1|＝|PF2|＝5＝a，此时点P恰好是椭圆短轴的两端点，即所求点的坐标为(±3,0)．答案　(±3,0)点评　由椭圆的定义可得“|PF1|＋|PF2|＝10”，即两个正数|PF1|，|PF2|的和为定值，结合基本不等式可求|PF1|，|PF2|积的最大值，结合图形可得所求点P的坐标．3．求焦点三角形面积例3　如图所示，已知椭圆的方程为＋＝1，若点P在第二象限，且∠PF1F2＝120°，求△PF1F2的面积．解　由已知，得a＝2，b＝，所以c＝＝1，|F1F2|＝2c＝2.在△PF1F2中，由余弦定理，得|PF2|2＝|PF1|2＋|F1F2|2－2|PF1||F1F2|cos120°，即|PF2|2＝|PF1|2＋4＋2|PF1|，①由椭圆定义，得|PF1|＋|PF2|＝4，即|PF2|＝4－|PF1|.②将②代入①，得|PF1|＝.所以＝|PF1||F1F2|·sin120°＝××2×＝，即△PF1F2的面积是.点评　在△PF1F2中，由椭圆的定义及余弦定理可得关于|PF1|，|PF2|的方程组，消去|PF2|可求|PF1|.从以上问题我们不难发现，凡涉及椭圆上的点及椭圆焦点的问题，我们应首先考虑利用椭圆的定义求解．2　如何求椭圆的离心率1．由椭圆的定义求离心率例1　以椭圆的焦距为直径并过两焦点的圆，交椭圆于4个不同的点，顺次连接这四个点和两个焦点恰好组成一个正六边形，那么这个椭圆的离心率为________．解析　如图所示，设椭圆的方程为＋＝1(a>b>0)，半焦距为c，由题意知∠F1AF2＝90°，∠AF2F1＝60°.∴|AF2|＝c，|AF1|＝2c·sin60°＝c.∴|AF1|＋|AF2|＝2a＝(＋1)c.∴e＝＝＝－1.答案　－1点评　本题利用了圆及正六边形的几何性质，并结合椭圆的定义，化难为易，使问题简单解决．2．解方程(组)求离心率例2　椭圆＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－c,0)，A(－a，0)，B(0，b)是两个顶点，如果F1到直线AB的距离为，则椭圆的离心率e＝________.解析　如图所示，直线AB的方程为＋＝1，即bx－ay＋ab＝0.∵点F1(－c,0)到直线AB的距离为，∴＝，∴|a－c|＝，即7a2－14ac＋7c2＝a2＋b2.又∵b2＝a2－c2，整理，得5a2－14ac＋8c2＝0.两边同除以a2并由e＝知，8e2－14e＋5＝0，解得e＝或e＝(舍去)．答案　3．利用数形结合求离心率例3　在平面直角坐标系中，已知椭圆＋＝1(a>b>0)，圆O的半径为a，过点P作圆O的两条切线，且这两条切线互相垂直，则离心率e＝________.解析　如图所示，切线PA，PB互相垂直，|PA|＝|PB|.又OA⊥PA，OB⊥PB，|OA|＝|OB|，则四边形OAPB是正方形，故|OP|＝|OA|，即＝a，∴e＝＝.答案　4．综合类例4　设M为椭圆＋＝1上一点，F1，F2为椭圆的左、右焦点，如果∠MF1F2＝75°，∠MF2F1＝15°，求椭圆的离心率．解　由正弦定理得＝＝＝＝，∴e＝＝＝＝.3　抛物线的焦点弦例1　如图所示，AB是抛物线y2＝2px(p>0)过焦点F的一条弦．设A(xA，yA)，B(xB，yB)，AB的中点M(x0，y0)，过A，M，B分别向抛物线的准线l作垂线，垂足分别为A1，M1，B1，则有以下重要结论：(1)以AB为直径的圆必与准线相切；(2)|AB|＝2(焦点弦长与中点坐标的关系)；(3)|AB|＝xB＋xB＋p；(4)A，B两点的横坐标之积，纵坐标之积为定值，即xAxB＝，yAyB＝－p2；(5)A1F⊥B1F；(6)A，O，B1三点共线；(7)＋＝.以下以第(7)条结论为例证明：证明　当直线AB的斜率不存在，即与x轴垂直时，|FA|＝|FB|＝p，∴＋＝＋＝.当直线AB的斜率存在时，设直线AB的方程为y＝k，并代入y2＝2px，∴2＝2px，即k2x2－p(2＋k2)x＋＝0.由A(xA，yA)，B(xB，yB)，则xA＋xB＝，xAxB＝.∵|FA|＝xA＋，|FB|＝xB＋，∴|FA|＋|FB|＝xA＋xB＋p，|FA|·|FB|＝＝xAxB＋(xA＋xB)＋＝(xA＋xB＋p)．∴|FA|＋|FB|＝|FA|·|FB|·，即＋＝.点评　该结论是抛物线过焦点的弦所具有的一个重要性质，解题时，不可忽视AB⊥x轴的情况．例2　设F为抛物线y2＝4x的焦点，A，B，C为该抛物线上三点，若＋＋＝0，则||＋||＋||＝________.解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，C(x3，y3)，又F(1,0)．由＋＋＝0知(x1－1)＋(x2－1)＋(x3－1)＝0，即x1＋x2＋x3＝3，||＋||＋||＝x1＋x2＋x3＋p＝6.答案　64　求曲线方程的常用方法曲线方程的求法是解析几何的重要内容和高考的常考点．求曲线方程时，应根据曲线的不同背景，不同的结构特征，选用不同的思路和方法，才能简捷明快地解决问题．下面对其求法进行探究．1．定义法求曲线方程时，如果动点轨迹满足已知曲线的定义，则可根据题设条件和图形的特点，恰当运用平面几何的知识去寻求其数量关系，再由曲线定义直接写出方程，这种方法叫作定义法．例1　如图，点A为圆形纸片内不同于圆心C的定点，动点M在圆周上，将纸片折起，使点M与点A重合，设折痕m交线段CM于点N.现将圆形纸片放在平面直角坐标系xOy中，设圆C：(x＋1)2＋y2＝4a2 (a>1)，A(1,0)，记点N的轨迹为曲线E.(1)证明曲线E是椭圆，并写出当a＝2时该椭圆的标准方程；(2)设直线l过点C和椭圆E的上顶点B，点A关于直线l的对称点为点Q，若椭圆E的离心率e∈，求点Q的纵坐标的取值范围．解　(1)依题意，直线m为线段AM的垂直平分线，∴|NA|＝|NM|.∴|NC|＋|NA|＝|NC|＋|NM|＝|CM|＝2a>2，∴N的轨迹是以C，A为焦点，长轴长为2a，焦距为2的椭圆．当a＝2时，长轴长为2a＝4，焦距为2c＝2，∴b2＝a2－c2＝3.∴椭圆的标准方程为＋＝1.(2)设椭圆的标准方程为＋＝1(a>b>0)．由(1)知：a2－b2＝1.又C(－1,0)，B(0，b)，∴直线l的方程为＋＝1，即bx－y＋b＝0.设Q(x，y)，∵点Q与点A(1,0)关于直线l对称，∴　消去x得y＝.∵离心率e∈，∴≤e2≤，即≤≤.∴≤a2≤4.∴≤b2＋1≤4，即≤b≤，∵y＝＝≤2，当且仅当b＝1时取等号．又当b＝时，y＝；当b＝时，y＝.∴≤y≤2.∴点Q的纵坐标的取值范围是[，2]．2．直接法若题设条件有明显的等量关系，或者可运用平面几何的知识推导出等量关系，则可通过“建系、设点、列式、化简、检验”五个步骤直接求出动点的轨迹方程，这种“五步法”可称为直接法．例2　已知直线l1：2x－3y＋2＝0，l2：3x－2y＋3＝0.有一动圆M(圆心和半径都在变动)与l1，l2都相交，并且l1，l2被截在圆内的两条线段的长度分别是定值26,24.求圆心M的轨迹方程．解　如图，设M(x，y)，圆半径为r，M到l1，l2的距离分别是d1，d2，则d＋132＝r2，d＋122＝r2，∴d－d＝25，即2－2＝25，化简得圆心M的轨迹方程是(x＋1)2－y2＝65.点评　若动点运动的规律是一些几何量的等量关系，则常用直接法求解，即将这些关系直接转化成含有动点坐标x，y的方程即可．3．待定系数法若已知曲线(轨迹)的形状，求曲线(轨迹)的方程时，可由待定系数法求解．例3　已知椭圆的对称轴为坐标轴，O为坐标原点，F是一个焦点，A是一个顶点，若椭圆的长轴长是6，且cos∠OFA＝，求椭圆的方程．解　椭圆的长轴长为6，cos∠OFA＝，所以点A不是长轴的顶点，是短轴的顶点，所以|OF|＝c，|AF|＝＝＝a＝3，＝，所以c＝2，b2＝32－22＝5，故椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.4．相关点法(或代入法)如果点P的运动轨迹或所在的曲线已知，又点P与点Q的坐标之间可以建立某种关系，借助于点P的运动轨迹便可得到点Q的运动轨迹．例4　如图所示，从双曲线x2－y2＝1上一点Q引直线l：x＋y＝2的垂线，垂足为N，求线段QN的中点P的轨迹方程．分析　设P(x，y)，因为P是QN的中点，为此需用P点的坐标表示Q点的坐标，然后代入双曲线方程即可．解　设P点坐标为(x，y)，双曲线上点Q的坐标为(x0，y0)，∵点P是线段QN的中点，∴N点的坐标为(2x－x0,2y－y0)．又点N在直线x＋y＝2上，∴2x－x0＋2y－y0＝2，即x0＋y0＝2x＋2y－2.①又QN⊥l，∴kQN＝＝1，即x0－y0＝x－y.②由①②，得x0＝(3x＋y－2)，y0＝(x＋3y－2)．又∵点Q在双曲线上，∴(3x＋y－2)2－(x＋3y－2)2＝1.化简，得2－2＝.∴线段QN的中点P的轨迹方程为2－2＝.点评　本题中动点P与点Q相关，而Q点的轨迹确定，所以解决这类问题的关键是找出P，Q两点坐标间的关系，用相关点法求解．5．参数法有时求动点满足的几何条件不易得出，也无明显的相关点，但却较易发现(或经分析可发现)这个动点的运动常常受到另一个变量(角度、斜率、比值、截距或时间等)的制约，即动点的坐标(x，y)中的x，y分别随另一个变量的变化而变化，我们可以设这个变量为参数，建立轨迹的参数方程，这种方法叫作参数法．例5　已知点P在直线x＝2上移动，直线l通过原点且与OP垂直，通过点A(1,0)及点P的直线m和直线l交于点Q，求点Q的轨迹方程．解　如图，设OP的斜率为k，则P(2,2k)．当k≠0时，直线l的方程为y＝－x；①直线m的方程为y＝2k(x－1)．②联立①②消去k，得2x2＋y2－2x＝0 (x≠1)．当k＝0时，点Q的坐标(0,0)也满足上式，故点Q的轨迹方程为2x2＋y2－2x＝0(x≠1)．5　解析几何中的定值与最值问题1．定点、定值问题对于解析几何中的定点、定值问题，要善于运用辩证的观点去思考分析，在动点的“变”中寻求定值的“不变”性，用特殊探索法(特殊值、特殊位置、特殊图形等)先确定出定值，揭开神秘的面纱，这样可将盲目的探索问题转化为有方向有目标的一般性证明。