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高等代数下半册复习 2 一、二次型及其矩阵表示 二、化二次型为标准型 三、正定二次型的判定 第五章 二次型 二次型对称矩阵 标准形对角矩阵 合 同 变 换 线 性 替 换 非 退 化 复 二 次 型 的 规 范 形 实 二 次 型 的 规 范 形 正惯性指数 ＝变元个数 n 单位矩阵 正定二次型正定矩阵 顺序主子式 全大于零 合 同 定理1定理2 定 理 7 定理3 定理4 定理6 负定、半正定、半负定、不定二次型 定理8 C´AC=B X=CY 3 把n阶实对称矩阵按合同分类，可以分成(n+1)(n+2)/2类. 把n阶复对称矩阵按合同分类，可以分成n+1类. 定理4 实数域上每一 n 元二次型都可经过非退化 的线性替换化成规范形： 定理3 复数域上每一 n 元二次型都可经过非退化 的线性替换化成规范形： 1、求二次型的标准形；实、复二次型的规范形. 方法： 1）配方法; 2）合同变换法；3）初等变换法； 4）正交替换法. 基本题型 5 2、实二次型的正定性的判断； 实二次型其它类型的判断. 方法： 1）用正定二次型的定义； 2）用非退化线性替换（或合同变换）化二次型为标准 形，从而求得其正惯性指数以判定原二次型的正定性; 3）计算矩阵的各级顺序主子式，若全大于零，则正定. 4）计算矩阵的特征值，若全大于0，则正定. 第六章 线性空间 一、概念 第六章 线性空间 Ø 如何判断非空集合V为数域P上的线性空间？ ü V上定义的加法与数量乘法运算封闭； ü 满足如下八条运算规则： v 加法四条： v数乘两条： v混合两条： 第六章 线性空间 Ø 什么叫线性空间V的维数、基与坐标？ ü n维：有n个线性无关向量，没有更多无关向量 ü 基：这n个线性无关的向量 ü 坐标：任何向量在基下的线表系数 第六章 线性空间 Ø 基变换 A为由基I到基II的过渡矩阵，可逆； A中各列表示基II中各向量在基I中的坐标 ü 基II基I Ø 坐标变换 ü X=AY，其中Y为向量在基II下坐标，而 X为该向量在基I坐标 第六章 线性空间 Ø 如何判断线性空间V的非空子集为子空间？ ü 对加法和数量乘法运算封闭 第六章 线性空间 Ø ：由 生成的子空间 ü 生成子空间的基与维数 齐次线性方程组的解空间的基与维数 第六章 线性空间 Ø 子空间的交与和 ü 都为子空间 ü 如何求两个子空间的交与和？（见例题习题） ü 如何求交与和子空间的基与维数？ （见例题习题） 第六章 线性空间 Ø 维数公式： 第六章 线性空间 ü 判别方法：分解惟一 零向量分解惟一 交为零子空间（即交只有零向量 ） dim(W)=dim(V1)+dim(V2) Ø 子空间的直和： 注：子空间的补空间一般不唯一，但正交补是唯一的. 第六章 线性空间 Ø 线性空间V到线性空间V’的同构映射： ü Ø 同构同维 Ø 任意dim(V)=n的线空V选定一组基 后： 补空间一般不唯一 7. 证明 的方法：1)证明是子空间，2)证明是和， 3)证明直和 第七章 线性变换 5. 值域与核 第七章 线性变换 Ø 如何判断一个线空V上的变换为线性变换？ ü 映射A ： A = A + A A A 第七章 线性变换 Ø 线性变换的运算 ü 两线变乘积：(AB) A (B 也为线变； ü 两线变加法：(A+B) A +B 亦线变； ü 数域P中的数与线变的数量乘法： kA=KA kA也为线变 Ø L(V)={数域P上线空V上的所有线变}=构成P上一个线空 ü 空V中选定一组基后，每个线变都与一个矩阵对应 ü L(V)与 同构，故维数是 Ø 可逆的线变：若AB=BA=恒等变换，则B为A的逆变换 第七章 线性变换 Ø 线性变换的矩阵：A ü 空V中选定一组基后，每个线变A都与一 个矩阵A对应 ü 矩阵A或是可逆的，或是不可逆的 欧式空间中，正交变换在一组标准正交基下的矩 阵是正交矩阵，对称变换在一组标准正交基下的矩阵 是实对称矩阵. 第七章 线性变换 Ø 利用线性变换的矩阵求向量的像 设A ，且 则A 第七章 线性变换 Ø 同一线性变换在不同基下矩阵的关系： ü 设A ， A ， 且 则有 ü A相似于B，记为A~B 相似矩阵的性质： (1) 若AB，则则f(A)f(B)， 其中 f(x)=amxm+am-1xm-1++a1x+a0是个多项项式 （2）相似的矩阵有相同的特征多项式，但反之不然 第七章 线性变换 Ø 线性变换的特征值与特征向量： A Ø 任选一组基：A Ø 矩阵A的特征多项式： Ø 如何确定线性变换的特征值和特征向量？ Ø 矩阵A的特征值与特征向量： 第七章 线性变换 Ø 特征子空间： ü 维数就是属于特征值 的线性无关的特征向量的最大个数 Ø A的所有特征值的和=A的迹 Ø A的所有特征值的积=A的行列式 Ø A不可逆 0是A的特征值 (1) k 是kA的特征值（k为任意常数），而且x 仍然是 矩阵kA属于特征值 k的特征向量； (2) m是Am的特征值，而且x仍然是矩阵Am属于特征值 , m 的特征向量; (3)若A可逆，则1为A1的一个特征值，而且x仍然是 矩阵A1的属于特征值 1的特征向量。

Ø 若是A的特征值, x 是A的属于 的特征向量则 Ø 判断线性变换在某组基下是否能为对角矩阵？ ü 判别准则是线性变换是否有n个线性无关的特征向量 Ø 属于不同特征值的特征向量是线性无关的 Ø 如何具体求出一组基，使线变在其下的矩阵是对角的？ ü 任选一组基：A ü 求出A的特征值与相应的特征向量（应该共有n个） ü 把这n个特征向量按列写成矩阵T ü 则基 即为所求 ü 线性变换在这个新基下的矩阵为对角的，对角线上是特征值 第七章 线性变换 第七章 线性变换 Ø 线性变换的值域AV：线性变换作用空V上的全体像集合 Ø 线性变换的核：所有被变换成零向量的向量组成的集合 ü 值域与核都是子空间 ü 值域的维数称为线变的秩 ü 核的维数称为线变的零度 Ø 值域的维数=线变的秩=线变在基下矩阵的秩 Ø 值域一组基的原像与核的一组基合起来就是V的一组基 ü 线变的秩+线变的零度=线空的维数 Ø 有限维线空的线性变换，单射满射 Ø 设 为V的一组基，则值域=L(A ,… A ) 第七章 线性变换 Ø 线性变换的不变子空间： ü W是线空V的子空间，如果W中的向量在 线变下仍在W中 ü 如何判断或证明不变子空间 第九章 欧几里得空间 第九章 欧几里得空间 Ø 如何判定欧几里得空间？ ü 实数域R上的线空V，若定义了内积，满足 v 第九章 欧几里得空间 Ø 向量的长度： Ø 向量的夹角： Ø 三角不等式： Ø 向量的正交或垂直： 第九章 欧几里得空间 Ø 基的度量矩阵： ü 设 则 v其中A为基的度量矩阵， Ø 不同基的度量矩阵是合同的 ü 设基 的度量矩阵为A， 基 的度量矩阵为B， 且有 则有 Ø 度量矩阵是实对称正定的 第九章 欧几里得空间 Ø 正交向量组：一组非零向量，两两正交 Ø 正交向量组是线性无关的 Ø 标准正交基：单位的、两两正交的基 Ø 标准正交基下， 第九章 欧几里得空间 Ø 会用Schimidt正交化算法 Ø (标正基II)=(标正基I)*正交矩阵 ü 由标正基到标正基的过渡矩阵是正交矩阵 ü 由标正基I及正交矩阵的过渡矩阵可得基II为标正基 Ø 正交矩阵的行列式等于1（第一类的）或-1（第二类的） Ø 正交矩阵： 第九章 欧几里得空间 Ø 判断欧空V到欧空V’的同构？ ü Ø 在标正基下，每个n维欧空都与 同构 Ø 两个有限维欧空，同构同维 第九章 欧几里得空间 Ø 正交变换：（线性）变换基础上保持内积不变 (A , A )= Ø 对于线性变换，以下四命题等价： ü 正交变换 ü 保持长度不变 ü 标正基的像仍是标正基 ü 在任一组标正基下的矩阵是正交矩阵 Ø 正交变换是一个欧空到其自身的同构映射 第九章 欧几里得空间 Ø 两个子空间的正交 Ø 向量与子空间的正交 Ø 子空间两两正交，则其和为直和 Ø 子空间V1的正交补V2： ü V1+V2=V ü V1⊥V2 Ø 子空间V1的正交补是唯一的 第九章 欧几里得空间 Ø 实对称矩阵的特征多项式的复根都为实数 Ø 对称变换：(A , )=( , A ) Ø 对称变换的不变子空间的正交补也是该对称变换的 不变子空间 Ø 实对称矩阵的属于不同特征值的特征向量必正交 第九章 欧几里得空间 Ø 用正交线性替换化实二次型为标准型 ü 求出A的特征值与相应的特征向量 ü 把这n个正交的、单位向量按列写成矩阵T ü 则X=TY即为所求 ü 满足T’AT=对角矩阵（对角线上元素为特征值） 即 Y’T’ATY=Y’对角矩阵Y=标准型 ü 写出实二次型的矩阵（实对称矩阵）A ü 把每个特征值的特征向量进行正交化、单位化 1、在欧式空间中证明 的两种方法： 4、证明正交补的方法 。