【教学】第二章 解析函数.ppt

编辑ppt,第二章 解析函数,2.1复变函数的概念,2.2解析函数的充要条件,2.3初等解析函数,编辑ppt,2.1复变函数的导数与微分,导数的定义2.1.1,设函数w=f (z)定义在区域D上，z0为D中一点，如果极限,存在，那么就说f (z)在z0处可导这个极限值称为f (z)在z0处的导数，记作,定义： 如果f(z) 在区域D内处处可导，则称f(z) 在D内可导编辑ppt,例：,编辑ppt,可导与连续,f(z)=x+2yi 在整个复平面上处处连续，却处处不可导连续,可导,求导法则,编辑ppt,解析函数的概念,定义：如果函数 f(z) 在z0及其z0 的邻域内处处可导，那么 称 f(z) 在z0解析如果 f(z) 在区域 D 内每一点处解析，那么称 f(z) 在D内解析如果 f(z) 在z0处不解析，那么称z0为f(z)的奇点由上述定义可知： 函数在区域内解析与在区域内可导是等价的函数在一点处解析与在一点处可导是两个不等价的函数在一点处可导未必在该点处解析编辑ppt,例：研究函数,的解析性解：因为w在复平面内除 z=0外处处可导，且,所以在除原点外的复平面内，该函数处处解析，而原点是它的奇点。

编辑ppt,定理 （1）在区域 D 内解析的两个函数f(z)与g(z)的和、差、 积、商（除去分母为零的点）在D内解析从此定理可以知道， 所有z的多项式在复平面内是处处解析的；,任何一个有理分式函数 在不含分母为零的点的区域内 是解析函数，使分母为零的点是它的奇点编辑ppt,2.2解析函数的充要条件,复变函数 f(z) = u(x,y) + iv(x,y) 在区域D内解析的充要条件是二元函数u(x,y), v(x,y)在D内任意一点Z=x+iy可微且在该点满足柯西-黎曼方程（C-R方程）编辑ppt,可微,复变类的一元函数,可导,连续,有限存在,有定义,编辑ppt,例 如果,在区域D内处处为零，那么 f (z) 在D内恒为常数证明：,故f (z) 在D内恒为常数编辑ppt,2.3初等解析函数,1.指数函数,定义2.3.1对任意的复数z=x+yi，规定函数,为z的指数函数，记做,编辑ppt,2.对数函数,对数函数定义为指数函数的反函数我们把满足方程,的函数w = f (z)称为对数函数，记作,设,由于Arg z 是多值的，所以对于每个非零 z，复对数 Ln z 也是多值的编辑ppt,3.幂函数,定义： 设 z为不为零的复变数，,为任意一个复数，我们定义,乘幂,当z 为正实变数、,上式与微积分中的乘幂的定义一致,当z 为复变数、,编辑ppt,例,2.3.2 求 和 的值。

由此可见， 的值全为正实数，它的主值是,编辑ppt,4.三角函数与双曲函数,于是正弦函数,余弦函数,双曲正弦函数,双曲余弦函数,当z为实变数时，左边的定义余初等微积分中的三角函数的定义一致,。