高中数学剖析平面向量的常见错误.doc

高中数学：剖析平面向量的常见错误 一、 忽视两向量夹角的定义致错例1：已知中，，求的值．错解: =剖析:两非零向量与夹角必须是从同一起点出发,且（）,而的夹角不是,而是的补角,即　正解: =二、 忽视两向量夹角的范围致错例2：已知向量=2，=2，求与夹角．错解:由得即2即 ∴ ∴ ∴ 剖析: 此题忽略了两非零向量夹角的取值范围为，从而错误地写出 正解: 在内，使的角只有一个，∴三、 忽视分类讨论致错例3：已知中，，，有一个内角为直角，求实数的值．错解: 由得=　则　剖析: 因为为直角三角形，哪一个角是直角没有明确给出，所以在解题中应分三种情况进行讨论．正解: ①若 由=得 ②若 则 又则 得 ③ 若 则 即 整理得无实数解，故不存在实数综上所述：当或时，有一个内角为直角．四、 把向量等同线段出错例4：已知，，求证：错解: 由， 得 ∥所以 ， 故 剖析: 上述错解主要把向量等同于线段导致错误．中学阶段定义的向量运算有：加法、减法、数乘、数量积，没有写法．正解: 由，从而得证．五、 忽视充要条件出错例5：已知向量， 与夹角为，当向量＋与＋的夹角是锐角时，求实数的范围．错解: ∵＋与＋的夹角是锐角　　 ∴（＋）（＋）即 ∵ ， 且 = ∴ 即 解得或剖析: 两向量与夹角为锐角时，其数量积大于；但反之不然，当两向量与夹角为，即两向量共线时，数量积也大于．正解: 当时， ＋与＋的夹角为，此时（＋）（＋） 故应舍去，∴ 从而的取值范围为或且．评注： ①若为直角，则； ②若为钝角，则 且反向不共线；③若为锐角，则 且同向不共线．六、 忽视向量特性致错例6：已知和都是非常向量，且，求与的夹角．错解: 由题得即由得 又∵为非常向量 ∴把 得 ，设与夹角为则∵ ∴剖析: 在上述解法中，由得到，因为两边均为实数，两边均为向量，我们没有学过向量的除法，不能随便约去，这是实数运算与向量运算的重要区别之一．正解: 由 、得 即 代入得， 即　= ． 设与夹角为，则∵ ∴．。