高等数学邱茂路1.ppt

第八章 多元函数微分学,多元函数就是有多个自变量的函数多元函数微分学的核心内容是偏导数与全微分的概念及运算本章包括九节前三节主要介绍一些术语，其中包括多元函数的极限与连续的概念中间四节是本章重点，其中包括偏导数与全微分的概念，偏导数与全微分的计算方法最后两节是多元函数微分学在极值计算中的应用8.1 空间解析几何简介,8.2 多元函数,8.3 二元函数的极限与连续,8.4 偏导数,8.5 全微分,8.6 复合函数微分法,8.7 隐函数微分法,,,8.8 二元函数的极值,8.9 条件极值,§ 8. 1,8.1 空间解析几何简介,8.1.1 空间直角坐标系,,,多元函数的研究，需要一些空间解析几何的知识本节的目的，就是介绍这些知识过空间一点O，作三条互相垂直的数轴OX，OY，OZ，并按右手规则确定方向，即四指由OX轴正向，转向OY轴正向，则拇指指向OZ轴的正向，这样就建立了空间直角坐标系，如图8.1-1§ 8. 1,,,O称为坐标原点，三条数轴，称为坐标轴每两条坐标轴确定一个坐标平面，由OX，OY轴确定的坐标平面称为XY坐标平面其余类推如图8.1-2。

§ 8. 1,,,给定一个三元数组(x, y, z )，如图8.1-3所示，我们沿OX轴走x单位距离(x > 0，沿OX轴正向，x < 0，沿OX轴负向)，接着再沿平行于OY轴的方向走y单位距离，再沿平行于OZ轴的方向走z单位距离，找到一点M反过来，若给定空间一点M，逆着上述过程可得到一个三元数组(x, y, z )这样，空间中的点M，与三元数组(x, y, z )之间便建立了一一对应的关系,M  (x, y , z ),三元数组(x, y, z )称为点M的坐标，x, y , z 分别称为点M 的第一分量、第二分量、第三分量§ 8. 1,,,8.1.2 空间两点间的距离,由图8.1-4，利用勾股定理，可得空间两点M1 (x1, y1, z1 )，M2 (x2, y2 , z2 )之间的距离公式,它与直线上两点间的距离,平面上两点间的距离,具有同一个形式由此，你不难得出四维、五维空间的两点间距离公式该是什么样子§ 8. 1,8.1.3 空间中的曲面与方程,,,一般说来，一个三元方程F(x,y,z) = 0有无穷多解，每一个解(x, y, z )在空间可表示为一个点，则方程F(x, y , z ) = 0的所有解将给出空间中的一张曲面S，我们把S叫做方程F(x, y , z ) = 0的曲面，而把方程F(x, y , z ) = 0叫做曲面S的方程。

例8.1.1．方程,(x-x0)2 + (y-y0)2 + (z-z0)2 = R2 (1),的解集，给出空间中的球面，球心在(x0, y0 , z0 )，半径为R见图8.1-5方程(1)叫球面的方程§ 8. 1,,,例8.1.2．方程,Ax + B y + Cz + D = 0 (2),给出空间中的平面，平面在空间中的摆放，由系数A、B、C、D来确定如图8.1-6、图8.1-7方程(2)叫平面方程的一般形式§ 8. 1,,,例如，已知两点M1(1,-1,0)，M2(2,0,-2)，考虑线段M1 M2的垂直平分面的方程见图8.1-8 MM1 | = | MM2 |,想象这个垂直平分面由一个动点M(例如铅笔的笔尖)描出，则M必满足方程,即,整理，得 x + y + 2z - 3 = 0,可见线段M1M2的垂直平分面的方程就是一个形如(2)式的方程§ 8. 1,,,例8.1.3．方程,x2 + y2 = R2,的解集给出空间中的圆柱面，它在XY平面上的解集为一个圆用类似的分析可知,在空间直角坐标系中:,当点(x, y, 0)是方程的解，即点(x, y, 0)在圆上，则对z，(x, y, z)也是方程的解。

这些解构成过点(x, y, 0)平行于 z 轴的一条直线，所有这样的直线，就形成了一个圆柱面如图8.1-9若方程缺少变量，其解曲面一定是平行于所缺变量坐标轴的柱面我们经常利用这一点来确定一个方程所表示的曲面在空间的摆放方式§ 8. 1,,,例8.1.4．方程 x = 4，缺两个变量，因此方程所表示的曲面既平行于Y轴又平行于Z轴方程x = 4的解集是平行于YZ坐标平面的平面，且到YZ坐标面的距离是4如图8.1-10注意，x = 4在一维空间中表示一点，在二维空间中表示一条直线，方程的图形与所在空间的维数有关§ 8. 2,8.2 多元函数,8.2.1 平面区域,,,平面上由一条或几条曲线围成的部分叫区域如图8.2-1围成区域的曲线叫区域的边界曲线包括边界的区域叫闭区域，不包括边界区域的叫开区域§ 8. 2,,,区域通常由不等式组的解集给出例如,不等式x2 + y2  4的解集为闭圆域,见图8.2-2.,表示为 不等式组 的解集为闭环域，,表示为 ，见图8.2-3§ 8. 2,,,直观上，不连通的区域是由几块“彼此隔离”的区域组成的，如图8.2-7，而连通的区域是一块区域。

若区域延伸到无穷远，称区域为无界区域；若区域总能被某个半径为R的圆所包围，称区域为有界区域§ 8. 2,,,8.2.2 多元函数的概念,若变量u依赖于两个变量x, y，称变量u是两个变量x, y的二元函数，记为u = f (x, y)例如，一个矩形面积S，就依赖于矩形的长x和宽y，面积S就是一个二元函数，S = xy 若变量u 依赖于三个变量x, y, z，称变量u是三个变量x, y, z的函数，记为u = f (x, y, z)例如，一个长方体，长、宽、高分别为x, y, z，则体积和表面积,V = x y z,S = 2xy + 2yz + 2zx,都是一个三元函数§ 8. 2,,,一般地，若变量u依赖于n个变量x1, …, xn(此时变量不再用不同的字母表示，而是用带有下标的同一个字母表示)，称变量u是n个变量x1, …, xn的n元函数，记为,u = f (x1,…, xn),一般人们称多于一个自变量的函数，叫多元函数在多元函数中，二元函数的理论最重要因为二元函数，可以象一元函数那样用图形表示，因而一些结论直观，便于理解，表述起来相对简单，而且二元函数也最常用更重要的是，多元函数的一般理论与二元函数是类似的。

因此，以下两章中，就以二元函数为主进行讨论§ 8. 2,,,与一元函数一样，自变量的变化范围称为函数的定义域，二元函数的定义域通常为平面上的一个区域确定一个函数的定义域，也是考虑两个方面，一个是实际意义，一个是使函数的表达式有意义例如矩形面积,S = xy,定义域就是XY平面上第一象限内点的集合,函数 的定义域，就是满足不等式,4 - x2 + y2  0,的解集，即,这是平面上的一个闭区域§ 8. 2,,,将平面上的一个点(x, y)，用一个字母P表示(P为point的第一个字母)，在很多情况下表达起来是很方便的，这时u随着x, y的变化而变化，就可说u随着点P的变化而变化u是x, y的函数，就可说u是P的函数，记成,u = f (P),前面对多元函数的描述，不应算作是定义，因为其中有一个没有说清楚的东西，就是“u依赖于x, y”正式的定义，应该把函数定义成一个对应规则：,这时二元函数表述起来几乎象一元函数一样§ 8. 2,,,定义 8.2.1：,设D是平面上的一个区域，若对PD，按照对应规则f，有唯一确定的实数u与之对应，称u是P的函数，记为,u = f (P),或 u = f (x, y),记D为f的定义域，x, y为自变量。

§ 8. 2,,,8.2.3 二元函数的几何表示,给定一个二元函数z = f (x, y)，其定义域为XY平面上的一个区域D，对(x,y)D，有唯一确定的z与之对应，以(x, y, z)为点的坐标，在空间中可定出一点当(x, y)走遍D，所有这种点(x, y, z)便在空间中形成一张曲面，称为二元函数z = f (x, y)的图象或图形用上节的术语，二元函数z = f (x, y)的图象，也就是方程z = f (x, y)的解曲面见图8.2-8§ 8. 2,,,函数z = x2 - y2的图像，见图8.2-10函数z = x2 - y2的图像常称为马鞍面例如：函数 的图像，见图8.2-9函数 的图像常称为钟形曲面图8.2-9,图8.2-10,函数z = x2 + y2的图像，见图8.2-11函数z = x2 + y2的图像常称为旋转抛物面图8.2-11,§ 8. 3,8.3 二元函数的极限与连续,对于二元函数,,,8.3.1 二元函数的极限,z = f (P)，P为点(x, y),其极限与连续的定义，在形式上与一元函数一样若当P  P0时，f (P)无限趋于常数A，称当P  P0时，f P)的极限为A，记为,或,§ 8. 3,,,解：,例8.3.1．求,其中，第二步利用了重要极限。

解：,例8.3.2．求,= 0,其中，第二步利用了“有界量与无穷小量的积还是无穷小量”§ 8. 3,8.3.2 二元函数的连续性,,,若当P  P0时，f (P)的极限存在，且等于P0处的函数值，即,称二元函数在P0处连续若f (P)在区域D上处处连续，称f (P)在D上连续若P表示n维空间中的点(x1,…, xn)，上述定义可看作是n元函数的极限与连续的定义§ 8. 3,,,8.3.3 连续函数的性质,与一元函数类似，连续函数有性质：,(2)．连续函数的复合函数还是连续函数3)．若f (x)是一元连续函数，则把z = f (x)看作x, y的二元函数，也是二元连续函数 就像我们把y = C看作x的一元函数一样，在讨论二元函数时，我们把 z = f (x)看作x, y的二元函数，尽管z 并不依赖于y，或者说，尽管 f (x)中并不含有y )§ 8. 3,,,类似地，xy连续，ev连续，从而复合函数exy连续利用上述性质，就可由一元初等函数的连续性来判断一个二元函数的连续性例如,由 x2，y2 连续，其和 x2 + y2 连续；sinu 连续，从而复合函数 sin (x2 + y2) 连续。

f (x, y) = sin (x2+y2) + exy,所以和sin (x2y2) + exy连续§ 8. 3,8.3.4 有界闭区域上连续函数的性质,,,有界闭区域上的连续函数具有下述性质：,(1)．若f (P)是有界闭区域上的连续函数，则f (P)必有界，即,M，使得| f (P)| M2)．若f (P)是有界闭区域上的连续函数，则f (P)必取得最大值与最小值，,即，存在 P1D，使得,f (P)  f (P1) , PD,存在P2D，使得,f (P)  f (P2) , PD,§ 8. 3,,,即，C，m  C  M,(3)．若f (P)是有界连通闭区域上的连续函数，则对于任一介于最大值与最小值之间的值C，C必是某点的函数值, PD，s.t. f (P) = C,这些性质，记住就行了有界连通闭区域上的连续函数，其图形是一张连续的曲面下面一条性质，除了要求区域是“有界”的、“闭”的以外，还要求区域是“连通”的§ 8. 4,8.4 偏导数,8.4.1 在一点处的偏导数,,,对于二元函数z = f (x, y)，将y固定在y0，则z = f (x, y0)便成为x的一元函数(见图8.4-1)。

一元函数z = f (x, y0)在x0处的导数，称为函数 f (x, y)在(x0, y0)处对x的偏导数值，记为,。