2020考研数学一真题参考1990答案解析.pdf

2020年全国硕士研究生入学统一考试数学一试题解析一、填空题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分x t 2（1）过点M (1, 2, 1) 且与直线y 3t 4 垂直的平面方程是z t 1 【答案】 x 3y z 4 0. 【解析】由直线的参数方程，可得直线的方向向量l ( 1, 3,1) ，所求平面的法向量n 平行于所给直线的方向向量l ( 1, 3,1) ，取n l ，又平面过已知点M (1, 2, 1) . 已知平面的法向量和过已知点可唯一确定这个平面，所求平面的方程为(x 1) 3( y 2) (z 1) 0, 化简即是x 3y z 4 0. （2）设a 为非零常数，则lim( x a )x = 答案】e2 a . xx a 【解析】此题考查重要极限： lim(11 )x e. lim( x a )x lim (1a )xx xxxx a x(1a )xx (1ax a )a limx x(1ax a)a x eaeae2a . x a x 2ax a x2a2a x a 2a或由lim( xxa ) lim 1xx a 1, | x | 1,e . （3）设函数f (x) 0, | x | 1,则f f (x)= 。

答案】1. 【解析】对于分段函数的复合函数求解必须取遍内层函数的值域，不能遗漏，求出复合后函数的所有可能的解析式. 0 x根据 f (x) 的定义知，当| x | 1 时，有 f (x) 1. 代入 f f (x) ，又 f (1) 1.于是当| x | 1 时，复合函数 f f (x) 1 ；当| x | 1时，有 f (x) 0. 代入 f f (x)，又 f (0) 1, 即当| x | 1时，也有 f f (x) 1 .因此，对任意的 x (, ) ，有 f f (x) 1 . （4）积分2dx2ey2 dy 的值等于答案】 1 (1e4 ). 2【解析】这是一个二重积分的累次积分，因ey2 的原函数不是初等函数，先对y 积分积不出来，所以应该改换积分次序，先表成：原式ey2 dxdy. 由累次积分的内外层积分限确定积分区域D ：D0 x 2, x y 2, 如图所示，然后交换积分次序. y 2 D y x x 2 原式2 dy y ey2 dx 2 yey2 dy 0 0 0 1 ey2 2 1 (1 e4 ). 2 0 2 （5）已知向量组1 (1, 2, 3, 4),2 (2, 3, 4,5),3 (3, 4,5, 6),4 (4,5, 6, 7) ，则该向量的秩是。

答案】2. 【解析】经过初等变换后向量组的秩不变. 1 1 2 3 4所以有A 2 3 4 52 3 3 4 5 64 5 6 74 第一行r1分别乘以2、3、4加到第二行、第三行、第四行上，得到A 继续作初等变换第二行r2 分别乘以2、3加到第三行、第四行上，再自乘1有1 2 3 40 1 2 3A 0 0 0 00 0 0 0因为最后得出的矩阵有二阶子式 0 ，而三阶子式 0 ，由矩阵秩的定义，有r 1,2,3,4r( A) 2.所以此题应填2 . 二、选择题（本题共 5 个小题，每小题 3 分，满分 15 分1）设f (x) 是连续函数，且f (x) f (x)2 ，则等于(A) ex f (ex ) f (x) (B) ex f (ex ) f (x) (C) ex f (ex ) f (x) (D) ex f (ex ) f (x) 【答案】 A. 【解析】对积分上限的函数的求导公式：(t ) 若F(t)(t)f (x)dx，(t)，(t)均一阶可导，则F (t) (t) f (t)(t) f (t).复合函数求导法则，如果u g(x) 在点 x 可导，而 y f (x) 在点u g(x) 可导，则复合函数y f g(x)在点x 可导，且其导数为dy dx f (u) g (x) dy dy du 或dx du dx 所以两边求导数, F (x) f (ex )(ex ) f (x)(x)ex f (ex ) f (x). 故本题选 A. （2）已知函数f (x) 具有任意阶导数，且f (x) f (x)2 ，则当n 为大于 2 的正整数时，f (x) 的n 阶导数f n (x) 是(A) n! f (x)n 1(B) n f (x)n 1(C) f (x)2n(D) n! f (x)2n12 3 4 01 2 30 02 3 4 6 69nnn n n【答案】 A. 【解析】本题考查高阶导数的求法. 为方便记y f (x) . 由y y2 ，逐次求导得y 2 yy 2 y3 , y 3! y2 y 3! y4 , ，由第一归纳法，可归纳证明 y(n) n! yn 1假设n k 成立，即y(k ) k ! yk 1 ，则y(k1)y(k)k ! yk 1k 1 ! yky k 1 ! yk 11所以n k 1 亦成立，原假设成立. （3）设为常数，则级数n 1(sin n1 ) n2 (A)绝对收敛(B) 条件收敛(C)发散(D) 收敛性与的取值有关【答案】 C . 【解析】本题可利用分解法判别级数的敛散性（收敛级数与发散级数之和为发散级数）. 1 1发散 . 因为此为p 级数：np 当p 1时收敛；当p 1时发散 . n 1 sin nn 11 1 2n 1 收敛 . 因为由三角函数的有界性2 ，而p 级数：2 收敛，n 1 根据正项级数的比较判别法：vn设un和vn都是正项级数，且limA, 则n 1n 1nun（ 1）当0A时，un和vn同时收敛或同时发散；n 1 n 1 （ 2）当A0时，若un收敛，则vn收敛；若vn发散，则un发散；n 1n 1n 1n 1 （ 3）当A时，若vn收敛，则un收敛；若un发散，则vn发散 . 所以n 1sin nn2 n 1 收敛，所以级数n 1n 1 sin nn2 绝对收敛 . n 1 n 1 由收敛级数与发散级数之和为发散级数，可得sin nn2 级数( n 1sin nn2 1 ) 发散 . n故选 (C). （4）已知f (x) 在x 0 的某个领域内连续，且f (0) 0 ，lim f (x) 2 ，则在点x 0 处x0 1 cos x (A) 不可导(B) 可导，且f (0) 0 (C)取得极大值(D) 取得极小值【答案】 D. 【解析】利用极限的保号性可以判断的正负号：设lim f (x) A. 若 A 0 0, 当0 xx0 x x0时， f (x) 0 . 若 0, 当0 x x0时有 f (x) 0 ，则 A 0 . 所以，有lim f (x) 2 0 f (x) 0 （在x 0 的某空心领域）x0 1 cos x 由1 cos x 0 ，有 f (x) 0 1 cos x f (0) ，即f (x) 在x 0 取极小值，应选(D) 本题还可特殊选取满足题中条件的f (x) 2 1 cos x . 显然，它在x 0 取得极小值，其余的都不正确，这样本题仍选(D) （5）已知1 、2 是非齐次线性方程组Ax b 的两个不同的解，1 、2 是对应齐次线性方程组Ax 0 的基础解系，k1, k2 为任意常数，则方程组Ax b 的通解（一般解）必是(A) k k () 1 2(B) k k () 1 21 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 2(C) k k () 1 2(D) k k () 1 21 1 2 1 2 2【答案】 B 1 1 2 1 2 2【解析】本题考查解的性质和解的结构. 从1 、2 是对应齐次线性方程组Ax 0 的基础解系，知Ax b 的通解形式为k11 k22 , 其中1,2 是Ax 0 的基础解系，是Ax b 的一个特解 . 由解的性质：如果1,2 是Ax 0 的两个解，则其线性组合k11 k22 仍是Ax 0 的解；如果是Ax b 的一个解，是Ax 0 的一个解，则仍是Ax b 的解 . 所以有：，1 2 ， 都是Ax 0 的解，1 1 2 21 2 1 2 1 2 是Ax b 的一个特解 . 2那么看各个选项，(A) 中没有特解, (C) 中既没有特解, 且1 2 也不是Ax 0 的解 . ln(1x) 2 x 1 (D) 中虽有特解，但1 ，1 2 的线性相关性不能判定，故(A) 、(C) 、(D) 均是不正确的 . 再看 (B) ，1 2 是Ax b 的一个特解，是Ax 0 的线性无关的解，是基础解系，故本题选(B). 2 1 1 2 三、（本题满分 15 分，每小题 5 分。

1 ln(1x) （1）求0(2 x)2dx（2）设z 2 z f (2x y, y sin x) ，其中f (u, v) 具有连续的二阶偏导数，求x y 3）求微分方程y 4 y 4 y e2 x 的通解（一般解）（1）【答案】1 ln 2. 3【解析】分部积分法的关键是要选好谁先进入积分号的问题，如果选择不当可能引起更繁杂的计算，最后甚至算不出结果来在做题的时候应该好好总结，积累经验假定u u(x) 与v v(x) 均具有连续的导函数，则uv dx uv u vdx, 或者udv uv vdu. 由1 dx (2 x)2 d (2 x) d ( 1 ) 有(2 x)2 2 x 1 1 1 1 1 dx 原式0ln(1x)d ( 2 x )分部法0 02 x x 1 1因为，由分项法1 ( 1 1 ) 2 x 1x 3 2 x 1x 所以，原式ln 211(11)dx3 0 2 x 1x ln 2 1 ln(2 x) 1 ln(1x) 1 1 ln 2 . 3（2）【答案】2 f 0 0 (2 sin x y cos x) f 3 y sin x cos xf cos xf . 11 12 22 2 【解析】这是带抽象函数记号的复合函数的二阶混合偏导数，重要的是要分清函数是如何复合的. z z 由于混合偏导数在连续条件下与求导次序无关，可以先求x ，再求y ( x ) ，如方法 1; z z 也可以先求y ，再求x ( y ) ，如方法 2. 由复合函数求偏导的链式法则：如果函数u (x, y), v (x, y) 都在点(x, y) 具有对x 及对y 的偏导数，函数z f (u, v) 在对应点(u, v) 具有连续偏导数，则复合函数z f ( (x, y),(x, y) 在点(x, y) 的两个偏导数存在，且有z z u z v f u f v ；x u x v x 1 x 2 x z z u z v f u f v .y z 方法 1：先求，x u y v y 1 y 2 y z f (2x y) f ( y sin x) 2 f y cos xf 。

x 1 x 2 x 1 2 2 z x y y (2 f1 y cos xf2 ) 2( f (2x y) f ( y sin x) cos xf ( f (2x y) f ( y sin x) y cos x 11 y12 y2 21 y22 y 2(f sin xf ) cos xf (f sin xf ) y cos x 11 12 2 21 22 2 f (2 sin x y cos x) f y sin x cos xf cos xf 11 12 22 2 z 方法 2：先求，y z f (2x y) f ( y sin x) f sin xf y 1 y 2 y 1 2 2 z x y x (f1 sin xf2 ) ( f (2x y) f ( y sin x) cos xf ( f (2x y) f ( y sin x) sin x 11 x12 x2 21 x22 x(2 f y cos xf ) cos xf (2 f y cos xf ) sin x 11 12 2 21 22 2 f (2 sin x y cos x) f y sin x cos xf cos xf . 11 12 22 2 （3）【答案】。