
第5讲 几何图形为背景的特殊四边形-冲刺2022年中考数学压轴题上海.pdf
21页第5讲几何图形为背景的特殊四边形-(2022青浦、崇明、宝山、嘉定、闵行一模25题解法分析经典变式练)教学重难点l理解平行四边形的性质和判定;2能应用平行匹边形的性质和判定进行相关计算和证明;3培养学生能在点的运动过程中寻找平行四边形,继而解决相关问题;4培养学生分类讨论的能力,能应用分类讨论思想解决相关问题;5体验运动过程,培养学生动态数学思维能力备注】:l根据后面两个图让学生回顾平行四边形的性质和判定,为后面的例题讲解做好准备;2部分地方引导学生填空,让学生自己回顾时间大概5分钟平行四边形的性质:对边平行J.相子必对角伐互相平兮对角相等中心对森汾彩平行四边形的判定:I,角,对角相等的四边彤2边:(J)丙值对边今剔平行的四边彤,面值对边令扒相等的四边彤,一值对边平行且相等的四边形3对角钱,对角伐主相平今的四边彤【备注】:l以下每题教法建议,请老师根据学生实际情况参考;2在讲解时:不宜采用灌输的方法,应采用启发、诱导的策略,并在读题时引导学生发现一些题目中的条件(相等的量、不变的量、隐藏的量等等),使学生在复杂的背景下自已发现、领悟题目的意思;3可以根据各题的“教法指导“引导学生逐步解题,并采用讲练结合;注意边讲解边让学生计算,加强师生之间的互动性,让学生参与到例题的分析中来;4例题讲解,可以根据“参考教法”中的问题引导学生分析题目,边讲边让学生书写,每个问题后面有答案提示;5引导的技巧:直接提醒,问题式引导,类比式引导等等;6部分例题可以先让学生自己试一试,之后再结合学生做的情况讲评;7每个题目的讲解时间根据实际情况处理,建议每题7分钟,选讲例题在时间足够的情况下讲解。
例1.(2022青浦一模25题)在四边形ABC肛P,ADIi BC,AB=,AD=2,DC=2,tan乙ABC=2(如图)点E是射线AD上一点,点F是边BC上一点,联结BE、EF,且乙BEF乙DCB.(1)求线段B组勺长;(2)当FB=F职,求线段B庉勺长;(3)当点礁线段4励延长线上时,设fJE=x,BF=y,求y关千舶函数解析式,并写出x的取值范围A ED B F C c【解答】解:1 七一F(备用图)(1)如图1,过点A、D分别作Af!.lBC、DG.lBC,垂足分别为点l/、点G.ED r-尸.M G 图1c:.A/Ill DC,:ADIi BC,:四边形AHCD,是矩形,:.AD=HG=2,AH=/JG,在Rt/:.,.AB历飞tan乙ABC=2,A庐乔,骨2,:.AH=2B/J,:A片朋威,:.(2BH)红朋(五)2,:.BH=1,:.AH=2,:.DG=2,在RtAD6叫,沉2森,:.CG二司(讨正了4,:.BC=Bff+-HG+GC=1+2+4=7;(2)如图,过点E作风1.LBC,垂足为点从:.AHi/EM,:ADIi BC,:四边形AI-IiIfE是矩形,.EJW=AH=2,在RLAD6叫二1,DG=2,CG=4,:.tan乙DCB=坠上,CG 2:FB=FE,:.乙FHB=乙访.:乙I,、EB乙从?B,:乙FBE乙从?B,1:.tan乙FBE=.!:.2:堕上,BJl 2:.BM=4,在Rt6EFA忤,FM+EJ!=Fi!,:.(4-FB)2+i=F,片,5:.BF=;2(3)如图2,过点E作伈V/DC,交比的延长线于点N.A B F NE,G 0 _ 图2:DEii CN,:四边形DCNt:是平行四边形,.DE=CN,乙仪?B=-乙EIVB,飞FEB乙DCB,:乙FEB=乙BVB,又?乙EBF 乙NBE,:.6BEF(/)6/3JVE,:翌竖BE BN:.BF=BFRr,过点E作EQ上BC,垂足为点从则四边形D6OE是矩形,:.EQ=DC=2,:.BQ=x+3.:昭0矿闵(入斗3)2+z2=i+6对13,:.y(7+x)=i+6x+l3.2 x+6x+13 y(Ox:1蠢7+x 2)例2(2022崇明一模25题)已知:如图,正方形的边长为1,在射线AB上取一点E,联结DE,将ADE绕点D针旋转90,E点落在点F处,联结EF,与对角线BO所在的直线交千点/I,与射线DC交千点凡求证:A E B F A D c D c(凸川川1寸)1(1)当AE=时,求tanLEDB的值;3(2)当如段AB上,如果AE=x,FM=y,求y关千x的函数解析式,并写出定义域;1(3)联结AM,直线胱与直线BC交于点G,当BG=时,求A咱勺值3【小问详解】解:过点月乍EH上BD与H,A D E B c F?止方形的边长为l,AE=,1 3 1 2:.EB=1-AE=1-:-=-=-,3 3:BD为正方形对角线,出严分乙ABC,:.乙AB)=45?EH上BD,:.乙BEf/=180乙EBf/-乙EHB=l80-45-90=45,:.EH=BH,2五1.EH=Bf/=BEs in45=-=-x=,AB=BDcos45,3 2 3 5:.BD=l+五,2:.DJ/=DB-B/f=J 心2&-=,3 3 5 EH 3 1 tan乙EDB=-HD 2占23【小问2详解】解:如上图,:AE=x,:.BE=l-x,?将丛ADE绕点阵十旋转90,得到丛仄咒:.CF=AE=x,ED=FIJ=归厅AE2汇了,.BF=BC+C户l+x,在Rt凶EB吽萨五百五尸J(l-x)2+(l+x)2五三了,:乙ED庐90,ED=F!J,:.6DEP为等腰直角三角形,:.乙DFE立DEF=45,:.乙EB胪乙MFD=45,立EAIB=LD.航:心BEM0公叩lf,BE BM 1-x BM =.,即卢yDF FM:乙D座互Bl1=45,乙EBli1F,.AE即O龋,ffF,ED EM,即.BF BM j三了五y=1+x BM.lX 汇了BM五三5yx-=-x-l+x y.BM.1-x五y I+x y.,l-X+1+x 扣y+y即2五了歹,l+x y l+x y 1:.y=(l+x)五三7,Oxl;2【小问3详解】解:当点GBC上,BG=,1 3?四边形ABC妫正方形,:.AD/BC,:,乙DA胪/BG/lf,乙应佑乙GBM,.AB6M勺心肌M,1:.BG BM 3 1,=-=-DA DM 1 3.由(2)知丛BE归AFD,If,BM BE MF DF:DB=.JAB2+AD2=5,1:.BM=DM,BM+DM飞,3$:.BM=,4 五::.4 1-x,=y 1:y=(l+x)五三了,2 5 l-X:.4 2 1 l 即lx=-(l+x)三言2,2 解xl=五拉了凸一了舍去;A D E B G c,F 1 当点0在CB延长线上,BG=,过M但机上BC,交直线BC于L,3.CB/AO,:.:.乙DAA仁乙BGM,乙AD佑乙GB/rf,:.ABCM(/)AO儿If,l:.BG BM 3 1,=-=DA DM l 3 1:.BM=DM,3 1:.BM=:.BD,2:乙LBM=乙CB肛45,肌J_BC,心MLB为等腰直角三角形,.llfL/CD,占乙LMB=乙CDB,乙L乙从邓,:心肌B(/)6DCB,BM ML 1=-BD DC 2,C)=1,1:.肌2:ML/BE,占乙L乙F庞,乙LMF=乙BEF,:.6 UfF(/)6BEF,LM LF=.BE BF 1 3:BE=AAB=入寸,Lr-LB+-BC+Cr-+l+x=+x,BF=BC+CF=l+x,2 2 1 3-+X.2 2 x-l l+x 整理得:2x2=4,解得易五,x4=E舍去,D F 5 占庄的值为一或J.2 例3.(2022宝山一模25)如图,已知正方形ABCD,将A尧点战陟寸针方向旋转n(0n 90)到A府勺位置,分别过点CD作CEl_ BP,DF l_ BP,垂足分别为点E、F.A C(1)求证:CE=EF;(2)联结CF,如果DP 1=CF 3,求乙ABP的正切值;五(3)联结AF,如果AF=AB,求n的值2【小问1详解】:如图所示,作CG上CE,交FIY延长线丁6点,:CE上BP,.DF上BP,CC上CE,:,乙EFC=乙FE仁乙EC(:.4BE仁90,四边形FEC妫矩形,乙0=90?四边形ABC妫正方形,:乙BC炉90,B仁!JC,:乙BC庄乙BCE斗乙ECD,乙ECG=乙ECD+乙DCC,:乙BCE立ECD=乙HCJJ+乙仪右,即:乙BC住乙DCC,在6BC即6DCG中,二言CGBC=DC:.6.BCE竺6.DCC(MS),:.C住CC,:四边形FEC衍3正方形,CE=EF;Al B G、1I、IIC、I【小问2详解】解:如图所示,连接CF,由(l)知,CB=EF,CE上EF,则丛C应为等腰直角三角形,由旋转的性质得:乙PA住矿,卅切切,1 1:.乙PAB=90+n,乙AP住一(180乙PAD)=90-n,2 2:AP=AB,1 1:.乙AP胪一080-LPAB)=45 -:-n,2 2:乙FPD=乙APD-乙AP片45:DF_l_AB,:.乙DFP=90,:.6.DFP也为等腰直角三角形,PF=DF,:公DFP0公CEF,DP 1 -=-CF 3 PF DP l=-=-.FE CF 3 设PF=DF=x,则F住CE=3x,由(l)知匹边形Cf穴为止方形,:.FC=FE=3x,:.DC=FG讥翌X,心BCh至公仪万,占BE=D0=2x,BE 2x 2:在Rt6.B/Ji冲,tanLBCE=,CE 3x 3:乙ABP+乙EBCc90,乙EBC乙BC住90:.乙ABP=乙BCE,2:.tan乙ABP=tan乙BCE=;3 AI B G、II I IC/I I【小问3详解】解:?0n90,如图所示,连接A阱U对角线AC,由(2)可知,乙EFC=45,乙坪D=90:乙CFD=15,:A切正方形ABC励对角线,占乙CA庄45,AC迈肮乙CA庄乙CFD,:.点A、C、J、冈奶荩共圆,.乙AFC=乙A仪芍oo拉l.AF=AB,:.AF=AC,2 2 AF 1 则在RtAAF砰,sin乙ACF=,AC 2:乙ACJ为锐角,乙JIC户30乙FJIC=90-30=60,:乙CJID=15,:.乙FJID=60-45=15,:AP=A),AP=AF,PF=)R.AF腔AAF),:.乙FAD=乙FAP-=15,:.乙PAD=30,:.rF30.B-c 例4.(2022嘉定一模25题)在平行四边形ABC肛刁,对角线AC与边C庭t直,且i-i,四边形AC 4 ABCD的周长是16,点E是在儿延长线上的一点,点F是在射线AB上的一点,乙CED=L.CDP.(1)如图l,如果点F与点颂i合,求乙AF庄勺余切值;(2)如图2,点冈E边AB上的一点设AE=x,BF=y,求y关千x的函数关系式并写出它的定义域;(3)如果BF:FA=l:2,求AC沉的面积E A 图1-F(B)E A 图2D A 备用图B【解答】解:(1)如果点l.?与点肌耜令,设肌与A必臼气点从E 图1:AC.lCD,:.乙DCA=90,?四边形ABC戊违平行四边形,:.CD/AB,:乙CAB乙从?11=90在Rt6CA旰,设心3k,.AB 3.:AC 4:.AC=4k,:.BC五产示了5k,?四边形IlBC颂周长是16,占2(AB+BC)=16,即2(3k+5k)=16,:.k=l,:.AB=3,BC=5,AC=4,了四边形ABC废平行四边形,:.AM=CM=上AC=2,2:.cot乙AFD=坐呈;战2(2)解::CD/I AB,:互沉乙J,加,乙C/)F乙AF从:乙CED乙CDF,:乙CED乙庄D,:.6CDH(/)6DAF,DE DC.:,沁rAD 由题意,得AD=BC=5,DE=x-5,DC=AB=3,AF=3-y,x-5 3.:_,3-y 5:.y=5 34 一一x十一一,3 3 定义域是:5x且生5(3)觥:点戌E射线AB卜都能得到:6CDE(/)6DAF,Si:i.CDE,DC.s=()2,凶DAFAD 当点卜在边Ajj上,:BF:/11=1:2,AB=3,占AF=2,由题意,得S/)吓上AFAC,2:AC=4,1 1 .st:,.fJ.-产一汪AC=-;。
