计算角的度数.docx

计算角的度数在汁算角的度数时常常用到以下知识：平角的度数是18（/ ;周角的度数是36 0 ° ;直角 的度数是90° ;三角形的内角和等于180° ;等腰三角形的两个底角相等：直角三角形中两 个锐角的和等于9 0 ° ；等边三角形的每个内角等于60’ .下而我们学习如何计算角的度数.例1如图6-1,求Z1,Z2, Z3的度数.分析:因为Z 1与1 30°的和是一个平角，用180°减去1 3 0°就是Z 1的度数;利用直角三角形中两个锐角和等于 90°，再由前面得岀的Z1的度数，可以求出Z 2的度数：Z2与Z3的和是180°，由此得 到Z3的度数.解：180° -1 3 0° =50°Z2=9（T -Z 1 =90° -50° =40°Z3=180° -Z2 = 180° -40c =140°例2如图6-2,已知ZC=25° , AD=DB = BC,求ZADE的度数.分析:要求ZADE的度数，只须求ZADC的度数.因为BD-BC,所以ZBDC=ZC,根据三 角形内角和等于1 80°，町以求出ZDBC的度数，由于ZDBC '5ZABD的和是1 8 0° , 所以ZA B D的度数可以求出，又因为AI）=DB,所以ZBAD=ZA B D，再利用三角形内角和等于180°，得到ZAD B的度数,最终求出ZADE的度数.图G—2解：因为DB=BC所以 ZBDC=ZC=25°在ZkBDC中，ZDBC=18 0 ° ・ZC-ZBDC=180° ・25° -2 5 ° =130°又因为 ZABD+ZDBC=180°所以ZABD = 180 ° ・ZDBC=18 0 ° -130° =50°因为AD=DB所以ZDAB=ZABD=5 0°在Z\ADB中ZADB=180° -ZDAB-ZAB D=1803 -50° -50° =80°所以Z A D C =ADB+ZBDC= 8 0° +2 5° =105 °ZADE = 1 80c ・ZADC=1 8 0 ° -105° =75°说明：ZADE=ZDAB+ZC,这并不是偶然的巧合，而是因为ZADE与ZADC的和是180° , ZADC 与 ZC 及 ZDAB 的和也是 180 °，所以 ZAD E 等于 ZC+ZDAB . ZAD E叫做AA DC的一个外角，由此得岀一个重要的结论：三角形的任意一个外角等于和它不 相邻的两个内角的和.如图6-3中，ZDAC、ZABE、ZACF都分別叫三角形ABC的 外角，而ZDAC=ZABC+ZACBZABE=Z B AC+ZACBZACF = ZABC+ZCAB例3如图6—4,已知：ZACB=3ZA=6ZB, DE丄AB,求ZD的度数.分析:在AABC中，由ZA、ZB、ZACB的关系及它们的和等于180“，可以得岀ZB的度数，在直角三形DEB中，ZD与ZB的和是90。

可以得出ZD的度数.解：在Z\ABC中ZA+ZB+ZACB=180°因为 3ZA=6ZB,所以ZA=2ZB,又ZAC 6 Z B,所以 2Z B+ZB+6ZB=180°9ZB= 1 80°ZB =20°在直角三角形DEB中，因为ZD+ZB=9 0 °所以ZD=9 0 ° -ZB=90° -20° =70° ・例4同样大小的1 2个正方形，如图6-5那样排列起来，ZABC是多少度?分析:要求ZABC的度数，似乎无从下手，但仔细观察图形特点，如果将直线AB经过的三个 小正方形绕点A逆时针旋转90 ° ,如图6 — 6,点D移到点E, AB与AC重合，得到△ ABC是直角三角形，并且A B=AC,这样容易求出ZA BC的度数.解:将直线AB经过的三个小正方形绕点A逆时针旋转90° ,则AABD与AACE重合，即AA BC是直角三角形，且AB=AC,所以ZABC=ZACB=45°・例5将正方形A BC D对半折叠后,折线为EF,如图6 — 7 ,将B点利用折线移到EF上,折 线为CP•求Z2的度数.分析：以CP为折线折叠后点B移到点M,如图6—&以E F为折线折叠后，点B与C重合, 所以MB=MC,又因为以CP为折线折叠后，点B与M重合，所以BC=MC, Z1 = Z3,于是 由MB=MC =BC知，ZXMBC是等边三角形，所以Z1+Z3=60°，可以求出Z1的度数. 而在AABM中，由于M B=BC知,MB=AB,所以ZkABM是等腰三角形，由ZMBC的度数 可以求出ZABM的度数，这样便可以求岀ZBAM的度数，最终可以求岀Z2的度数.®6-8解:因为以EF为折线折叠后，B与C重合，所以M B=MC,以CP为折线折叠后，B与M 重合，所以BC二MC, Z1=Z3,由MB=MC二BC知,ZXMBC是等边三角形，所以2Z1 = 6 0° ,即 Z 1 =30° ・在AABM中，因为MB=AB,所以,AABM是等腰三角形，所以ZABM=90° ・ZMBC=90£ -60° =30°ZBAM = (180° -30° )^2 = 7 5 °Z2=9 0° -ZB AM=90° -7 5° =15° ・例6 如图6 -9,已知AABC是等边三角形,D是AC中点.E是EC延长线上一点，并且CE=』EC,求Zl、ZE的度数，并说明ADEE的形2 状.分析：由于AABC是等边三角形，所以Z3=60a ,如果能设法求出Z2的度数，就可以求出 ZE的度数.囲6—9解:因为AABC是等边三角形，所以ZABC=ZACB=60° •因为D是AC中点，AB二BC,所以以BD为折线折叠的话，必然A与C重合，因又因为CE = »BC,而CD = *AC,所以CE = DC,故Z2 二 ZE. 由于 Z3 二 Z2+ZE所以 ZE = lZ3 = lx60° =30°2 2由Z1 = ZE知DB= DE,所以ZkDBE是等腰三角形.。