凸域内两点间平均距离.pdf

武汉科技大学 硕士学位论文 凸域内两点间平均距离 姓名：管秀娟 申请学位级别：硕士 专业：应用数学 指导教师：任德麟 2010-10-20 武汉科技大学武汉科技大学 硕士学位论文 第 I 页 摘摘 要要 本文利用广义支持函数的概念,讨论了半圆域和等腰梯形域这两种对称性不是很理想 的凸域内的两点间平均距离. 以往的文献中建立了一类求凸域内的两点间平均距离的普 遍公式,但并没有给出详细的推导过程.之后也出现了许多具体的结果,但仅限于一些比较简 单的,关于对称性很好的凸域（如正方形、正三角形、矩形、圆）.本文所研究的半圆域和 等腰梯形域的两点间平均距离相对难度更大,具体体现在区域的分类,广义支持函数和最大 弦长函数的求法以及弦幂积分的计算上. 而且,本文中关于等腰梯形域的讨论方法,对于完 全没有对称性的一般梯形也适用. 凸域内的两点间平均距离问题是积分几何中一个十分重要的课题,它在几何问题中的 应用有重要作用.凸域内两点间的平均距离问题有着广泛的应用背景. 本文通过广义支持函数和凸域的弦幂积分及最大弦长函数研究了凸域内两点间平均 距离,并得出计算凸域内两点间平均距离的一般公式： 4 2 6 1 )(I F rE= （其中 F 为凸集 K 的面积） 其中 ∫∫ ≠∩≠∩ ∧== φφ ϕσσ RGRG ddpdGI 44 4 并利用此公式求出了半圆域和等腰梯形域内两点间平均距离. 关键词：关键词：广义支持函数,最大弦长,平均距离,半圆域,等腰梯形域. 武汉科技大学武汉科技大学 硕士学位论文 第 II 页 The Average Distance between Two Points of Convex Set Abstract Using the concept of generalized support functions, discussed the semicircle domain and an isosceles trapezoid domain these two kinds of symmetry is not very ideal of convex domain average distance between two points in the literature. Ever established category for convex domain, the average distance between two points of the universal formula, but did not give detailed derivation. After also appeared many specific results, but only some of the simpler, about symmetry good convex domain (e.g., square, triangle, rectangle, is round). This study semicircle domain and an isosceles trapezoid domain average distance between two points of relatively more difficult, embodies the regional classification, generalized support functions and maximum chord length function and the method of calculating the chord- power integrals and computing. In this paper, the discussion about an isosceles trapezoid domain method, for no general trapezoid also apply symmetry. General support function is planar convex domain of a very important concept in discussion. Convex domain, the average distance between two points of problem is integral geometry in a very important topic, it application in geometry problems has an important role. Convex domain, the average distance between two problems in a wide range of applications background. This paper generalized support function and convex domain chord- power integrals and the maximum chord length function the convex domain, the average distance between two points, and draw the calculation convex domain, the average distance between two points with the general formula: 4 2 6 1 )(I F rE= (including F for convex set K area) Among them ∫∫ ≠∩≠∩ ∧== φφ ϕσσ RGRG ddpdGI 44 4 And by using the formula and from the semicircle domain and an isosceles trapezoid domain, the average distance between two points. Keywords: generalized support functions, the biggest chord length, (average distance, semicircle domain, an isosceles trapezoid domain. 武汉科技大学武汉科技大学 硕士学位论文 第 1 页 第一章第一章 绪论绪论 1.1 综述综述 数学作为人类史上最古老的一门学科,在过去的很长的一段时间里,随着它的巨大发 展,越来越牢固地确立了它作为整个科学技术的基础的地位. 它对自然科学的作用是独特 的,更是无法替代的.数学已经不再局限于传统的应用范围,它渗透在几乎所有的人类所涉 及的知识领域中,并为人类日常的生产和生活越来越直接地作出着巨大的贡献.在当前的 社会中,对于任何一个人来说,不管他从事着什么样的职业,其实都离不开学习数学、了解 数学和运用数学的过程.数学在当今这个社会中的这种需求,在未来将愈来愈迫切.同时, 在上个世纪,数学思想经过了一场深刻的变革,使得这门学科正在向着高度抽象化的方向 发展.而它的这种抽象性在运用过程中所涉及的那些深奥的理论和复杂的方法,也令不少 求学者举步维艰. 凸性的研究在很多数学分支中起着极其重要的作用.凸性与积分几何的关联尤为密切. 当人们用积分几何的许多一般性原理或公式去处理一些具有凸性的对象时,往往能得到很 多十分优美的结果.于是,凸性便成了积分几何有效性的实证领域；反过来说,积分几何则 是探讨凸性的一种强有力的工具. 凸几何分析(Convex Geomet—ric Analysis) 是一门现代几何学科,它萌芽于19世纪 末,形成于20世纪初,在20世纪末开始飞快地发展起来．很多时候,凸几何分析也被称之为 凸体几何(Convex Geometry)或凸分析(Convex Analysis)．它的创始人是世界著名的数学 家H．Brunn和H．Minkowski．凸几何分析有其独特的,不同于微分几何、几何拓扑、代数 几何等现代几何的研究对象和研究方法. 它是把凸体(R”中具有非空内点的紧凸子集)[1] 作为研究对象的． 研究几何最大的一个优点就是比较直观.几何能够快速地不断向前发展，很大程度上 依赖于它的直观性特点.因为它的研究对象是图形,在不同条件下图形的度量也不同,不同 的图形之间存在着很多差异，图形自身的内部特征以及在不同的变换下图形的各种性质等 等,都是几何的研究内容.依靠直觉,研究者们经常能得到一些看似毫无疑问的结论,我们 将其称之为“公理”.而恰恰由于这一点,其它一些分支学科的研究者,往往非常在意他们 所研究的内容及所得到的结论在几何上的意义.而这一点却又是几何所不允许的,因为很 多看似毫无疑问的的直觉其实事实上并不正确.这里就有一个非常著名的例子：在 n E中, 若每一个过原点的超平面与凸体 K 相交所得的 n-1 维体积都比它与凸体 L 相交所得的 n-1 维体积要大,在直觉上必有 K 的体积大于 L 的体积,但这个结论并不是永远都成立的 】【14 .早 在两千三百多年前,Euclidean 就建立起来了一套几何公理系统, 几何被一部《几何原本》 统治了两千多年,直到现在它仍然还存在着顽强的生命力. 武汉科技大学武汉科技大学 硕士学位论文 第 2 页 几何学方向从事的是整体微分几何,凸几何分析与积分几何方面的研究.研究内容主 要是几何不等式,规范场理论,Finsler 几何,黎曼几何,凸曲面刚性等.其中在凸几何分析, 积分几何,几何不等式等方面的研究成果在国内外都得到了认可,并具有一定的影响力.整 体微分几何(积分几何,凸几何,几何不等式)近期的的发展应用于采矿,医学,信息工程等. 与代数学,泛函分析, 微分方程,复分析,数值分析, 组合理论,概率论等分支的应用和联 系越来越密切. 积分几何主要研究的是空间中如直线,平面,线性子空间,凸体等几何元素 集的运动测度.这些测度描述了几何不变量之间的关系,以一些几何等式和不等式的形式 体现.而对这些几何等式和不等式的研究又形成了几何学中另一个重要的分支-几何不等 式.凸几何是以凸集或凸性作为研究对象的几何学分支.然而不同于线性科学的几何,凸几 何所研究的内容涉及面很广泛,凸几何的研究成果在很多其它领域中都有着非常广阔的应 用前景.它作为一门基础的理论,又密切联系着实际,应用价值极其之高.它可以以其它的 数学理论作为工具来进行研究,又可以以它自己的方法、理论以及结果反过来应用于其它 的学科甚至是实际. 其中,几何断层学（Geometric Tomograpy）就具备极强的实际应用背景,这是凸几何 与医学CT及体视学（Stereology）的一个交叉学科,它所研究的内容是根据某个几何对象 的一些低维信息,如投影、截面积、平行X射线、点源X射线等,再来重构该几何对象或对该 几何对象的性质作出相应的一些推断. 它具有很多极其深刻的理论研究课题,还有许多亟 待解决而尚未解决的难题需要学者们去探讨.因此这是凸几何中具有非常重要的应用前景 的一个研究方向.与此同时,一群以MIT大学计算机与电子工程系的AlanWitlsky为首的应 用研究者, 几十年以来,一直从事着计算机图形与模式识别的研究工作,并将几何断层学 应用于计算机上. 这些无疑都进一步丰富了凸体理论的内容,增强了它的生命力,并由此 解决了很多长久以来一直都未能得到解决的重要难题.迄今为止几何断层学仍然是凸几何 中最为活跃的一个研究方向. 积分几何与几何概率密切联系着,几何概率的研究的基础是相关的图形集合的测度, 因而自然要建立积分。