高中数学竞赛系列讲座-人教版.pdf

高中数学竞赛系列讲座第二讲的数1.函数的基本概念一个函数由它的自变量允许取值的范围(即定义域)和对应关系所确定，并由此确定了函数值的变化范围(即值域).定义域、对应关系、值域称为函数的三要素.(1)求函数的定义域例1(1982年西安初中竞赛题)已知函数(1-1*一3+方求自变量取值范围.3-d O1-1 卜 0解 *+2)0 x i3xO.2-2-2 x -l,或T x 0,或 0 0).解由 饮*若 0 a 二时，函数关系不存在.(2)关于对应法则若把自变量比作将要加工的原料，那么对应法则f 就是加工手段和规则.正确认识对应法则是深刻理解函数概念的个重要方面.例 3(美国34届中学生邀请赛题)设f 是一个多项式，对所有实数x,f(x2+l)=x*5x2+3.对所有实数X,求分析 若能找到函数的对应法则f,即自变量是怎样“加工处理”的，此题易解，下面给出两种解法.配凑法:f(X2+1)=X4+5X2+3=(X2+1)2+3(X2+1)-1,A f(x)=X2+3X-Lf(X2-1)=(X-1)2+3(X2-1)-1=X1+X2-3.换元法 令x?+l=t,则 x2=t-l.由 f(x2+l)=x“+5x2+3 有f(t)=(t-l)2+5(t-l)+l=t2+3t-lf(x2-l)=(X2-1)2+3(X2-1)-1=X4+X2-3.例 4(1984年上海青少年数学爱好者协会招生试题)设函数f(x)=2(ax2+bx+c)满足等式f(x+l)-f(x)=2x x2,求 a+b+c 的值.解(待定系数法)f(x)=2x(ax2+bx+c),f(x+l)=2XI a(x+l)2+b(x+l)+c=2,2X E(ax2+bx+c)+2ax+a+b=2f(x)+2 2X(2ax+a+b)由 f (x+l)-f(x)=2X x*有2X(ax2+bx+c)+2 2X 2ax+a+b=2X x2,在上式中,令 x=0 得 2 a+2 b+c=0；令 x=l 得 7 a+3 b+c=0；令 x=2 得 1 4 a+4 b+c=0.由，解 出 a=l,b=-4,c=6,a+b+c=3.(3)关于函数方程这个问题是前一个问题的继续，我们把含有未知函数的等式叫函数方程，把寻求未知数的过程，或证明函数方程无解叫解函数方程.例 5 对于一切实数 x,y,函数满足 f (x y)=f (x)f (y),且 f (0)W 0.求 f (1 9 8 7)和 f (1 9 8 8).解,/f(x y)=f (x)f (y),取 y=0,得 f (x 0)=f (x)f(0)=f (0)=f (x)f (0).又 f (0)r 0,；.f(x)=l,(1 9 8 7)=f(1 9 8 8)=1.例 6 (第3 2 届美国中学生数学竞赛题)函数f(x)在 x=0处没有定义，但对所有非零实数x(-)有 f(x)+2 f K=3 x.满足方程 f(x)=f(-x)的实数().(A)恰 有 一 个(B)恰有两个(C)不 存 在(D)有无穷多个,但并非切非零实数(E)是一非零实数C-)解 f(x)+2 f *=3 x.1(3 2以 M换 X 得 f *+2 f (x)=*d)6由，两式消去f *得 3 f (x)=J T-3 x,；.f(x)=工-X.又由f(x)=f(-x),将代入得工-x=_ H+X,4即 x-2x=0,2-X2=0,.0=点.故 应 选(13).(4)求函数值例 7(1986年北京高一竞赛题)f(x)=(2X5+2X-53X-57X+54)I9S6,求昌师-%.2L解 设 2，则即 2t2+2t=55.2t5+2t-53t-57t+54=t3(2t2+2t)-53t-57t+54=2t3+2t-2t2-57t+54=55t-2 t?-57t+54=-2t-2t+54=-l.*.f(-2-)=(-1),=1.2.正比便函数、反比便函数及一次函数例 8(1987年浙江省初中竞赛题)已知y=w+*,其中与 x 成正比例，%与 x 成反比例，且当x=2和 x=3时，y 的值都为19.求 y 与变量x 的函数关系式.解 设 y尸 Lx,y2=x（ki,k2均不为零）,则 y=y1+*=kix+了.将 x=2,x=3 代入 y=yi+X 得%-M14-936y=5x+/例 9(1986年吉林八市初中数学竞赛题)一次函数y=ax+b(aWO)有一组对应值x二五,y二 0.试证尸ax+b不能有二组以上的有理数的对应值.证明 若 y=ax+b存在两组不同的有理数对应值(xi,y),(x2,y2),而函数式为y=a(x-J E),*,。

历，故 卜V a O,消去 a 可得 病 （y2-yi）=xiy2-x2yi.71丫 2 丫 1是有理数./.y2-yi=0,即 y尸 y2,Xiyi-X2yi-O.即（x X 2）yi=0.若 y i=0,贝 ij xi=，但这与假设矛盾，故不可能.y i O,从而x i=x z 也不可能./.y=a x+b不能有两组以上的有理数的对应值.3.二次函数关于二次函数,我们最关心的是应用二次函数的图象和极值定理解一些应用问题.例 1 0(1 9 8 7 年浙江初中数学竞赛题)设二次函数y=(a+b)x、2 cx-(a-b),其中a,b,c 是三角_1a形的三边，且 bea,bec.已知x=-3这个二次函数有最小值为-亍，求A A B C 三内角A、B、C的度数.解散由题设，二次函数图象的顶点坐标是J a-c(-上，-2),即(a*A*a+A ).于是F-e .a+b 2.a+b 2 山得a+b=2 c,代入得(b-c)+(b-a)=0.V b a,b 2c=b-c=0,b-a=0,即 a=b=c.Z X A B C 为正三角形，A=B=C=6 0.例 1 1 (1 9 8 9 年全国初中数学竞赛题)如图3 1 T,4 A B C 中，D、E 分别是边B C、AB上的点，且叫 5Nl=N2=/3,如果A B C,EB D,A A DC 的周长依次为 m,n h,n i 2,证明：彳，证明 由已知可得DE A C,进而EB D A A B C A DA C.。